一次函數(shù)知識框架

1、.第19章一次函數(shù)知識點一：常量與變量1.一輛火車從甲地開往乙地，火車每小時走60km常量：速度、甲乙兩地的路程變量：火車所走的路程，行駛的時間2.在圓周長公式中，變量是 ，自變量是 知識點二：函數(shù)的意義一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于變量的每一個值，變量y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)，其中：x是自變量，y是因變量 (1)在理解函數(shù)的意義時要抓住三點：有一個反映變化的過程有兩個變量x和y變量x一旦變化，變量y都有唯一值與它對應(yīng) (2) 在表示函數(shù)時，如果要把y表示成x的函數(shù)，其實就是用含x的代數(shù)式表示y例題：1.設(shè)路程為s，時間為t，速度為v，當(dāng)v=80時，

2、路程和時間的函數(shù)關(guān)系式為 2.下列圖象中，表示是的函數(shù)的個數(shù)有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個3.下列關(guān)于變量.y的關(guān)系：；其中表示y是的函數(shù)關(guān)系的是( ) A. B. C. D.4. 一支蠟燭長20厘米，點燃后每小時燃燒5厘米，燃燒時剩下的高度h（厘米）與燃燒時間t（時）的函數(shù)關(guān)系的圖象是（） A. B. C. D.知識點三：函數(shù)中自變量的取值范圍及函數(shù)值在一個變化過程中，自變量的取值通常有一定的范圍，這個范圍我們叫它為自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍通常要從兩個方面考慮：使含自變量的代數(shù)式有意義結(jié)合實際意義，使函數(shù)在實際情況下有意義例題：1.在函數(shù)y中，自變量x的

3、取值范圍是 2.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 3.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 4.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 5.小寶閱讀600頁的圖書，每天讀50頁，求余下的頁數(shù)y與所讀天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍 6.已知函數(shù)，當(dāng)時，y= ，當(dāng)y=0時， ；7.已知函數(shù)，那么 8. 已知函數(shù)，當(dāng)時，y的取值范圍是（ ） A. y B. y C. y D.y知識點四：函數(shù)的圖像（難點）對于一個函數(shù)，如果把自變量x和函數(shù)y的每一對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形叫做函數(shù)的圖象。（1）函數(shù)圖象上的任意一點P中的x，y滿足關(guān)系式（2）滿足函數(shù)關(guān)系式的任意一對x

4、，y的值所對應(yīng)的點一定在函數(shù)的圖象上。例題：1.如下左圖，小亮在操場上玩，一段時間內(nèi)沿M-A-B-M的路徑勻速散步，能近似刻畫小亮到出發(fā)點M的距離y與時間x之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（） A B C D2.周末上午8時，小明先去小華家，兩人再一起去超市購物，到下午2時返回小明家結(jié)合圖象回答：（1）兩人在超市購物花了多長時間？（2）超市離家是多遠(yuǎn)？（3）兩人返回時的平均速度是多少？（4）小明何時離自己家10千米遠(yuǎn)？知識五：正比例函數(shù)定義形如的函數(shù)叫正比例函數(shù)。 注意：（1） （2）自變量x的指數(shù)為1例題：1.下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（ ）A. B. C. D.2.（易錯）當(dāng)m= 時，是正比例函數(shù)3

5、.下列各選項中，成正比例關(guān)系的是（ ） A.人的升高與體重 B.正方形的面積與它的邊長 C.買同一種練習(xí)本所需錢數(shù)和所買的本數(shù) D.從甲地到乙地，所用時間和行駛的速度知識點六：正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（重點）（1）圖象：正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線。由于正比例函數(shù)圖象是過原點的直線，而兩點確定一條直線，因此，畫的圖象時，除原點外，只要再確定一個點即可。（2）性質(zhì)：當(dāng)時，直線經(jīng)過第一.三象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大； 當(dāng)時，直線經(jīng)過第二.四象限，從左向右下降，即隨x的增大y而減?。焕}：1. 正比例函數(shù)必經(jīng)過 點2. 某函數(shù)具有下列兩條性質(zhì)：（1）它的圖象經(jīng)過點（0，0）的一條直線

