高等數(shù)學(xué)電子課件同濟(jì)第六版04第十章第4節(jié)重積分的應(yīng)用

1、1重積分的應(yīng)用第四節(jié)一、二重積分的應(yīng)用二、三重積分的應(yīng)用三、小結(jié)2、立體的體積一)(曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積xyz),(yxfz dddyxfv ),(、一般立體的體積、一般立體的體積2),(yxzz1),(yxzz2d dyxzyxzvd),(),(12一、二重積分的應(yīng)用3例例1.求兩個(gè)底圓半徑為r的直角圓柱面所圍立體的體積.xyzrro解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222ryx利用對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為:dxdyxrvd22822022xrdyxrdxxrr022)(83316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxdxr08222ry

2、x222rzx42例例公共部分體積公共部分體積與與求球體求球體rzzyxrzyx22222222:解解求兩球交線的投影求兩球交線的投影zrzzyxrzyx消去消去由由2222222222243ryx投影柱面方程投影柱面方程d投影域投影域22243ryx222yxrz222yxrrz dyxrryxrvd)(222222drrdr2302220)2(3125r 5實(shí)例實(shí)例一顆地球的同步軌道通訊一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們

3、看到它在的角速率相同，即人們看到它在天空不動(dòng)若地球半徑取為天空不動(dòng)若地球半徑取為r，問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？(二)、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz6設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過(guò)上過(guò)為為yxfyxms .dsdadadsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d),(y

4、xmdaxyzs o 7,面上的投影面上的投影在在為為xoydad ,cos dad,11cos22yxffdffdayx221dyxdffa221曲面曲面s的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyaxydyzxz22)()(1所以當(dāng)曲面的方程為：所以當(dāng)曲面的方程為：),(yxfz ,dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠赿xdyxydyzxz22)()(18設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .dzdxazxdxyzy221設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;dydzay

5、zdzxyx221同理可得同理可得9例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圓柱體，含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx10面面積積dxdyzzadyx 1221412224ddxdyyxaacos0220142adada.4222aa 11例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解 解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交

6、線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队坝驗(yàn)閤y,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 12221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaasxyd222441故dxdyxyd2daada022204122 a).15526(62a13(三)、平面薄片的質(zhì)心),(yxxoy12( ,)x y22(,)xy(,)nnxy1m2mnm設(shè)在平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于點(diǎn)，處，質(zhì)量分別為，由力學(xué)知識(shí)知道該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo) 為，11niiyiniim xmxmm1

7、1niixiniim ymymm1nyiiim x 1niimm其中1nxiiimm y為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)y軸的靜矩。為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸的靜矩。14當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心形心.,1dxdax.1dydaydda其中,),(),(dddyxdyxxx.),(),(dddyxdyxyyxoyd( , )x yd設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域 ，在點(diǎn)處的面密度為，在上連續(xù)，則該薄片）yx,(）yx,(的質(zhì)心：15例例1. 求位于兩圓sin2sin4和薄片的重心. oyx42d解解： 利用對(duì)稱(chēng)性可知0 x而dydxdyay1dddsin312dsin4sin22

8、d04sin9562956d204sin295637c。之間均勻0sin31d4321216(四)、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量17,),(2dxdyxyi.),(2dydyxxi薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量yxoyd( , )x yd設(shè)有一平面薄片占有設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域平上的閉區(qū)域 ，在點(diǎn)，在點(diǎn)處的面密度為處的面密度為，在在上連續(xù)，則該薄片上連續(xù)，則該薄片）yx,(）yx,(的對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)到慣量：的對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)到慣量：18例例 1 1 設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別 為為a、b，求求這

9、這三三角角形形對(duì)對(duì)其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量. 解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對(duì)對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,2dxdyxidy19babydxxdy0)1(02.1213ba同理：對(duì)同理：對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dxdyyidx2.1213aboyxba20例例 2 2 已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)）的長(zhǎng)）的長(zhǎng)和寬分別為和寬分別為b和和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解解先求

10、形心先求形心,1 dxdxdyax.1 dydxdyay 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hba 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)b, 0 x. 0yh21dxdxdyyi222222hhbbdxdyy.123 bh dydxdyxi2.123 hb 22薄片對(duì)薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z,zyxffff ,)(),(23222dayxxyxkfdx,)(),(23222dayxyyxkfdy.)(),(23222dayxyxakfdz為引力常數(shù)為引力常數(shù)k(五)、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力xoyd( , )x yd設(shè)有一平面

11、薄片占有設(shè)有一平面薄片占有平上的閉區(qū)域平上的閉區(qū)域 ，在點(diǎn)，在點(diǎn)處的面密度為處的面密度為，在在上連續(xù)，求該薄片上連續(xù)，求該薄片）yx,(）yx,(對(duì)位于對(duì)位于z軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn) （0,0,a）處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。）處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。23例例1 求面密度為常量、半徑為求面密度為常量、半徑為r的均勻圓形的均勻圓形 薄片：薄片：222ryx ，0 z對(duì)位于對(duì)位于 z軸上的軸上的 點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0am處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力)0( a 解解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知, 0 yxffdayxyxakfdz23)(),(222dayxad23)(1k222oyz

