線性代數(shù)中地重要概念

1、特征矩陣設(shè)A=方陣，則-務(wù)L -%叫做A的特征矩陣。行列式是det （:芒 1 ） =f（,）是二的n次多項(xiàng)式，叫做A的特征多項(xiàng)式A的特征根或特征方程det （ 疋 ）=0是.丄的n次方程，叫做 A的特征方程，它的根叫做 值。性質(zhì)設(shè)A=片的n個(gè)特征值為1， I，* 則1）2）- - I3）若A與B相似，則det （二E . ）=det（丿 廳）對(duì)角矩陣除對(duì)角線上的元素外，其余的元素都是零的方陣，叫做對(duì)角矩陣。對(duì)角矩陣形如a】000 - 0性質(zhì)設(shè)A與B都是對(duì)角矩陣，K是數(shù)量，則 A+B KA都是對(duì)角矩陣。單位矩陣主對(duì)角線上的元素都是1，其余的元素都是零的n階方陣，叫做n階單位矩陣，記作 E,即0

2、-00 1-00 0 1性質(zhì)1）I E=12）若A是與E同階的方陣，則有 AE=EA=A正交矩陣如果（或A4 _1E）,則A叫做正交矩陣。性質(zhì)1）若AB都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣。2）若A是正交矩陣，則；也是正交矩陣。3）若A是正交矩陣，則det A=1或-1（ det為行列式）4）若是正交矩陣，則u矩陣性質(zhì)二），貝U A叫做U矩陣1)2)若A, B都是U矩陣，則 AB也是U矩陣若A是U矩陣，則也是U矩陣3)若A是U矩陣，則RIPH矩陣的秩矩陣A中不為零的子式的最大階數(shù)，叫做A的秩，記為。等于 A的行(列)向量組的秩當(dāng)A是方陣且行列式|A=0時(shí)，A叫做滿(mǎn)秩矩陣；|A| = 0時(shí)，A叫做降

3、秩矩陣。性質(zhì)1) r(AB)小于或等于r(A), r(AB)小于或等于r(B)2) 設(shè)A是m行n列矩陣，P是m階滿(mǎn)秩方陣，Q是n階滿(mǎn)秩方陣，則 r(A)=r(PA=r(AQ3) 初等變換不改變矩陣的秩。相似矩陣如果存在滿(mǎn)秩矩陣 X，使 V ay ，則叫做矩陣 A與矩陣B相似,記作A r B性質(zhì)1) A A2) 若AB,則BA3) 若 ABBC,則 AC.負(fù)矩陣A = ( /I (社 設(shè).，貝U叫做A的負(fù)矩陣。性質(zhì)1) A+(- A)=(- A)+A=02) -(-A)=A3) A+(-B)=AB元素都是零的矩陣，叫做零矩陣，記作0.性質(zhì)1) A+O=O+A=A2) 0A=A3) 0A=A0=0

4、矩陣的子式在矩陣1: 中，任取k行和k列- T，位于這些行和列的交點(diǎn)上的：個(gè)元素原來(lái)的次序所組成的k階方陣的行列式，叫做A的一個(gè)k階子式。若“ 一二八，則通常用一讓表示劃去J所在的行和列后余下的 n-1階子式，并把叫 做的代數(shù)余子式。分塊矩陣 用縱線與橫線將矩陣 A劃分成若干較小的矩陣:Ai 4a Ai Aa At其中每個(gè)小矩陣叫做A的一個(gè)子塊；分成子塊的矩陣叫做分快矩陣。性質(zhì)1) 4-1 -卄一 I匚糾式中G =工人爲(wèi)Q = 1,S, J = 1,E) E-14）k是數(shù)量）A的列的分法與B注意 用性質(zhì)1）時(shí)，A與B的分塊方法須完全相同；用性質(zhì)3）時(shí),的行的分法須相同。逆矩陣如果AB=BA=E

5、則A與B互為逆矩陣，記作J卜或Li .1 1性質(zhì)1）4一 1存在的充要條件是2) (才3) ，4) ,(數(shù)量II)5) 6) 一J求法1)設(shè) A=Ai為 心HR間A 2血 芻2 岡岡WA i 血 A?PT Ml Ml式中是的代數(shù)余子式;adj A叫做A的伴隨矩陣2）用行的初等變換把（AE）化為（E B）,則.匸 3）分塊求逆:式中0=7-唸 R 二-LCP復(fù)共軛矩陣設(shè)7- ，則 二叫做A的共軛矩陣，其中是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)1）了 丁2）-4- - J3）占-f；4）-.A（k是復(fù)數(shù)）5）AL -線性相關(guān)如果向量組中有一向量可以經(jīng)其余的向量線性表岀，這個(gè)向量組就叫做線性相 關(guān)。性質(zhì)1）線性相關(guān)的