6、；（2）y的值隨的增大而減小，請你舉出一個滿足上述兩個條件的函數(shù)（用關(guān)系式表示） 3. 已知，與成正比例，與成正比例，且時，；時，求y與之間的函數(shù)關(guān)系式 4. 東方超市鮮雞蛋每個0.4元，那么所付款y元與買鮮雞蛋個數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式是 5.若關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)，則m= ，n .6.若函數(shù)y=（m-5）x+（4m+1）x2（m為常數(shù)）中的y與x成正比例，則m的值為（ ） （A）m- （B）m5 （C）m=- （D）m=57.一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，-3），它的表達(dá)式為（ ）A B. C. D.8.已知函數(shù)，下列說法中錯誤的是（ ） A函數(shù)經(jīng)過第二.四象限 B. y的值隨x的增

7、大而增大 C原點在函數(shù)的圖象上 D. y的值隨x的增大而增小9.已知正比例函數(shù)，若y隨的增大而增大，則k的取值范圍是（） ABCD10.（難點）已知正比例函數(shù)圖象上的兩點A，B，當(dāng)時，有，那么m的取值范圍是（ ） A B. C. D. 11.已知y-3與成正比例，且時，y=7，（1）寫出y與之間的函數(shù)關(guān)系式（2）計算時，y 的值（3）計算y=2時，的值（4）若點（a，0）在這個函數(shù)圖象上，求a的值知識點七：一次函數(shù)的定義（1）定義：一般的，形如的函數(shù)，叫一次函數(shù)。（2）一次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)（3）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 當(dāng)時，變?yōu)?，所以說，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函

8、數(shù)。正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)， 而一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)。（4）待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式要確定一次函數(shù)中的常數(shù)k和b ，一般的求解方法是待定系數(shù)法。即先設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，在由已知條件列出關(guān)于k，b的二元一次方程組，通過方程組確定k和b，從而確定解析式。例題：1. 函數(shù)，中，一次函數(shù)有（ ） A1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.下列說法正確的是（ ） A正比例函數(shù)是一次函數(shù) B一次函數(shù)是正比例函數(shù) C正比例函數(shù)不是一次函數(shù) D不是正比例函數(shù)就不是一次函數(shù)3. 下列給出的四個點中，不在直線上的是（ ） A.(1，-1) B.(0，-3) C.(2，1) D.(-1，5)4. （難點）對

9、于函數(shù)，當(dāng)k= 時，它是正比例函數(shù)；當(dāng)k= 時，它是一次函數(shù)。5.根據(jù)右圖所示的程序計算函數(shù)值，若輸入的x值為1.5，則輸出的結(jié)果為（ ） A.3.5 B.1.5 C.0.5 D.-0.5知識點八：待定系數(shù)法（考點）例題：1.已知點A（，）在函數(shù)的圖像上，則= ；2.設(shè)點P（3，m），Q（n，2）在函數(shù)的圖像上，則m+n=_3.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-4，15），（6，-5）兩點，求此一次函數(shù)的解析式知識點九：一次函數(shù)圖像和性質(zhì)（重點）（1） 一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)的圖象也稱為直線。（2） 一次函數(shù)必過點（0，b）和點，所以在畫一次函數(shù)圖象時可選取這兩個特殊點進(jìn)行畫圖。（3）

10、一般地，一次函數(shù)具有下列性質(zhì)：當(dāng)時，y隨x的增大而增大當(dāng)時，y隨x的增大而減小。例題：1.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0， ）與點（ ，0），y隨x的增大而 2.（易錯）已知函數(shù)，當(dāng)k取不同的數(shù)值時，可以得到許多不同的直線，這些直線必定（ ） A.交于同一個交點 B.有無數(shù)個交點 C.互相平行 D.互相垂直3.（易錯）已知函數(shù)，當(dāng)取不同的數(shù)值時，可以得到不同的直線，這些直線必定（ ） A.交于同一個交點 B.有無數(shù)個交點 C.互相平行 D.互相垂直4.已知一次函數(shù)，若y隨的增大而減小，則該函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ） A.第一.二.三象限 B.第一.二.四象 C.第二.三.四象限 D.第一.三.四象限5.若

