第6章定積分課件

1、2021-10-2116.1 定積分概念與性質(zhì)定積分概念與性質(zhì)6.2 微積分基本定理微積分基本定理6.3 定積分的換元與分部積分定積分的換元與分部積分6.4 反常積分反常積分6.5 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第第六六章章 定積分定積分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2126.1.1 定積分問題舉例定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah6.1 定積分概念

2、與性質(zhì)定積分概念與性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2131xix1ixxabyo1) 分割分割.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解決步驟解決步驟 :高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-214nii

3、AA1niiixf1)(3) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xabyo1xix1ixi2) 求和求和.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-215設(shè)某物體作直線運動, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 分割分割., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng),)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2

4、, 1(ni已知速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 個小段過的路程為2. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-216iniitvs1)(3) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 求和求和.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-217abxo,)(上定義在設(shè)函數(shù)baxf的若對,ba

5、任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 上可積可積 .記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.1.2 定積分定義定積分定義,ba高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-218baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積

6、函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-219Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.1.3 定積分的幾何意義定積分的幾何意義:高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社 關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意

7、兩點: (1)定積分 是積分和式的極限，是一個數(shù)值，定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān).即有.d)(d)(d)( bababauufttfxxfxxfbad )(2)在定積分 的定義中，總假設(shè) ，為了 今后的使用方便，對于 時作如下規(guī)定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d )( ,0d )( xxfxxfbaxxfbabaabba時當(dāng)；時，當(dāng)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在a,b上可積( )( ) d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxf xx性質(zhì)性質(zhì)1 兩個函數(shù)代數(shù)和的定積

8、分等于它們定積分的代數(shù)和，即 性質(zhì)性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外，即( )d( )dbbaakf xxkf xx是常數(shù)k 6.1.4 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社 如果積分區(qū)間a,b被分點c分成區(qū)間a,c和c,b，則性質(zhì)性質(zhì)3 性質(zhì)3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分. 當(dāng)c在區(qū)間a,b 之外時，上面表達(dá)式也成立.( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2113，則上恒有如果在區(qū)間1)(, xfba性

9、質(zhì)性質(zhì)41ddbbaaxxba , ( )( )a bf xg x如果在區(qū)間上恒有，則性質(zhì)性質(zhì)5( )dbaf xx ( )dbag xx特別的, , ( )0a bf x 如果在區(qū)間上恒有，則( )d0baf xx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社則上的最大值及最小值，在區(qū)間分別是函數(shù)及設(shè),)( baxfmM性質(zhì)性質(zhì)6 (定積分估值定理).(d)()( 42abMxxfabmba得及性質(zhì)由性質(zhì)),( )(bxaMxfm證明證明bababaxMxxfxm，得推論由性質(zhì)dd)(d 15則上的最大值及最小值，在區(qū)間分別是函數(shù)及設(shè),)( baxfmM).( )(d)()(

10、baabMxxfabmba性質(zhì)性質(zhì)6 (定積分估值定理)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社).( )(d)( baabfxxfba性質(zhì)性質(zhì)7(積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個點 ，使下式成立證明證明 因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì)6，有 ，)(d)()( abMxxfabmba，即Mxxfabmbad)(1 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社即數(shù)值 介于f(x)在a,b上的最大值M和

11、最小值m之間.baxxfabd)(1).( )(d)( d)(1)( ,baabfxxfxxfabfbaba即，使得，至少有一點的介值定理根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社性質(zhì)性質(zhì)7的幾何意義：的幾何意義：. )()(, 的矩形的面積而高為的面積等于同一底邊為曲邊的曲邊梯形為底邊，以曲線，使得以上至少有一在fAaBbxfybaba高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社 ( ) , ( )( )d () , xaf xa bI xf ttaxba b如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變上限的積分所確定的函數(shù)在上可導(dǎo)，且定理定理1d ( )

