集合的概念與運算例題及答案

1、1集合的概念與運算(一) 目標：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性質(zhì)解決問題2. 理解交集、并集、全集、補集的概念，掌握集合的運算性質(zhì)，3. 能利用數(shù)軸或文氏圖進行集合的運算，掌握集合問題的常規(guī)處理方法.重點：1.集合中元素的3個性質(zhì)，集合的3種表示方法，集合語言、集合思想的運用2. 交集、并集、補集的求法，集合語言、集合思想的運用. 基本知識點：知識點1、集合的概念(1) 集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合(簡稱 集)(2) 元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素知識點2、常用數(shù)集及記法(1) 非負整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負整數(shù)的集合記作N, N 0,1,2,(2) 正

2、整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除 0的集記作N或2 N*1,2,3,(3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合記作 Z,Z0, 1， 2，(4)有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合記作Q ,Q 整數(shù)與分數(shù)(5)實數(shù)集：全體實數(shù)的集合記作 RR數(shù)軸上所有點所對應(yīng)的數(shù)注：(1)自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0(2)非負整數(shù)集內(nèi)排除 0的集記作N或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除 0的集，也是這樣表示, 例如，整數(shù)集內(nèi)排除 0的集，表示成Z*知識點3、元素與集合關(guān)系(隸屬)(1) 屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A記作a A(2) 不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a A 注意：“

3、”的開口方向，不能把 a A顛倒過來寫知識點4、集合中元素的特性(1) 確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可(2) 互異性：集合中的元素沒有重復(fù)(3) 無序性：集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗?知識點5、集合與元素的表示： 集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A B、C、P、Q元素通常用小寫的拉丁字母表示，女口a、b、c、p、q 例題精析1：1、下列各組對象能確定一個集合嗎？(1 )所有很大的實數(shù)(不確定)(2 )好心的人(不確定)(3) 1，2，2，3，4，5.(有重復(fù))2、設(shè)a,b是非零實數(shù)，那么a b-可能取的值組成集合的元素是a b

4、II3、由實數(shù)x, x, | x | , x2 , 3 x3所組成的集合，最多含(A )(A) 2個元素(B) 3個元素(C) 4個元素 (D) 5個元素4、設(shè)集合G中的元素是所有形如 a+ b . 2 (a 乙b Z)的數(shù)，求證: 當x N時，x G;1(2) 若x Gy G貝y x+ y G,而不一定屬于集合 Gx證明(1):在 a+ b . 2 (a 乙 b Z)中，令 a=x N,b=O,則 x= x + 0* . 2 = a + b 2 G,即 x G證明(2) ：T x G y G, x= a + b , 2 (a 乙 b Z) ,y= c + d、2 (c 乙 d Z) x+y=

5、( a + b 2 )+( c + d , 2 )=(a+c)+(b+d)2/ a 乙 b Z,c 乙 d Z (a+c) Z, (b+d) x+y =(a+c)+(b+d)a2 2a2 2b2b2b2 a2 2b2不一定都是整數(shù),1_ _ax a b、2a2 2b2b2 2a 2b,2不一定屬于集合 G知識點6、集合的表示方法：(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合例如，由方程x2 1 0的所有解組成的集合，可以表示為-1,1注：(1)有些集合亦可如下表示：從51到100的所有整數(shù)組成的集合：51 , 52, 53，100所有正奇數(shù)組成的集合：1 , 3, 5, 7(

6、2) a與a不同：a表示一個元素，a表示一個集合，該集合只有一個元素(2)描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括 號內(nèi)表示集合的方法格式：x A| P (x) 含義：在集合A中滿足條件P (x)的x的集合例如，不等式x 3 2的解集可以表示為：x R|x 3 2或x|x 3 2所有直角三角形的集合可以表示為：x | x是直角三角形注：(1)在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分女口： 直角三角形; 大于104的實數(shù)(2)錯誤表示法：實數(shù)集 ; 全體實數(shù)(3)、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法 思考：何時用列舉法？何時用描述法？有些集合的公共

7、屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法如：集合,2322、x ,3x2,5y x, x y 有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法如：集合（ x, y） | y X 1;集合1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)x21是同一個集合嗎?例集合( x, y) | y x21與集合 y | y答：不是因為集合（ x, y）| yx21是拋物線y x21上所有的點構(gòu)成的集合，集合2y| y x 1= y | y 1是函數(shù)1的所有函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)集例題精析2 :1、用描述法表示下列集合1，4，7，10，13x | x 3n 2, n5-2，-4，-6，-8，-10x

8、| x 2n, n52、用列舉法表示下列集合 x N|x是15的約數(shù) （x，y） |x 1，2，3, 5，15注：防止把（ 1，2）1y 1， (1，1)，(1, 2)，(2, 1) (2，2) 寫成1，2或x=1，y=22x y(x,y)| x 2y248 2(3, 3)x | x ( 1)n,nN-1 ，1( x, y) | 3x 2y16,x N,y N (0，8) (2，5)，（4，2）（ x, y） | x, y分別是4的正整數(shù)約數(shù)（1，1），（1，2 ），（1, 4） （2，1），（2，2），（ 2，4 ），（4，1），（4，2 ），（4，4） 3、 關(guān)于x的方程ax + b=0，