12、xf24dadar0222023)(1k.11222aarka所求引力為所求引力為.112, 0, 022aarka251. 立體體積立體體積 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zdydxdv二、三重積分的應(yīng)用二、三重積分的應(yīng)用26oxyza2例例1. 求半徑為a 的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zdydxdvcos202ardrdasincos316033)cos1(3443armo說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)2334avcos20ar 020時(shí),0sind20drdddrsin2就得到球的體積27設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)密度函

13、數(shù),),(),(dxdydzzyxdxdydzzyxxx,),(),(dxdydzzyxdxdydzzyxyydxdydzzyxdxdydzzyxzz),(),(),(zyx則其重心坐標(biāo)為:當(dāng)),(zyx常數(shù)常數(shù) 時(shí), 則得形心坐標(biāo)：,vdxdydzxx,vdxdydzyyvdxdydzzzdxdydzv物體的體積2. 物體的重心物體的重心28例例2. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形，它的曲面方程為3039222zzzyx,)()(若爐內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液，且不計(jì)爐體的自重，試求它的重心。解解：利用對(duì)稱(chēng)性可知重心在 z 軸上，故0 yx)41229(923hhhzdydxdvhzdzz02)3(9

14、zdhdxdyzd0oxhzvzdydxdzz則鋼液體積29曲面方程為0 yx)41229(922hhhv鋼液體積,)3()(9222zzyxhzdzz022)3(9zdhdxdyzdz0zdydxdzmz)51233(923hhh225409043060hhhhhvmzz303.物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,有連續(xù)分布的密度函數(shù)),(zyx類(lèi)似于討論物體重心的方法, 先用“大化小大化小,常代變常代變”得到質(zhì)點(diǎn)系對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近似值:kkkkkkv),()(22令 ,就得到物體對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0zdydxdzyxyxiz),()(22類(lèi)似可得:zdydxdzy

15、xix),( zdydxdzyxiy),( nk 1zi)(22zy )(22zx xyoz31ol例例3. 求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸, 設(shè)所占域?yàn)?222:azyx則zizdydxdyx)(22552a5158a ddrdr sin2用球坐標(biāo)xzy132220d34sinrd03sin)sinsincossin(222222rrrdra04問(wèn)題：如何用截面法和柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？問(wèn)題：如何用截面法和柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分？222zyxr g 為引力常數(shù)四、物體的引力四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx物體對(duì)位

16、于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,vrxzyxgfxd),(d3vryzyxgfyd),(d3vrzzyxgfzd),(d3在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)rzxvdyfd引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為),(zyxffff vrxzyxgfxd),(3vryzyxgfyd),(3vrzzyxgfzd),(3rxyzo例例4. 求半徑 r 的均勻球2222rzyx對(duì)位于)(), 0 , 0(0raam的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對(duì)稱(chēng)性知引力分量0yxffzfrrzazgd)(vazyxazgd)(23222rrzazgd)(200232222)(ddzraz點(diǎn)zdazyxyx232

17、22)(dd0mazdrrzazd )(zfg222211azarza200232222)(ddzrazrrzazgd)(g2rraza)(1222daazr2amgr2343rm 為球的質(zhì)量36幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）三、小結(jié)37175410p習(xí)題習(xí)題12,11),1 (98),1 (7 , 5) 1 (4 , 2，181p總習(xí)題十總習(xí)題十12111032865213412,),)(,),)(),)(38思考題思考題.)0(cos,cos之間

18、的均勻薄片的重心之間的均勻薄片的重心求位于兩圓求位于兩圓babrar 39ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)x, 0 y則則 ddddxxdrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考題解答思考題解答40一、一、 求錐面求錐面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面積曲面面積. .二、二、 設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域d是 介 于 兩 個(gè) 圓是 介 于 兩 個(gè) 圓 cos,cosbrar )0(ba 之間的閉區(qū)域之間的閉區(qū)域, ,求求均勻薄片的重心均勻薄片的重心. .三、三、 設(shè)有一等腰直角三角形薄片設(shè)有一等腰直角三角形薄片, ,腰長(zhǎng)為腰長(zhǎng)為a, ,各點(diǎn)處的各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 設(shè)均勻薄片設(shè)均勻薄片( (面密度為常數(shù)面密度為常數(shù) 1)1)所占閉區(qū)域所占閉區(qū)域d由拋物由拋物線線xy292 與直線與直線2 x所圍成所圍成, ,求求xi和和yi. .練練 習(xí)習(xí) 題題41五、求面密度為常量五、求面密度為常量 的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片: : 0,222221 zyrxyr