12、( )d( ) ().dxaI xf ttf xaxbx6.2.1變上限的定積分變上限的定積分6.2 微積分基本定理微積分基本定理高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2119xaxxattfttfd)(d)(=xxxxaxxxxattfttfttfttfd)(d)(d)(d)( )( )II xxI x 證明證明),( )(d)(xxxxfttfxxx由積分中值定理有( ) ( ).Ifxfxx 即高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社數(shù)的連續(xù)性，有根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及函，從而時，有當(dāng) 0 xxxxx結(jié)論：結(jié)論：變上限積分所確定的函數(shù)

13、 對積分上限x的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù) f(t) 在積分上限x處的值 f(x).xattfd)(0 ( )limlim( )( )xxII xff xx ，d ( )( )d( ).dxaI xf ttf xx即高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社由上述結(jié)論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以通過求原函數(shù)來計算定積分. ( ) , ( )( )d( ) , .xaf xa bI xf ttf xa b如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則是在上的一個原函數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社 () () .Fx Ix C上

14、的任一個原函數(shù)，則在是上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù),)()(,)( baxfxFbaxf定理定理2 (微積學(xué)基本定理微積學(xué)基本定理) )，)()(d)(aFbFxxfba).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或記作證明證明( )( )( )( )d( )xaF xf xI xf ttf x是的一個原函數(shù)，而也是的一個原函數(shù)，6.2.2 微積分基本微積分基本公式公式高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社 ( )( ).x aF aI aC令有 ( )( )xbF bI bC令有， 上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本定理微積分基本定理. .，)()(d)(aF

15、bFttfba( )( )d0( ).aaI af ttF aC，( )( )( )( )( )( )d( )( )baI bF bCF bF aI bf ttF bF a，即)()(d)( aFbFxxfba高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社 牛頓萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)F(x)，然后計算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量F(b)F(a)即可.該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-21

16、25.d102xx例2的一個原函數(shù)，是被積函數(shù)因為xx233 解解.31333d 0133103102xxx萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2126例3.d11112xx11112arctand11xxx萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓的一個原函數(shù)，是被積函數(shù)因為 11arctan 2xx 解解.2 )4(4) 1arctan(1arctan高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2127例4 求.darctanlim200 xxxtt必達(dá)法則，有型的極限問題，利用洛這屬于00 xttxttxxxx

17、x)(darctandd darctan200200limlim 解解xxx)()(arctan21lim0 xxx2arctan lim0.211112120limxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社定理定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，而滿足下列條件：，ba)(,)() 1 ()(tx上述公式稱為定積分的換元積分公式，簡稱換元公式.(2)當(dāng)t在與之間變化時， 單調(diào)變化且 連續(xù)，則.d)()(d)(tttfxxfba)(t)(t6.3.1 定積分的換元積分法6.3 定積分的換元與分部積分定積分的換元與分部積分定理定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，而滿足

18、下列條件：)(tx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社注意：注意：(1)定積分的換元法在換元后，積分上，下限也要作相應(yīng)的變換，即“換元必?fù)Q限”.(2)在換元之后，按新的積分變量進(jìn)行定積分運算，不必再還原為原變量.(3)新變元的積分限可能，也可能1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時, 廣義積分收斂 , 其值為;11pap當(dāng) p1 時, 廣義積分發(fā)散 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 證明第一類 p 積分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2150. )0(d0ptettp解:tpept原式00d1t

19、eptptpep21021p機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 計算積分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2151引例引例:曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.4.2 無界函數(shù)的積分高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2152, ,()(baCxf而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時稱廣

20、義積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的廣義積分, 記作則定義機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱此極限為函 定義定義2. 設(shè)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2153,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點 c 的無界函數(shù)的無界點常稱為瑕點瑕點(奇點奇點)。鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfca

21、d)(lim110 xxfbcd)(lim220機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則定義高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2154,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點, 則若 a 為瑕點, 則若 a , b 都為瑕點, 則, ),(bac則xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意: 若瑕點高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社