11、一次函數(shù)的函數(shù)值y隨的增大而增大，且一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則k的取值范圍是（ ） A. B. C. D.6.（難題）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是 7.已知實數(shù)a，b，c滿足()那么的圖像一定不經(jīng)過（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第二象限8.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過二、三、四象限，則化簡所得的結(jié)果是（ ） A. m B. -m C. 2m-n D. m-29.已知點，和點，都在直線上，若，則，的關(guān)系是（ ）A. B.= C. D.不能比較10.（難題）.兩個一次函數(shù)與，它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ） A. B. C. D. 11.已知直

12、線與直線關(guān)于原點對稱，求k、b的值12.若直線（k0）過點（-2，5），則不等式的解集是 13.如圖，直線與直線相交于點A（-1，2），與x軸相交于點B（-3，0），則關(guān)于的不等式組的解集為 14.已知直線（k0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則k的值是 15.（難題）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列正確的是（ ） A. B. C. D. 16.(易錯)一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸交于點A，B，則的面積等于（ ）A12 B.9 C.18 D.2417.已知點A、B在一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且）的圖象上，點A在第一象限，點B在第二象限，則下列判斷一定正確的是（） A. B. C. D.18.一次

13、函數(shù)的圖像與，y軸分別交于點A（2，0），B（0，4），O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA，AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，當(dāng)PC+PD取最小值時，P點坐標(biāo)為 ，此時，PC+PD= 第14題 第15題 第18題 19.(難題）如圖，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為，ABP的面積為y，如果y關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則ABC的面積是（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 知識點十：一次函數(shù)的圖像平移（考點）例題：1. 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線可由直線向下平移得到， 2. 一次函數(shù)的圖象向上平移4個單位得到的函數(shù)解析為 ，向下平移

14、2個單位得到的函數(shù)解析式為 ，再向 平移 個單位得到函數(shù)3. 將一次函數(shù)向左平移的圖象向左平移2個單位后，得到的圖像解析式是 ，然后再向右平移4個單位后，得到的圖像解析式是 4.直線m:是直線n向右平移2個單位再向下平移5個單位得到的，而，在直線n上，則=_5.要得到的圖像，可把直線（ ） A.向左平移4個單位 B.向右平移4個單位 C.向上平移4個單位 D.向下平移4個單位知識點十一：一次函數(shù)與一元一次方程（重點難點）(1)任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為的形式(2)解一元二次方程可以轉(zhuǎn)化為： 的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值； 從圖形上看，這相當(dāng)于一只直線，確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)的值。(3)利

15、用函數(shù)圖象解一元一次方程的步驟：畫出一次函數(shù)圖象 找出直線與x軸交點的橫坐標(biāo)即為一元一次方程的解例題：1.直線與軸的交點坐標(biāo)是（ ） A.(6，0) B.(0，6) C.(-8，0) D.(0，-8)2.直線與x軸交于點（6,0），則m的值為（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 03.當(dāng)= 時，函數(shù)的值等于24.下列說法正確的是（ ） A.方程可以看作直線與y軸的交點 B.方程可以看作直線與軸的交點 C.方程可以看作直線與y軸的交點 D.方程可以看作直線與軸的交點5.一次函數(shù)過點（1，5），則一元一次方程的解是 6.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，并回答：（1） 當(dāng)x取何值時， （2