6、充要條件是有 m個(gè)不全為零的數(shù)，使切+上曲+人珂2）向量組中如果有一部分向量線性相關(guān)，則這個(gè)向量組必線性相關(guān)。3）含有零向量的向量組必線性相關(guān)。線性無(wú)關(guān) 如果向量組不是線性相關(guān)，就叫做線性無(wú)關(guān)。性質(zhì)1）二1線性無(wú)關(guān)的充要條件是：當(dāng)1 1L:-時(shí)，必有2）如果向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任意一部分向量所成的向量組也線性無(wú)關(guān)。n維向量的運(yùn)算1）力卩、減法設(shè)二一亠 J， ；，則珂外角地，角代）2）數(shù)乘設(shè)k是數(shù)量，二_八一；丄則k一 ；一；3）運(yùn)算規(guī)律設(shè)是n維向量，k、I是數(shù)量，則- 1 : - : / 1：:二 卜丫 匸，二-.二 ? 1 1 -:： n維向量的相等當(dāng)且僅當(dāng)-丄時(shí)，T Yn維向量空間具有n

7、維向量的運(yùn)算 的全體n維向量的集合，叫做n維向量空間，記做：。性質(zhì) 中任意n+1個(gè)向量必線性相關(guān)，切存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，例如一 一 ； oVn的基、維數(shù)和坐標(biāo):的任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，叫做 j的一組基。n叫做:的維數(shù)。性質(zhì)中任一向量可經(jīng)它的一組基線性表出，表達(dá)式中的系數(shù)叫做向量在這個(gè)基下的坐標(biāo)。Vn的子空間J：中向量組I；的所有可能的線性組合I一 I，一 .-：5 （是任意數(shù)量）構(gòu)成的向量集合U,叫做的一個(gè)（線性）子空間。叫做 U的生成向量組。U的生成向量組不唯一，但是同秩。性質(zhì)1）若 L J 二，則二-f2） 若? -，k 是數(shù)量，則:.-J3）4）若二一，貝U L：-子空間的基和維數(shù)

8、U的生成向量組的線性無(wú)關(guān)極大組叫做U的一組基，生成向量組的秩叫做U的維數(shù)。性質(zhì)1） U的維數(shù).：生成向量組中向量的個(gè)數(shù)-丨1的維數(shù)n。2）rn時(shí)，-打，U叫做 的真子空間3）r=n 時(shí)，U= 4） 0向量生成零空間，r=0,是的子空間。數(shù)域上的線性空間非空集合V,數(shù)域.-.在V中有加法運(yùn)算二/ -，在V和F間有數(shù)乘運(yùn)算 kaeV ，如果滿(mǎn)足加法和數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律 （見(jiàn)中1，（ 3）,3 ）運(yùn)算規(guī)律之）， 并且1） 加法有零元素，記為0,滿(mǎn)足：若 二，則“,-2） 加法有負(fù)元素，若/，則有-滿(mǎn)足，：； V （門(mén)叫做的負(fù)元素記 為-!-），則V/F叫做數(shù)域F上的線性空間。注1 . V中元素也叫做向量

9、。注2.數(shù)域是滿(mǎn)足某些條件的數(shù)的集合。V及U當(dāng)其中數(shù)量為任意復(fù)數(shù)或任意實(shí)數(shù)、任意有理數(shù)時(shí)，分別是復(fù)數(shù)域上、，實(shí)數(shù)域上、有 理數(shù)域上線性空間。性質(zhì)V1）VF中線性組合、線性表岀、線性相（無(wú)）關(guān)、線性無(wú)關(guān)極大組的定義及性質(zhì)與中相同，但是其中數(shù)量限于在 F中。2）VF中如果存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量C?心：，任意. 可以經(jīng) 山：二！線性表岀，貝U VF叫做n維線性空間，叫做一組基， n叫做維數(shù)。零空間維數(shù) n=0。若VF不是n維的，則叫做無(wú)限空間。線性組合若，其中是數(shù)量，就是說(shuō)向量是向量的線性組合，也說(shuō)E可經(jīng)。阻：、*%性表岀。性質(zhì)1)二一可以表為&二珂+%+其中-11丄_.二叫做n維單位向量。2)若可經(jīng)

