因式分解典型例題

1、典型例題一例 01 選擇題：對 2mmp np2n 運用分組分解法分解因式,分組正確的是（）( A) (2m 2n np)mp(B) (2m np) (2n mp)(C)(2m 2n) (mpnm)( D) ( 2m 2n mp) np分析 本組題目用來判斷分組是否適當(dāng) （A的兩組之間沒有公因式可以提取，因而（A）不正確；（B）的兩組，每一組第一次就沒有公因式可提，故（B）不正確；（D）中兩組也無公因式可提，故（D）不正確.（C）中第一組可提取公因式 2,剩下因式（m n）；第二組可提取 p，剩下因式（m n），這樣組間 可提公因式（m n），故（C正確.典型例題二例 02 用分組分解法分解因

2、式：（1）7x2 3y xy 21x ；（2）1 x2 4xy 4y2 .分析 本題所給多項式為四項多項式,屬于分組分解法的基本題型,通過分組后提公因式或分組后運 用公式可以達(dá)到分解的目的 .解 7x 2 3y xy 21x2（7x221x）（ 3 y xy） （合理分組）7x（ x 3） y（x 3） （組內(nèi)提公因式）（x 3）（7x y） （組間提公因式） 1 x2 4xy 4y2221 （x 2 4xy 4 y2 ） （注意符號）1 （x 2y）2 （組內(nèi)運用公式）1 （x 2y） 1 （x 2y） （組間運用公式）（1 x 2y）（1 x 2y）說明 分組分解法應(yīng)用較為靈活,分組時要有

3、預(yù)見性,可根據(jù)分組后“求同”有公因式或可運用 公式的原則來合理分組,達(dá)到分解的目的 .另外在應(yīng)用分組分解法時還應(yīng)注意：運用分組分解法時，可靈活選擇分組方法，通常一個多項式分 組方法不只一種,只要能達(dá)到分解法時,殊途同歸 .分組時要添加帶“”的括號時，各項要注意改變符號，如的第一步典型例題三例03分解因式：5x315x2 x 3分析 本題按字母x的降幕排列整齊，且沒有缺項，系數(shù)分別為5,15 ,1, 3.系數(shù)比相等的有1 或15，因而可分組為(5x3 x)、( 15x2 3)或(5x3 15x2)、( x 3).15313解法一5x3 15x2 x 3(5x3 15x2)( x 3)(學(xué)會分組的

4、技巧)25x (x 3) (x 3)2(x 3)(5x1)解法二 5x3 15x2 x 3(5x3 x) ( 15x23)x(5x2 1) 3(5x21)(5x21)( x 3)說明 根據(jù)“對應(yīng)系數(shù)成比例”的原則合理分組，可謂分組的一大技巧！典型例題四2例04分解因式：7x 3y xy 21x分析 本例為四項多項式，可考慮用分組分解法來分解見前例，可用“系數(shù)成比例”的規(guī)律來達(dá)到合理分組的目的.解法一7x2 3y xy 21x(7x221x) ( 3y xy)7x(x 3) y(x 3)(x 3)( 7 x y)解法二7x2 3y xy 21x2(7x xy) ( 3y 21x)x(7x y)

5、3(7 x y)(x 3)( 7 x y)說明 本例屬于靈活選擇分組方法來進(jìn)行因式分解的應(yīng)用題，對于四項式，并不是只要所分組的項數(shù)相等，便可完成因式分解要使分解成功，需考慮到分組后能否繼續(xù)分解本小題利用“對應(yīng)系數(shù)成比例” 的規(guī)律進(jìn)行巧妙分組，可謂思維的獨到之處，這樣避免了盲目性，提高了分解的速度典型例題五例 05 把下列各式分解因式：22(1) xy xz y 2 yz z ；(2) a2 b2 c2 2bc 2a 1；(3) x2 4xy 4y2 2x 4y 1. 分析 此組題項數(shù)較多，考慮用分組法來分解 .解法(1)xy2xz y2 yz z(xyxz)(y22yzz2)x(yz)(yz)