16、） 當(dāng)x取何值時，（3） 當(dāng)x取何值時，知識點十二：一次函數(shù)與一元一次不等式（重難點）(1)一元一次不等式或(a0)是一次函數(shù) (a0)的函數(shù)值不等于0的情形。(2)直線上使函數(shù)值(x軸上方的圖像)的x的取值范圍是的解集；使函數(shù)值(軸下方的圖像)的的取值范圍是的解集。例題：1.已知點（2，）和（4，）都在直線上，則（ ） A. B. C. D.無法確定2.已知直線上的點（，y）在軸的上方，則（） A. B. C. D.3.當(dāng)時，直線上的點（，y）的位置是（ ） A.在x軸上方 B.在x軸下方 C.在y軸左側(cè) D.在y軸右側(cè) 4關(guān)于的一次函數(shù)的圖象與y軸的交點在軸的下方，且y隨的增大而增大，則的

17、取值范圍是 5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P（，）在直線與直線之間，則的取值范圍是（） A.24. B.13 C.12 D.026.已知一次函數(shù)，當(dāng)時，則滿足 7.已知 是方程組的解，那么一次函數(shù)和y=+1的交點是_8.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-2，0）和（0，2），則不等式的解集是（ ） A. B. C. D.9.如圖，函數(shù)和的圖象相交于點A（m，3），則不等式的解集為 10.如圖直線經(jīng)過過A（2，1），B（1，2）兩點，則不等式的解集為 第5題 第9題 第10題11. 如圖，直線與直線相交于點A（-1，2），與軸相交于點B（-3，0）則關(guān)于的不等式組的解集為（） A. B. C. D. 1

18、2.如圖，直線與相交于點P，點P的橫坐標(biāo)為-1，則關(guān)于的不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（） A. B. C. D. 知識點十三：一次函數(shù)與二元一次方程組（考點）(1)二元一次方程組中的每個方程可看作函數(shù)解析式。(2)求二元一次方程組的解可以看作求兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)。例題：1.若直線與直線相交于點（1，-2），則（ ） A.， B.， C.， D.，2.已知一次函數(shù)與的圖象交于點P，則P點的坐標(biāo)是 3.已知 是方程組的解，那么一次函數(shù)和的交點是_4.已知直線與的交點為（-5，8），則方程組的解是 5.已知直線和的解析式分別為，根據(jù)根據(jù)圖中的圖象填空：（1）方程組的解為 ；（2）當(dāng)時，的范圍

19、是 _；（3）當(dāng)時，自變量的取值范圍是 _知識點十四：一次函數(shù)應(yīng)用題（難點）1. 分段函數(shù)，求各段函數(shù)的直線解析式 2. 方案選擇，通過計算各個方案，來決定哪種更加優(yōu)惠。 3. 運輸費用最省 分段函數(shù)問題：解題策略：（1）分段函數(shù)的特征是：不同的自變量區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)式不同，其函數(shù)圖象是一個折線。解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵是要與所在的區(qū)間相對應(yīng)（2）分段函數(shù)中“折點”既是兩段函數(shù)的分界點，同時又分別在兩段函數(shù)上。在求解析式要用好“折點”坐標(biāo)，同時在分析圖象時還要注意“折點”表示的實際意義，“折點”的縱坐標(biāo)通常是不同區(qū)間的最值1.為鼓勵居民節(jié)約用氣，我市今年開始對天然氣收費實行階梯氣價，階梯氣價劃分

20、為兩個檔級：（1）第一檔氣量為每戶每月50立方米（含50立方米）以內(nèi)，執(zhí)行基準(zhǔn)價格；（2）第二檔氣量為每戶每月超出50立方米以上部分，執(zhí)行市場調(diào)節(jié)價格小明家1月份用氣55立方米，交氣費115元；2月份用氣58立方米，交氣費122.5元（1）求每立方米天然氣的基準(zhǔn)價格和市場調(diào)節(jié)價格分別是多少元？（2）設(shè)每月用氣量為x立方米，應(yīng)交氣費y元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）小明家3月份用氣60立方米，他家應(yīng)交氣費多少元？ 幾何圖形中的動點問題解題策略：（1）解決幾何圖形中的動態(tài)問題，關(guān)鍵是看動點運動的路徑，在不同的路徑上，所對應(yīng)的線段長（高）等不同，由此引起其它變量的變化。因此根據(jù)不同路徑以確定自

