泰勒公式的理解及泰勒公式

1、對泰勒公式的理解及泰勒公式的應(yīng)用1 函數(shù)展開與向量空間 泰勒公式是函數(shù)展開的一種工具 , 也就是說 , 利用泰勒公式將函數(shù)展成冪級數(shù)是函數(shù)展開的一 種 方法, 當(dāng)然,函數(shù)的展開方法有多種 , 例如：用泰勒公式展開、三角級數(shù)的展開等。為更好 地理解 函數(shù)展開的意義以及泰勒公式的應(yīng)用， 文章先對函數(shù)的展開進(jìn)行論述 ,然后 ,用例題對 其應(yīng)用做進(jìn) 一步的說明。在高等數(shù)學(xué)中 ,函數(shù)展開有許多不同的形式 , 最常用的有如下兩種類型的函數(shù)級數(shù)展開。 函數(shù)的泰勒展開(冪級數(shù)展開)若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 x x-x 0 R內(nèi)無窮可微 ,且它的 Lagrange 余項 r n(x) 當(dāng) n 時 , 收斂于零

2、, 則在這區(qū)間內(nèi)有：1 2 函數(shù)的三角級數(shù)展開若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 - , 上連續(xù)且逐段光滑 , 則在這區(qū)間內(nèi)有：從函數(shù)展開式 (1) 和(2) 兩邊的項來看 , 左邊的函數(shù) f(x) 作為一個整體 ,它只有有限的一項 ,而 右邊 卻包含著無限多項 , 說明在一定條件下 , 有限形式的函數(shù)可以用無限形式的級數(shù)來表示 , 關(guān)于這一點,可以從另一個視角來看，若把展開式(1)和(2) 中的函數(shù)系：1,(x-x 0),(x-x0) 2,(x-x 0) 3, ,(x -x 0) n, 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x, ,cosnx,sinnx, 分別看成無限維函數(shù)空間的兩個坐標(biāo)系 ,

3、 其中的函數(shù)就是相應(yīng)的坐標(biāo)向量 , 則 f(x) 就可以看作這 個空間的一個點(或一個向量) , 則兩 級數(shù)的系數(shù)組成的兩個數(shù)列 :a0,a 1,a2, ,a n與 a0,a 1,b 1,a 2,b 2， ， n bn, 就是 f(x) 分別在這兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo) , 于是從形式來看， f(x) 作為這無限維空間中的一個 點( 個向量) , 但從數(shù)來看， f(x) 在這個空間中卻要用無限個坐標(biāo)來決定 . 在高等數(shù)學(xué)中 , 根據(jù)問題的 需要, 進(jìn)行有限與無限形式的相互變換 ,在解決數(shù)學(xué)問題中是常有的?？梢?,換個 角度看函數(shù)的展 開,會給人加深印象 , 能在原有的基礎(chǔ)上根深蒂固。談到有限與無限

4、,在高等數(shù)學(xué)中 ,根據(jù)問題的需要 ,進(jìn)行有限與無限形式的相互變換 , 在解決數(shù) 學(xué) 問題中是常常會用到的 , 這就是泰勒公式的魅力所在 .比如說：函數(shù)的分解與求和 , 函數(shù)關(guān) 系的證 明等 ,就要用這種有限與無限之間的變換方法?？梢?,這種有限與無限的變換方法的重要性 ,也體現(xiàn)了泰勒公式的奧妙之處。 通過認(rèn)識這種函 數(shù)展 開與向量空間的聯(lián)系可以更深刻的理解函數(shù)的展開,從而更會、 深刻的理解泰勒公式 , 使 它成為解決數(shù)學(xué)問題的更加有力的工具。2 泰勒公式的應(yīng)用2 1 用泰勒公式求極限運(yùn)用泰勒公式方法時需要注意的一個問題是： 將函數(shù)展開到多少項才可以呢其實從例題中 不難看 出, 只須展開至分子及

5、分母分別經(jīng)過化簡后系數(shù)不為零的階數(shù)即可。 從以上例子中可以看出泰勒公式在求一些極限問題中起著非常大的作用 , 它可簡化運(yùn)算 ,并且 容 易理解和掌握。用泰勒公式證明不等式例 3 證明V xOx-ln（l+x）0,由（2）得 ln（l+x） = x-i 乙（l+i）2兀_芽Vv次故0 x0$冇 x ClnCH-xXx 證畢法。2. 32. 3可見，用泰勒公式證明不等式是一種很好的方秦勒公式在其他問題中的應(yīng)用1 求函數(shù)值估測及近似計算 例4計算心，使誤差不超過10- 解：由泰勒公式展開，有，|Ra（4-）l =品申屮(0啟)L_2L(n+l)! 3十(n+D! 3n+l欲使|Rn(y)|104,只需取于是, + 命* i9563T=1+丄+丄丄+丄7 丄十3十2!3?十3!9 Q 9 訐頭比佶八才例5設(shè)f(x)在a,