有限元原理加權(quán)余量法和變分法ppt課件

1、l第三講l1.偏微分方程求解有限元法的原理加權(quán)余量法和變分法1.解析法2.運(yùn)用范圍有限，適用于實(shí)際求解，但有劇烈的物理含義常系數(shù)微分方程3.某些復(fù)雜問題，很思索根本找不到解析解4.2. 數(shù)值法5.工程實(shí)踐中運(yùn)用廣泛，復(fù)雜場域問題，但物理含義不很清楚。任何問題總可以找到數(shù)值解數(shù)學(xué)方法222222tJtAA.l2.數(shù)值求解方法2/41. 根本思想： 以偏微分方程的近似解來替代其真解，只需近似解與真解足夠以偏微分方程的近似解來替代其真解，只需近似解與真解足夠接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。2. 根本方法：1.假設(shè)一個近似解，該解為一

2、組方式上簡單函數(shù)假設(shè)一個近似解，該解為一組方式上簡單函數(shù) 的線性組合的線性組合來表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù)來表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù)2.然后建立一種思索了微分方程和邊境條件的關(guān)于真解然后建立一種思索了微分方程和邊境條件的關(guān)于真解 和近似解和近似解間誤差的目的函數(shù)間誤差的目的函數(shù) F3.用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃康暮瘮?shù)最小化用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃康暮瘮?shù)最小化最小化的過程就確定了最小化的過程就確定了待定系數(shù)，從而也就得到了問題的近似解。待定系數(shù)，從而也就得到了問題的近似解。 i iC嘗試函數(shù)，基函數(shù)，形函數(shù).l2.數(shù)值求解方法2/4目的函數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近

3、真解；目的函數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目的函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就構(gòu)成了不同的數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目的函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就構(gòu)成了不同的數(shù)值解法，電磁場中就常見的是：加權(quán)余量法和變分法。數(shù)值解法，電磁場中就常見的是：加權(quán)余量法和變分法。.l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法電磁場問題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊境條件表述電磁場問題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊境條件表述222222tJtAA ) 1(1g)2()2(22ht兩個偏微分方程方式一

4、樣，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢兩個偏微分方程方式一樣，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢量的方程可以分解到各個分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。量的方程可以分解到各個分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。.在求解場域內(nèi)，偏微分方程的真解為在求解場域內(nèi)，偏微分方程的真解為 ，近似解為，近似解為 它由一組簡單函數(shù)它由一組簡單函數(shù) 的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù)的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù) 即：即：l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法加權(quán)余量法加權(quán)余量法 i iC 1niiiC簡單函數(shù)，普通選用簡單方式的函數(shù)，一旦選定就是知的了待定系數(shù)是真正的求解目的問題的自在度近似解.l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的

5、數(shù)值求解方法加權(quán)余量法加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差即余數(shù)，并設(shè)加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差即余數(shù)，并設(shè)法使其最小的方法。法使其最小的方法。 : 22）（）（上：邊界內(nèi)場域RR加權(quán)余量法誤差即余數(shù)的定義：加權(quán)余量法誤差即余數(shù)的定義：留意：普通余數(shù)并不表示近似解與真解間的代數(shù)差場域內(nèi)，加權(quán)余留意：普通余數(shù)并不表示近似解與真解間的代數(shù)差場域內(nèi)，加權(quán)余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別即余數(shù)，來代表近似解量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別即余數(shù)，來代表近似解整體接近偏微分方程真解的程度。整體接近偏微分方程真解的程度。問題的自在度.l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加

6、權(quán)余量法當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時，就可以以為近似解就是偏微分方程的解。當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時，就可以以為近似解就是偏微分方程的解。要減少余數(shù)，我們可以經(jīng)過尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來實(shí)現(xiàn)。要減少余數(shù)，我們可以經(jīng)過尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來實(shí)現(xiàn)。為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加權(quán)函數(shù)的積分為權(quán)函數(shù)的積分為0?！凹訖?quán)余量法的來由。加權(quán)余量法的來由。 ; *jjww設(shè)加權(quán)函數(shù)為：.l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法 ,.2 , 1 d d *jRwRwjj，目標(biāo)函數(shù)：加權(quán)余數(shù)的定義：加權(quán)余數(shù)的定義：加權(quán)函數(shù)

7、的選取方法很多：如點(diǎn)重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。加權(quán)函數(shù)的選取方法很多：如點(diǎn)重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。效果較好的、運(yùn)用較多的是迦遼金法：效果較好的、運(yùn)用較多的是迦遼金法：jjjww*即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù)即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù).l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法 0 d d )()(趨于則余數(shù)最小，令，RjjjRjFRRF由此構(gòu)建加權(quán)量法的目的函數(shù)：由此構(gòu)建加權(quán)量法的目的函數(shù)：上述過程中，曾經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為上述過程中，曾經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為j個代數(shù)方程組，便于計算機(jī)求解。個代數(shù)方程組，便于計算機(jī)求解。關(guān)于函數(shù)的函數(shù)，稱

8、為：泛函數(shù)，或泛函.l3. 加權(quán)余量法例1例例1.兩極電容板內(nèi)部電場分布問題：兩極電容板內(nèi)部電場分布問題：根據(jù)問題特點(diǎn)將根據(jù)問題特點(diǎn)將3維問題簡化為維問題簡化為2維，維，進(jìn)一步簡化為進(jìn)一步簡化為1維。維。該問題是靜態(tài)電場問題，該問題是靜態(tài)電場問題，偏微分方程和邊境條件：偏微分方程和邊境條件：;10; 0002d.22112211211 xCxCCCxCCiiiniii加權(quán)余量法求解：加權(quán)余量法求解：1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：1,2)(i iix2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：22C R :22l3. 加權(quán)余量法例1實(shí)際上恣意選取，操作中越簡