22、2021-10-2155例4 計算.dln10 xxxxxxdlndln110lim0.0ln函數(shù)的廣義積分時無界，所以這是無界當(dāng)因為被積函數(shù)xx解. 1dln10 xx，1ln0d1ln0111limlimxxxxxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2156112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 討論廣義積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以廣義積分112dxx發(fā)散 .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社202

23、1-10-2157曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 6.5 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用6.5.1 定積分的微元法高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2158面積表示為定積分的步驟如下（1）把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個長長度度為為ix 的的小小區(qū)區(qū)間間，相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲邊邊梯梯形形被被分分為為n個個小小窄窄曲曲邊邊梯梯形形， 第第i 小小窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為iA ，則則 nii

24、AA1.（2）計計算算iA 的的近近似似值值iiixfA )( iix （3） 求和，得A的近似值.)(1iinixfA 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2159ab xyo)(xfy （4） 求極限，得A的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積微元高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2

25、021-10-21606.5.2平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xbaoy)(xfy xxfAbad)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-216122,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy x解解: 由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x31機動

26、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 計算兩條拋物線高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2162xxy22oy4 xyxy22與直線的面積 . 解: 由xy224 xy得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d2214 xy所圍圖形)2,2(18221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 計算拋物線高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2163abxoy12222byax解: 利用對稱性 , 所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓

27、的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 求橢圓6.5.3已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xabxxxd)(xA上連續(xù),高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-21656.5.4旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)所給立體垂直于x

28、軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xabxxxd)(xA上連續(xù),高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2166xyoabxyoab)(xfy 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(2)(xfxdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版

29、社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2167ayxb12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaabyxxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234abo則aV02xy d2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x例4. 計算由橢圓高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2168tbytaxsincos22 ab32234ab1 則xyVad202ttabdsin23202特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343a機動 目錄 上頁 下頁

30、返回 結(jié)束 方法2 利用橢圓參數(shù)方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2169一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù) 問題：問題：已知某邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)，求該總經(jīng)濟(jì)量已知某邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)，求該總經(jīng)濟(jì)量. 設(shè)某個經(jīng)濟(jì)函數(shù)設(shè)某個經(jīng)濟(jì)函數(shù) u(x)的邊際函數(shù)為的邊際函數(shù)為 , 則有則有 )(xu )0()()(0uxudxxux 于是于是 .)()0()(0 xdxxuuxu6.5.5 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-21702. 已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為已知銷售某

31、產(chǎn)品的邊際收益為 ，x為銷售量，為銷售量，R(0)=0, 則總收益函數(shù)為則總收益函數(shù)為)x(R x0dx)x(R)x(R1. 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 ，x為產(chǎn)量，為產(chǎn)量，固定成本為固定成本為C(0), 則總成本函數(shù)為則總成本函數(shù)為( )C x 00( )( )( )xC xC x dxC 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-21713. 設(shè)利潤函數(shù)設(shè)利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中其中x為產(chǎn)量，為產(chǎn)量， R(x)是收益函數(shù)是收益函數(shù),C(x)是成本函數(shù)，若是成本函數(shù)，若 L(x),R(x),C(x)均可導(dǎo)，則邊際利

32、潤為：均可導(dǎo)，則邊際利潤為： L (x)=R (x)-C (x).因此總利潤為：因此總利潤為：0d0( )( )( )xL xL xxL 0d0( )( )( )xR xC xxC 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2172 例例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為 100143)(2 xxxC 固定成本固定成本 C(0) = 1000, , 求生產(chǎn)求生產(chǎn) x 個產(chǎn)品的總成本函數(shù)個產(chǎn)品的總成本函數(shù) . . 解解 dxxCCxCx 0)()0()(dxxxx 02)100143(1000.1007100023xxx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡

33、明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2173 例例2 已知邊際收益為已知邊際收益為 , 設(shè)設(shè)R(0) = 0, 求求 收益函數(shù)收益函數(shù)R(x) . xxR278)( 解解 xdxxRxR0)278()0()(.782xx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2174 例例3：設(shè)某商品的邊際收益為設(shè)某商品的邊際收益為( )200100QR Q 199.75 (50)(50)50RR 00( )200100QQQR Q dQdQ ( )R Q (50)9987.5R 21200200QQ (1) (1) 求銷售求銷售5050個商品時的總