10、：線性表出，而 -：- -.-.-lI又可經(jīng)線性表出,則特征值和特征向量若門(mén)二，二：則，叫做A的特征值，二叫做A的屬于的特征向量。a的特征值與其矩陣 a的特征值一致，是n 的根。設(shè)是A的屬于的特征向量，則 Tn個(gè)變量 一一 ！的二次型的一般形式為/心衛(wèi)J =如/1 +2知可也+, + 2仏可耳+如人 +- + 2a21x2xK+%認(rèn)a. “如果令；，則可將f寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式：/二如知兀円+砌衛(wèi)內(nèi)+如入十+知乃耳+ +細(xì)心心+務(wù)尹*可+紜工a或?qū)懗删仃囆问剑篺 = X AX式中a= 卩丿曲是對(duì)稱(chēng)矩陣；L 矩陣A叫做二次型f的矩陣；A的秩r（A）叫做f的秩。如果 A的元素 .都是實(shí)數(shù)，f就叫做實(shí) 二次

11、型。性變換設(shè)和彳/ = biA + 軸兒叫做由 到 兒為昇 的一個(gè)線性變換矩陣P=叫做線性變換的矩陣P的元素都是實(shí)數(shù)時(shí)，線性當(dāng)P是滿(mǎn)（降）秩矩陣時(shí)，線性變換叫做滿(mǎn)（降）秩線性變換 變換叫做實(shí)線性變換。線性變換的矩陣形式為X=PY式中R7 = ! 兒 性質(zhì)1）二次型經(jīng)過(guò)滿(mǎn)秩線性變換后，其秩不變。2） 若滿(mǎn)秩線性變換 X=PY將二次型f = X TAX化為f = Y TBY則B=P TAP仍是對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角型只含變數(shù)的平方項(xiàng)的二次型，叫做對(duì)角型。1）二次型f = X tAX經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臐M(mǎn)秩線性變換 X=PY后。可以化成對(duì)角型:f = Y tBY = 一 - 1，其中人宀 都不為零，r是二次型f的秩。2

12、）慣性定理：用不同的滿(mǎn)秩實(shí)線性變換將一個(gè)實(shí)二次型化成的對(duì)角型中，所含的正項(xiàng)的數(shù)目都 相同；因而所含的負(fù)項(xiàng)的數(shù)目也相同。正定二次型左上角的所有各階若對(duì)于不全為零的實(shí)數(shù)，總有f = f ( ;1) 0,則f叫做正定二次型。an如,flll如曲 1220J31a32a33判別法則：二次型 f = X tax是正定二次型的充要條件是它的矩陣 子式(叫做順序主子式)都大于零，即雅可比行列式雅可比行列式通常稱(chēng)為雅可比式(Jacobia n)它是以n個(gè)n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為元素的行列式。事實(shí)上，在函數(shù)都連續(xù)可微(即偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù))的前提之下，它就是函數(shù)組的微分 形式下的系數(shù)矩陣(即雅可比矩陣)的行列式。若因變量對(duì)

13、自變量連續(xù)可微，而自變量對(duì)新變量連續(xù)可微，則因變量也對(duì)新變量連續(xù)可微。這可用行列式的乘法法則和偏導(dǎo) 數(shù)的連鎖法則直接驗(yàn)證。也類(lèi)似于導(dǎo)數(shù)的連鎖法則。偏導(dǎo)數(shù)的連鎖法則也有類(lèi)似的公式;這常用于重積分的計(jì)算中。如果在一個(gè)連通區(qū)域內(nèi)雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負(fù)。如 果雅可比行列式恒等于零，則函數(shù)組是函數(shù)相關(guān)的，其中至少有一個(gè)函數(shù)是其余函數(shù)的一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。雅可比式(Jacobian)。它是以n個(gè)n元函數(shù)； - - : (1)的偏導(dǎo)數(shù)RTdr為元素的行列式常記為3（趙1，肚2,加片）8（笛，牝，比）事實(shí)上，在 中函數(shù)都連續(xù)可微（即偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)）的前提之下, 形式J就是函數(shù)組（1）的

14、微分的系數(shù)矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。8碼 8収1du1 . 8竝 陸3xndu2 8m2J = I礙 I = 8曲 3%，* 3%嘰3unQxj8jc28xh編輯雅可比矩陣雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個(gè)可微方程與給出點(diǎn)的最優(yōu)線 性逼近。因此，雅可比矩陣類(lèi)似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。假設(shè)F:Rn Fm是一個(gè)從歐式n維空間轉(zhuǎn)換到歐式 m維空間的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)由m個(gè)實(shí)函數(shù)組成:y1（x1，,xn）,，ym（x1,.,xn）.這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（如果存在）可以組成一個(gè)m行n列的矩陣，這就是 所謂的雅可比矩陣：-dvi .創(chuàng) 1 - *.如 如.此矩陣表示為：(1/1)Ifni)(1K科)， 或者這個(gè)矩陣的第i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置y (i=1,m) 表示的如果p是R中的一點(diǎn)，F(xiàn)在p點(diǎn)可微分，那么在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)由Jf(p) 給出(這是求該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)最簡(jiǎn)便的方法)。在此情況下，由f(p)