6、2(yz)(xyz)(2)a 2 b2c2 2bc2a 1(a22a1)2(b2 2bc c2)22(a 1)2 (b c)2(a 1 b c)( a 1 b c)(3) x2 4xy 4y2 2x 4 y 122(x2 4 xy 4y2) (2x 4 y) 12( x 2y) 2 2( x 2 y) 12( x 2 y 1) 2說明 對于項數(shù)較多的多項式合理分組時，以“交叉項”為突破口，尋找“相應(yīng)的平方項”進(jìn)行分組， 這使分組有了一定的針對性，省時提速 .女口中，“交叉項”為2yz，相應(yīng)的平方項為y2、z2 ；中，“交叉項”為2bc，相應(yīng)的平方項為b2、 2c.典型例題六例 06 分解因式：

7、22(1)a2 5a 6；(2)m2 3m 10.分析本題兩例屬于x2(pq)xpq型的二次三項式,可用規(guī)律公式來加以分解解(1) 6(2) (3) ,(2)(3) 5 ,2 a5a 62 a(23)a(2)(3)(a2)(a3)( 2)1025,253,2m3m 102m5(2)m(5) ( 2)(m 5)(n 2) .說明 抓住符號變化的規(guī)律，直接運用規(guī)律 .典型例題七例 07 分解因式：(1) (a b) 2 2 a 24b 2 a 2b 4bc c2 c 5(a b) 4；22(2) p2 7pq 12q2 .分析 對(1),利用整體思想，將(a b)看作一個字母，則運用 x2 (p

8、q)x pq型分解；對(2), 將其看作關(guān)于 p的二次三項式，則一次項系數(shù)為7 p，常數(shù)項為I2q2，仍可用x2 (p q)x pq型的二次三項式的規(guī)律公式達(dá)到分解的目的 .解 ( 1 ) ( a b) 25( a b) 4(a b 1)(a b 4)( 2)12q2( 3q)( 4q),3q ( 4q) 7q ,2p27 pq12q2p2 7pq12q2(p3q)( p4q) .典型例題八例 08分解因式：x43xx1； p25pq6q2p3q； a(a1)(a1) b(b1)(b 1)；分析 本組題有較強(qiáng)的綜合性，且每小題均超過三項，因而可考慮通過分組來分解解 法一： x4 x (x3 1

9、)( x 1)(x 1)(x2 x 1)( x 1) p2 5 pq 6q2 p 3q2 2 2(p 5pq 6q )(p 3q)(看作 x (a b)x ab型式子分解)(pq)(p 3q) (p 3q)(p 3q)(pq 1) a(a 1)(a 1) b(b 1)(b 1)a(a1) b(b1)33aa b b x 143( x4 x3) ( x 1)x3( x 1) (x 1)(x 1)(x3 1)( x3 1可繼續(xù)分解，方法很簡單： (x3 x) (x 1)，對于 x3 1方法類似，可以 自己探索)(x 1)( x 1)( x2 x 1)法二： x4 x3 x 143( x4 1) (

10、 x3 x)2 2 2(x2 1)( x2 1) x(x 2 1)22(x2 1)( x2 1 x)(x 1)( x 1)( x2 x 1)法三： x4 x 3 x 143( x4 x) ( x3 1)33x( x3 1) (x3 1)3(a3b3)(ab)(ab)(a2 abb2) (a b)(ab)(a2 abb21) a24b2a 2b 4bc c2 c2 a(4b24bc2c2) (a 2bc)a2(2bc)2(a 2b c)a( 2bc ) a(2b c) (a2b c )(a2bc)(a2b c) (a 2bc)(a2bc)(a2b c 1)說明 中，雖然三法均達(dá)到分解目的，但從目

11、前同學(xué)們知識范圍來看，方法二較好，分組既要合理 又要巧妙，使分組不僅達(dá)到分解目的，又能簡化分解過程，降低思維難度 .式雖超過四項，但通過分組仍可巧妙分解，只是分組后不是通常的提公因式或運用公式，而是利用2 2 2了 x (a b)x ab型二次三項式的因式分解.將p 5pq 6q看做關(guān)于p的二次三項式2 2 226q2 2q 3q ， p2 5qp 6q2 p2 (2q 3q) p 2q 3q.式表面看無法分解，既找不到公因式，又不符合公式特點，對待此類題目，應(yīng)采用“先破后立”的 方式來解決 . 即先做多項式乘法打破原式結(jié)構(gòu)，然后尋找合適的方法 .式項數(shù)多，但仔細(xì)觀察，項與項之間有著內(nèi)在聯(lián)系，