34、收益和平均收益；個商品時的總收益和平均收益； (2) (2) 如果已經(jīng)銷售了如果已經(jīng)銷售了100100個商品，求再銷售個商品，求再銷售100100個商品的總收益和平均收益。個商品的總收益和平均收益。解解: (1) 總收益函數(shù):平均收益平均收益: :高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2175 例例3：設(shè)某商品的邊際收益為設(shè)某商品的邊際收益為( )200100QR Q 198.5 (200)(100)200100RRR 200100200100QdQ (200)(100)RR 19850 (1) (1) 求銷售求銷售5050個商品時的總收益和平均收益；個商

35、品時的總收益和平均收益； (2) (2) 如果已經(jīng)銷售了如果已經(jīng)銷售了100100個商品，求再銷售個商品，求再銷售100100個商品的總收益和平均收益。個商品的總收益和平均收益。解解: (2) 總收益為總收益為: :平均收益平均收益: :高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2176 例例4 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x臺臺的邊際成本為的邊際成本為2150( )11C xx 210150ln(1)xxx 2( )305R xx ( )C x 201501011xdxx 0(0)( )xCC x dx ( (萬元萬元/ /臺臺) )，邊際收入為，邊際收入為

36、 ( (萬元萬元/ /臺臺).). (1) (1) 若不變成本為若不變成本為C(0)=10 ( (萬元萬元/ /臺臺),),求總成本函數(shù)，求總成本函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；(2)(2)當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從4040臺增加到臺增加到8080臺時臺時, ,總成本與總收入的增量?？偝杀九c總收入的增量。解解: (1)總成本為總成本為高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2177 由于當(dāng)產(chǎn)量為零時總收入為零由于當(dāng)產(chǎn)量為零時總收入為零, ,即即R(0)=0,(0)=0,于是于是22129150ln(1)105xxxx 0( )(0)( )xR x

37、RR x dx 020(30)5xx dx ( )( )( )L xR xC x 21305xx 總收入為總收入為總利潤函數(shù)為總利潤函數(shù)為高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-21788040(80)(40)( )CCC x dx 143.96 240 8040(80)(40)( )RRR x dx （萬元）（萬元）(2)(2)當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從4040臺增加到臺增加到8080臺時臺時, ,總成本的增量為總成本的增量為; ;當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從4040臺增加到臺增加到8080臺時臺時, ,總收入的增量為總收入的增量為; ;（萬元）（萬元）高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程

38、復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2179 二、由變化率求總量二、由變化率求總量 例例5 某工廠生產(chǎn)某商品某工廠生產(chǎn)某商品, 在時刻在時刻 t 的總產(chǎn)量變化率的總產(chǎn)量變化率為為 (單位單位/小時小時). 求由求由 t = 2 到到 t = 4 這兩小時這兩小時 的總產(chǎn)量的總產(chǎn)量 . ttx12100)( 解解 總產(chǎn)量總產(chǎn)量 4242)12100()(dttdttxQ.2726100422 tt 例例6 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 , 當(dāng)當(dāng) 產(chǎn)量由產(chǎn)量由200增加到增加到300時時, 需追加成本為多少需追加成本為多少?xxC2 . 0150)( 解解 追加成本

39、追加成本dxxC 300200)2 . 0150(30020021 . 0150 xx .10000 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2180 因此，在年利率為因此，在年利率為r的情形下的情形下,若采用若采用連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利，有：，有： （1）已知現(xiàn)值為）已知現(xiàn)值為A0, 則則t年后的未來值為年后的未來值為AtAert， （2）已知未來值為）已知未來值為At , 則貼現(xiàn)值為則貼現(xiàn)值為A At e-rt期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計息方式，即每時期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計息方式，即每時每刻計算復(fù)利的方式稱為每刻計算復(fù)利的方式稱為連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利.時