9、當a,b滿足條件時，解集是有限集；當a,b滿足條件 時，解集是無限集4、用描述法表示下列集合：（1） 1, 5, 25, 125, 625 =_;1234（2） 0,，土 ，土 ，土 ,= 251017鞏固提升：21、數(shù)集1,x,x x中元素x所滿足的條件是 22、 已知 A a 3,2a 1,a1 ，其中 a R，若 3 A，求實數(shù)a的值；當a為何值時，集合 A的表示不正確。23、 已知集合A a 2,2aa，若3 A，求a的值。、”八2變式：已知集合 A x R| ax 3x 20,a R。若A是空集，求a的取值范圍；若A中只有一個元素，求 a的值，并把這個元素寫出來；若A中至多有一個元素

10、，求 a的取值范圍224、設(shè)集合A a|a n1,nN ，集合 B b |b k 4k5,kN ，若 a A ，試判斷 a 與集合B的關(guān)系。5、設(shè) a,bZ ,集合 Px, y2| x a 3b 6y ，點 2,1P，點 1,0 P ，點 3,2P，求a,b的值。知識點 7、集合的分類：1)有限集：含有有限個元素的集合2)無限集：含有無限個元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合記作，如：x R|x2 1 0知識點 8、集合與集合之間的關(guān)系 ：(一)、子集(1)子集定義：一般地，對于兩個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，我們就說 集合A包含于集合B,或集合B包含集合A記

11、作：A B或B A ，A B或B A 讀作：A包含于B或B包含A若任意x A x B，則A B當集合A不包含于集合 B,或集合B不包含集合A時，則記作A B或B A 注：A B有兩種可能(1)A是B的一部分，；(2) A與B是同一集合(2)集合相等：一般地，對于兩個集合 A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合 A的元素，我們就說集合 A等于集合B,記作A=B(3) 真子集：對于兩個集合A與B，如果A B，并且A B，我們就說集合 A是集合B的真子集，記作: AB或BA,讀作 A真包含于 B或B真包含 A(4) 子集與真子集符號的方向如A B與B A

12、同義；A B與A B不同(5) 空集是任何集合的子集A規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集A若AM，則A任何一個集合是它本身的子集 A A( 6)易混符號： “ ”與“ ”：元素與集合之間是屬于關(guān)系； 集合與集合之間是包含關(guān)系如 1 N, 1 N,N R, R， 1 1 ， 2， 3 0與：0是含有一個元素 0的集合，是不含任何元素的集合女口0不能寫成=0， 0例題精析 3：1 (1)寫出N, Z, Q, R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示( 2) 判斷下列寫法是否正確 A A A A AA解( 1 )： N Z Q R(2 正確；錯誤，因為 A可能是空集；正確；錯誤2 ( 1)填空：N_Z, N_Q,

13、 R_Z, R_Q， _0(3) 是否對任意一個集合A,都有A A,為什么？(4) 集合a,b的子集有那些？(5) 高一(1)班同學組成的集合A,高一年級同學組成的集合B,則A B的關(guān)系為 _解：(1) N Z, N Q, R 乙 R Q0(2 )T A=x R|x 2 -3x-4=0 = -1,4,B=x Z|x|10=-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A B正確(3 )對任意一個集合 A,都有A A,(4) 集合a,b的子集有：、a、b、a,b(5) A B的關(guān)系為A B.3解不等式x+32，并把結(jié)果用集合表示出來.解：x R|x+

14、32=x R|x 43、已知 S= x |- 1 w x+ 2 v 8, A= x | - 2 v 1 xw 1,B= x | 5 v 2x 1 v 11,討論 A 與 CSB 的關(guān)系解： S= x| 3w x v 6, A= x|0 w x v 3, B = x|3 w x v 6 A CSB知識點9、子集的個數(shù)： 由例與練習題，可知(1) 集合a,b的所有子集的個數(shù)是 4個，即?,a,b,a,b(2) 集合a,b,c的所有子集的個數(shù)是8個，即?,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c猜想:(1)集合a,b,c,d的所有子集的個數(shù)是多少？( 2416)集合a1, a2,an的所有子集的個數(shù)是多少？(2n)結(jié)論提煉：含n個元素的集合a1,a2, an的所有子集的個數(shù)是2n，所有真子集的個數(shù)是2n-1，非空真子集數(shù)為2n2例題精析4:1、滿足條件1,2M1,2,3,4,5的集合M的個數(shù)是()A3B6C 7D 82、已知集合Aa,b,c，且BA，則滿足條件的集合B的個數(shù)是()A 5B 6C 7D 8高考鏈接： 定義集合運算： A B z|z xy（x y）,x