(完整版)阿波羅尼斯圓問(wèn)題

1、1一【問(wèn)題背景】蘇教版數(shù)學(xué)必修 2 2P.112P.112 第 1212 題：1已知點(diǎn)M (x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0), A(3,0)的距離之比為，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足2什么關(guān)系？畫(huà)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線.二、【阿波羅尼斯圓】公元前 3 3 世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(ApolloniusApollonius )在平面軌跡究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.如圖，點(diǎn)A, B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA PB,則1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓證：設(shè)AB 2m(m 0),PA PB以AB中點(diǎn)為原

2、點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(m,0),B(m,0)又設(shè)C(x,y),則由PA PB得.(x m)2y2長(zhǎng)為半徑的圓.上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理.三、【范例】AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0),阿波羅尼斯圓問(wèn)題兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得(21)x22m(21)x21)y2m2(12),1時(shí),0，軌跡為線段AB的垂直平分線;1時(shí),(x21m)2y2142m26 ,軌跡為以點(diǎn)(丁m,0)為圓心,1(X m)2例 1 1 滿(mǎn)足條件AB 2, AC.2BC的三角形ABC的面積的最大值是解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線B(1,0)，設(shè)C(x,y),由AC書(shū)中，曾研2、2BC得

3、.(x 1)2y22.(x 1)23平方化簡(jiǎn)整理得寸x26x 1(x3)288 ,y 2 2，則1一 一2y2y/2 , SABC的最大值是2J2 .2變式 在ABC中，邊BC的中點(diǎn)為D，若AB 2,BC2 AD,貝U ABC的面積的最大值是_.解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(1,0),B(1,0), 由BD CD,BC.、2AD知，AD 2BD,D的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為(x 3)2y28，設(shè)C(x,y),BC的中點(diǎn)為D得D(號(hào)，舟)，所以點(diǎn)C的軌跡方程為(寧32(y)28，即(x 5)2y232,1 _ SABC22y y v；322，故SABC的最大值

4、是.例 2 2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a2)，若存在點(diǎn)P，使得PA 2PB, PC PD，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _.解：設(shè)P(x,y)，則,(x 1)2y22 , (x 3)2y2,整理得(x 5)2y28，即動(dòng)點(diǎn)P在以(5,0)為圓心，2,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).另一方面，由PC PD知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y a 1上運(yùn)動(dòng)，因而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直線y a 1與圓(x 5)2y28有交點(diǎn)，所以a 1 22，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是22 1,242 1.例 3 3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A 0,3，直線I:y 2x 4. .設(shè)圓

5、的半徑為1, 圓心在丨上. .若圓C上存在點(diǎn)M，使MA 2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍2 2x0y。14SABC解：設(shè)C a,2a4，則圓方程為2y 2a 4又設(shè)M(x,y),QMA 2MOy。324x024y2,這說(shuō)明M既在圓2小x a y 2a1上，又在圓x224上，因而這4兩個(gè)圓必有交點(diǎn)，即兩圓相交或相切,2 22 1. a 0 2a 4 ( 1)2 1,12 12解得0a-，即a的取值范圍是,R切線I方程為y 28 (x15(1)(2)(3)例 4 4 已知OO : x2y21和點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M向O O引切線I，求直線求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y設(shè)P為（2 2）M(4,2). .I的方程;

6、2x 1截得的弦長(zhǎng)為 4 4 的O M的方程;中O M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向O O引切線，切點(diǎn)為 Q.Q.試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R,PQ使得 為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，PR請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1 1）設(shè)切線I方程為y 2 k(x4)，易得|4k2|1，解得Vk218帀15（2 2）圓心到直線 y y2x 1的距離為.5, 設(shè)圓的半徑為r，則r222(5)29O M的方程為（x4)2(y 2)29（3 3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R（a,b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y），相應(yīng)的定值為根據(jù)題意可得PQ(x a)2(y b)2即x2y212(x2y2222 ax 2 by a b

7、)(* *),又點(diǎn)P在圓上(x 4)2(y2 2 22)9，即x y 8x 4y 11，代入(* *)式得:8x4y 122(8 2a)x(4 2b)y (a2b211)若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立,2(82(42(a22a)2b)b211) 125解得a 2,b1,i 2或a6可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得更為定值. .如點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，比值為、2；PR點(diǎn)R的坐標(biāo)為(?，丄)時(shí)，比值為二5 53四、【練習(xí)】解：將空間幾何體中的線、面、角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點(diǎn)P所滿(mǎn)足的幾何條件.APD BPC BP 2AP，這樣就轉(zhuǎn)化為題 3 3 的題型.1 1如圖，在等腰ABC中，已知AB AC,B(

8、1,0),AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)，點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積等于解：/AB2AD,所以點(diǎn)A的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其方程為(x 3)2y2 4,設(shè)C(x,y),由AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)知A(4x, y)，所以C的軌跡方程為(4x 3)2(y)224，即(x 1)4，面積為4平面CB2 2.如圖，已知平面的交線上的兩個(gè)定點(diǎn),AD 4,BC平面DA,A、B是平面,CB，且DA8,AB 6，在平面上有使得APD BPC，求PAB的面積的最大值.DADA PA, ,在Rt PAD中，tan APDADAP同理tan BPCBC 8BP BP 在平面?zhèn)€動(dòng)7上，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在

9、的直線為x軸, ,建立平面直角坐標(biāo)系，則A( 3,0), B(3,0)，設(shè)P(x, y)則有(x 3)22,(x 3)2y2(y 0)化簡(jiǎn)得: :(x 5)2y216,y216 (x5)216,|y|PAB的面積為SPAB扣|AB| 3|y|12, 當(dāng)且僅當(dāng)x5,y4等號(hào)取得，則PAB的面積的最大值是12.83 3 圓Oi與圓。2的半徑都是1,。1。24，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓Oi、圓。2的切線PM ,PN（M ,N分別為切點(diǎn)），使得PM 2PN試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 并求動(dòng)點(diǎn)P的 軌跡方程. .解：以O(shè)i，O2的中點(diǎn) O O 為原點(diǎn)，Oi，O2所在直線為 x x 軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,22即（x 6） y 33，此即 P P 的軌跡方程. .294 4已知定點(diǎn)O（O,O），點(diǎn)M是圓（x i） y4上任意一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在不同于O的定點(diǎn)A使都為M9常數(shù)？若存在，試求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A的坐標(biāo), ,若不存在，請(qǐng)MA說(shuō)明理由.解：假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A（m, n），設(shè)M（x,y）, 匹0MA則xy(x m)2(yn)2又M (x,y)滿(mǎn)足(x