40、刻時刻t的一個貨幣單位在時刻的一個貨幣單位在時刻0時的價值時的價值.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2181 我們知道我們知道, 若以連續(xù)復(fù)利率若以連續(xù)復(fù)利率 r 計息計息, 一筆一筆 P 元人民幣元人民幣 從現(xiàn)在起存入銀行從現(xiàn)在起存入銀行, t 年后的價值年后的價值(將來值將來值) ,t rPeB 若若 t 年后得到年后得到 B 元人民幣元人民幣, 則現(xiàn)在需要存入銀行的則現(xiàn)在需要存入銀行的金金 額額(現(xiàn)值現(xiàn)值) .t rBeP 下面先介紹收益流和收益流量的概念下面先介紹收益流和收益流量的概念 . 若某公司的收益是連續(xù)地獲得的若某公司的收益是連續(xù)地獲

41、得的 , 則其收益可被看作則其收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流是一種隨時間連續(xù)變化的收益流 . 而收益流對時間的變化而收益流對時間的變化率稱為率稱為收益流量收益流量 . 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2182 收益流量實際上是一種速率收益流量實際上是一種速率 , 一般用一般用 R (t) 表示表示 ; 若時間若時間 t 以年為單位以年為單位 , 收益以元為單位收益以元為單位 , 則收益流量的則收益流量的 單位為單位為: 元元/年年. (時間時間 t 一般從現(xiàn)在開始計算一般從現(xiàn)在開始計算) . 若若 R(t) = b 為常數(shù)為常數(shù) , 則稱該

42、收益流具有均勻收益流量則稱該收益流具有均勻收益流量. 將來值：現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值將來值：現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值現(xiàn)值：將來某一時點的一定資金折合成現(xiàn)在的價值，現(xiàn)值：將來某一時點的一定資金折合成現(xiàn)在的價值， 俗稱俗稱“本金本金” 例如：假設(shè)銀行利率為例如：假設(shè)銀行利率為5%,你現(xiàn)在存入銀行你現(xiàn)在存入銀行10000塊塊,一年以后可得本息一年以后可得本息10500元元. 10500為為10000的將來值的將來值,而而10000為為10500的現(xiàn)值的現(xiàn)值 .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2183 和單筆款項一樣和單筆款項一

43、樣 , 收益流的將來值收益流的將來值定義為將其存入定義為將其存入 銀行并加上利息之后的本利和銀行并加上利息之后的本利和 ; 而而收益流的現(xiàn)值收益流的現(xiàn)值是這是這 樣一筆款項樣一筆款項, 若把它存入可獲息的銀行若把它存入可獲息的銀行, 將來從收益流將來從收益流 中獲得的總收益中獲得的總收益, 與包括利息在內(nèi)的本利和與包括利息在內(nèi)的本利和, 有相同的有相同的 價值價值. 在討論連續(xù)收益流時在討論連續(xù)收益流時, 為簡單起見為簡單起見, 假設(shè)以連續(xù)復(fù)利假設(shè)以連續(xù)復(fù)利 率率 r 計息計息 . 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社簡明教程復(fù)旦大學(xué)出版社2021-10-2184 若有一筆收益流的收益流量為若有一筆收益流的收益流量為 R(t) (元元/年年) , 下面計下面計 算其現(xiàn)值及將來值算其現(xiàn)值及將來值 . 考慮從現(xiàn)在開始考慮從現(xiàn)在開始(t = 0)到到 T 年后這一時間段年后這一時間段 . 利用元利用元 素法素法, 在區(qū)間在區(qū)間 0 , T 內(nèi)內(nèi), 任取一小區(qū)間任取一小區(qū)間 t , t + dt , 在該小在該小 區(qū)間內(nèi)將區(qū)間內(nèi)將 R (t) 近似看作常數(shù)近似看作常數(shù) , 則應(yīng)獲得的金額近似等則應(yīng)獲得的金額近似等 于于 R (t) dt (元元) . 從現(xiàn)在從現(xiàn)在( t = 0 )算起算起, R (t) dt 這一金額是在這一金額是在