12、可通過巧妙分組以求突破但應(yīng)注意：不可混淆因式分解與整式乘法的意義如小題中做乘法的目的是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法善于將外在形式復(fù)雜的題目看做熟悉類型，如小題中p2 5pq 6q2.典型例題九例 09 分解因式：(1) x(x 1)(x2)6；(2)ab(x21) x(a2 b2)分析 本組兩個小題既無公因式可提又不符合公式特點，原題本身給出的分組形式無法繼續(xù)進(jìn)行，達(dá) 到分解的目的，對此類型題，可采用先去括號，再重新分組來進(jìn)行因式分解解 x( x 1)( x 2) 6x(x2 3x 2)632x3 3x2 2x 6(乘法運算，去括號)32(x3 3x2)(2x6) (重新分組)

13、x(a 1)(a2 a 6)(a 1)(a 2)(a 3)說明當(dāng)a 1時，多項式a3 7a 6值為o，因而(a 1)是a3 7a 6的一個因式，因此，可從“湊因子” (a 1) 的角度考慮，把 6拆成 1 7 ，使分組可行，分解成功 . 運用“湊因子”的技巧還可得出以下分解方法 .法二： a3 7a 6(x 3) 2(x 3)(x 3)(x2 2) ab(x2 1) x(a2 b2)abx2 ab a2x b2x (乘法運算去括號)2 2 2(abx2 a2x) (ab b2 x ) (重新分組)ax(bx a) b(bx a)(ax b)(a bx)說明 “先破后立，不破不立” . 思維的獨

14、創(chuàng)性使表面看來無法分解的多項式找到最佳的分解方式 .典型例題十例 10 分解因式 aa3 a 6a 6 7a 6分析 因式分解一般思路是： “一提、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式(十字相乘法) ” . 即：首先考 慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否 可以分組分解；對形如二次三項式或準(zhǔn)二次三項式可以考慮用“規(guī)律式” (或十字相乘法)分解 . 按照這樣 的思路，本題首應(yīng)考慮用分組分解來嘗試 .解 a3 7a 6 a3 7a 1 7(a3 1) (7a 7)(a 1)(a2 a 1) 7(a 1)2(a 1)(a2 a 1 7)z 3(a3a)

15、(6a6)a(a2 1)6(a1)a(a1)(a1)6(a1)(a1)(a2a6)(a1)(a2)(a3)法三：3a7a 6a37a8 14z 3(a8)(7a14) (湊立方項）(a2)(a2 2a4)7(a 2)(a2)(a2 2a47)(a2)(a2 2a3)(a2)(a1)(a3)法四：a37a 63a7a27 231（與 a3 湊立方項）/ 3(a327)(7a21)(a3)( a3a9)7（a 3） （套用(a3)( a3a97)(a3)( a3a2)(a3)( a1)(a2)法五：3a7a 63a4a3a 6（拆7a 項)(a34a)(3a6)a(a2 4)3(a2)3 aa(a

16、 2)(a 2) 3( a 2)3b公式）(a 2)(a 2 2a 3) (a 2)(a 1)( a 3)法六： a3 7a 6a3 9a 2a 6 （湊平方差公式變 7a 項）3( a3 9a) (2a 6) a(a2 9) 2(a 3) a(a 3)( a 3) 2(a 3)(a 3)( a2 3a 2)(a 3)( a 1)( a 2)法七：令 a x 1則（ a 1為多項式一個因式，做變換 x a 1 ）a7a6(x1)7(x 1)63 x3x23 x 17x7 6 (做乘法展開）3 x3x24xx(x2 3 x4)x(x1)(x4)(x1 1)(x12)(x1 3)(a1)(a2)(

17、a3)(還原回a）說明 以上七種方法中，前六種運用了因式分解的一種常用技巧“拆項” （或添項），這種技巧以 基本方法為線索，通過湊因式、湊公式等形式達(dá)到可分組繼而能分解的目的 . “湊”時，需思、需悟、觸 發(fā)靈感 . 第七種運用了變換的方法，通過換元尋找突破點 .本題還可以如下變形：a3 7a 6 = (a3 a2) (a2 7a 6) a2(a 1) (a 1)(a6)=典型例題十例11若4x2 kx 25是完全平方式，求k的值.2 2 2 2分析 原式為完全平方式，由 4x2 （2x）2， 25 52即知為 （2x 5）2 ，展開即得 k 值.解4x2 kx 25 是完全平方式應(yīng)為 (2x