21、變量的變化區(qū)間至關(guān)重要。（2）在不同的區(qū)間上求函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)注意緊密結(jié)合幾何圖形的特征，會將將函數(shù)中的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形上的對應(yīng)線段關(guān)系。例題：1.（2014.三牧中學(xué)單元卷）如圖，直線L：與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C（0，4），動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）求COM的面積S與點M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時COMAOB，并求此時M點的坐標(biāo) 方案選擇：解答選擇方案應(yīng)用題，可以分四個步驟進(jìn)行：第一步: 確定自變量和因變量；第二步：建立數(shù)學(xué)模型（主要是函數(shù)關(guān)系式）；第三步：確定自變量的取值范圍；第四步：根據(jù)

22、自變量的取值范圍，一次函數(shù)的性質(zhì)，確定最佳的實施方案。1.某水產(chǎn)品養(yǎng)殖加工廠有200名工人，每名工人每天平均捕撈水產(chǎn)品50kg，或?qū)?dāng)日捕撈的水產(chǎn)品40kg進(jìn)行精 加工，已知每千克水產(chǎn)品直接出售可或利潤6元，精加工后再出售，可獲利潤18元，設(shè)每天安排名工人進(jìn)行水產(chǎn)品精加工，并且每天精加工的水產(chǎn)品和未來得及精加工的水產(chǎn)品全部出售，（1）求每天做水產(chǎn)品精加工所得利潤y（元）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）求每天總利潤W（元）與的函數(shù)關(guān)系式； （3）那么如何安排生產(chǎn)可使這一天所獲利潤最大？最大利潤是多少？2.某蔬菜加工廠承擔(dān)出口蔬菜加工任務(wù)，有一批蔬菜產(chǎn)品需要裝入某一規(guī)格的紙箱供應(yīng)這種紙箱有兩種方案可供選擇：

23、方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為4元；方案二：由蔬菜加工廠租賃機(jī)器自己加工制作這種紙箱，機(jī)器租賃費按生產(chǎn)紙箱數(shù)收取工廠需要一次性投入機(jī)器安裝等費用16000元，每加工一個紙箱還需成本費2.4元（1）若需要這種規(guī)格的紙箱個，請分別寫出從紙箱廠購買紙箱的費用（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用（元）關(guān)于（個）的函數(shù)關(guān)系式；（2）假設(shè)你是決策者，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案？并說明理由3.某果品公司急需將一批不易存放的水果從A市運到B市銷售現(xiàn)有三家運輸公司可供選擇，這三家運輸公司提供的信息如下：運輸單位運輸速度（千米時）運輸費用（元千米）包裝與裝卸時間（小時）包裝與裝卸費用（元）甲公司6064

24、1500乙公司50821000丙公司100103700（1）若乙.丙兩家公司的包裝與裝卸及運輸?shù)馁M用總和恰好是甲公司的2倍，求，兩市的距離（精確到個位）；（2）如果A，B兩市的距離為千米，且這批水果在包裝與裝卸以及運輸過程中的損耗為300元小時，那么要使果品公司支付的總費用（包裝與裝卸費用.運輸費用及損耗三項之和）最小，應(yīng)選擇哪家運輸公司？ 知識點十五：一次函數(shù)綜合題（難題）考點5:函數(shù)綜合題，在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)解析式1. 點坐標(biāo)：與x、y軸的交點；與直線的交點2. 線段長：與x、y軸平行的線段長（右邊左邊，上邊下邊） 與x、y軸不平行的線段長（用勾股定理來計算）3. 求三角形的面積：底乘高除以2；割補法【典型例題】1.若直線與相交于軸上，則b的值是 2.如果直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是9，則的值為 3.在平面直角坐標(biāo)系中，下列直線中與直線平行的是（） A. B. C. D.4.如圖已知一次函