18、5)2又 (2x 5)2 4x2 20x 25 ，故 k 20.說明 完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定k值時不要漏掉各種情況.此題為因式分解的2 2 2 逆向思維類，運用 a2 2ab b2 (a b)2 來求解 .典型例題十二例 11 把下列各式分解因式：(1) x2 8x 16；(2) a4 14a2b3 49b6(3) 9(2a b)2 6(2a b) 1解：( 1)由于 16 可以看作 42 ，于是有2 2 2x2 8x 16 x2 2 x 4 42(x 4)2 ；(2) 由幕的乘方公式， a4可以看作(a2)2，49b6可以看作(7b3)2，于是有42 362 2233 2

19、a4 14a2b349b6(a2)22 a27b3(7b3)223 2(a 7b ) ；(3) 由積的乘方公式， 9(2a b)2可以看作3(2a b)2，于是有9(2a b)2 6(2a b) 123(2a b)22 3(2a b) 1 123(2a b) 122(6a 3b 1)2說明(1)多項式具有如下特征時，可以運用完全平方公式作因式分解：可以看成是關(guān)于某個字母 的二次三項式；其中有兩項可以分別看作是兩數(shù)的平方形式，且符號相同；其余的一項恰是這兩數(shù)乘 積的 2 倍，或這兩數(shù)乘積 2 倍的相反數(shù) . 而結(jié)果是“和”的平方還是“差”的平方，取決于它的符號與平 方項前的符號是否相同 .( 2

20、)在運用完全平方公式的過程中，再次體現(xiàn)換元思想的應(yīng)用，可見換元思想是重要而且常用思想方 法，要真正理解，學(xué)會運用 .典型例題十三例 12 求證：對于任意自然數(shù) n， 3n 2 2n 3 3n 2n 1一定是 10 的倍數(shù) .分析 欲證是 10 的倍數(shù)，看原式可否化成含 10 的因式的積的形式n 2 n3 n n1證明 3n 22 n 33n2 n 1(3n3n)(2 n 32n 1)3n (32 1) 2n(23 2)3n 10 2n 1010(3n 2n )10(3n 2n )是 10 的倍數(shù)，3n 2 2n 3 3n 2n 1一定是 10的倍數(shù) .典型例題十四例 13因式分解（ 1） a2

21、x a2 y b2x b2y；22) mx mx n nx解：(1) a2x a2y b2x b2 y (a2x a2b) (b2x b2y)a2 (x y) b2(x y)(xy)(a2b2)或2222 ax a y b x b y(a2xb2x)(a2yb2y)x(a2b2)y(a2b2)(a2b2)(xy)；22) mx mx n nx(mxmx2)( n nx)mx(1x)n(1 x )(1 x)( mx n)或 mx mx 2 n nx ( mx 2 nx) ( nx n)x( mx n) (mx n) (mx n)( x 1)說明 ：（1）把有公因式的各項歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新

22、的公因式，這是正確分組的關(guān)鍵所在。因 此，分組分解因式要有預(yù)見性；（ 2）分組的方法不唯一，而合理的選擇分組方案，會使分解過程簡單；3)分組時要用到添括號法則，注意在添加帶有負(fù)號的括號時，括號內(nèi)每項的符號都要改變；(4)實際上，分組只是為實際分解創(chuàng)造了條件，并沒有直接達(dá)到分解典型例題十五例 14 把下列各式分解因式：1)a34ba( x 1)(x2 x 1 x)a2b；(2)x22 a2ab b3)ax2ax2axa解：(1)2 a4b2a2b (2 a4b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a 2b)(a2b)(a2b1)2)2 x2 a2abb2x2(a22abb2)x2(ab)2x(ab

23、) x(ab)(xab)( x a b)3)3 ax2 axaxaa( x a(x 1)( x2 1)說明 ：(1)要善于觀察多項式中存在的公式形式，以便恰當(dāng)?shù)胤纸M；同時還要注意統(tǒng)觀全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組。如，x2 a2 2ab b2 (x2 a2 ) (2ab b2) (x a)(x a) b(2a b) ，就會分解不下去了；x2 x 1)a(x3x2 ) (x1)ax2(x1) (x1)a(x21)( x2 1)或3 ax2 axaxaa( x 3x(x21)a(x21)( x 1)或3 ax2 axaxaa(x31)(x2x)a(x 1)(2 xx 1)x(x1)( 2)有公因式時， “首先考慮提取公因式”是因式分解中始終不變的原則，在這里，當(dāng)提取公因式后 更便于觀察分組情況，預(yù)測結(jié)果；( 3)對于