9、單越好 020 )()()(222221122122CxCxCxCiii.2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式： ）（）（：Rl3. 加權(quán)余量法例1 )xCxC(dx )xCxC( xdxdx0 xx2211221100處：在處：在）（）（221121xCxCxCiii）（ 10 0 00處：在處：在）（）（dxxdxx )dCdC(Rdx R xdxx100022110處：在處：在.3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：2 , 1 d d )(jRRFjjRj，l3. 加權(quán)余量法例1010110010021221232212222110221102dC)d(dCd)ddCd

10、C(dC d )xCxC( ( x d )xCxC( ( x d)C( x d Rd RF,jdx |dxx |0 xd11)R( 1得到一個代數(shù)方程：時.3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：l3. 加權(quán)余量法例1010)32( )10(032 d )10)( ( d )0)( ( d)2( d d ,2223132423132 |x221120 |0 x2211202222)(2dCddCdddCdCdCxCxCxxCxCxCxRRFjdxdxdR又得到一個代數(shù)方程：時.4. 求解上述兩個代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解求解上述兩個代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解l3. 加

11、權(quán)余量法例10 /10 21；解得：CdCxdxCxCxCiii10221121近似解：）（加權(quán)余量法求解流程：加權(quán)余量法求解流程：1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式3. 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式4. 令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解系數(shù)，從而確定近似解.該靜態(tài)電場問題的真解解析解：該靜態(tài)電場問題的真解解析解：l3. 加權(quán)余量法例1真解與近似解一樣是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常是有差別的，如選用三角函數(shù)，但求解過程會復(fù)雜，可

12、見嘗試函數(shù)的選取是有技巧的。.l4. 加權(quán)余量法求解普通化偏微分方程的歸納 )( )(sq 普通化偏微分方程：線性微分算子那么其他數(shù)為：sRqR)()()()()()( 1niiiC 其中：令加權(quán)余數(shù)為0，構(gòu)建代數(shù)方程：0d )(d )(0d )(d )(1*1*)(sCwqCwswqwFniiijniiijjjRj .l4. 加權(quán)余量法求解普通化偏微分方程的歸納由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可互換,代數(shù)方程變形： d d d)(d)(*1*1swqwCwCwjjniiijniiij 0d )(d )(1*1sCwqCwniiijniiij d swd qwCd)(wd)(w*jj

13、niii*jij1有j個代數(shù)方程，通常等于待定系數(shù)個數(shù).l4. 加權(quán)余量法求解普通化偏微分方程的歸納代數(shù)方程寫成矩陣方式：d d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij系數(shù)鼓勵邊境條件bFCK系數(shù)矩陣nn待定系數(shù)矩陣、源矩陣、邊境矩陣n1矩陣元素值： d d ddswbqwFwwKjjjjijijji*)()( 雖然元素值還需求積分、微分的求得，還難以借助計算機(jī)求解，但至少化為了代數(shù)方程組。經(jīng)過選擇適宜的加權(quán)函數(shù)和嘗試函數(shù)可以大大簡化矩陣元素的矩陣方程。有限元方法就是如此.l5. 加權(quán)余量法的進(jìn)一步優(yōu)化邊境條件的處置22112 hngq適當(dāng)?shù)倪x取加權(quán)函數(shù)，并對加權(quán)余數(shù)積分進(jìn)展處置，

14、可使某些邊境條件從加權(quán)余數(shù)的表達(dá)式中消逝，從而簡化矩陣方程及其系數(shù)的求解。以有源靜電場問題為例帕松方程.由近似解表述的加權(quán)余數(shù)為：l5. 加權(quán)余量法求解普通化方法的進(jìn)一步優(yōu)化 d d RwRwFjjRj*)(留意余數(shù)的本質(zhì)可使上式第二項(xiàng)消失動滿足，則第一類邊界條件自，使得常常選?。┛珊喕嬎愕m當(dāng)?shù)倪x?。ㄗ飨拗埔膺x，理論上嘗試函數(shù)可任其中近似解：gCiniii, 1 d d )()(*）（）（ jjww d d d 2112)()()(*hnwgwqwjjj ）（ d d d 2211122)()()(*）（）（）（ nwwwjjj.經(jīng)過嘗試函數(shù)，簡化加權(quán)余數(shù)后：l5. 加權(quán)余量法求解普通化方

15、法的進(jìn)一步優(yōu)化njhwnwqwwhnwqwFjjjjjjRj,.,)()(*)(321d d d d d d 22222 上式第一項(xiàng)，由格林第一定律得： d d d d 212nwnwwwjjjj 降了微分階數(shù)，等于降了近似解嘗試函數(shù)的延續(xù)性要求，從而擴(kuò)展了其選擇范圍.代入后：l5. 加權(quán)余量法求解普通化方法的進(jìn)一步優(yōu)化，則上式被大大簡化如選取加權(quán)函數(shù)：*)(jjjjjjjjjjjjjjjRjwwhwqwwhwnwqwnwnwwhwnwqwwF d d d d d d d d d d d d d 22221222 由于近似解在1類邊境上常數(shù)，所以此項(xiàng)為0選取特殊加權(quán)函數(shù)后，兩項(xiàng)和為0第二類邊境

16、條件也消逝了，闡明曾經(jīng)自動滿足了.令加權(quán)余數(shù)為0即可得到求解原微分方程的一組代數(shù)方程：l5. 加權(quán)余量法求解普通化方法的進(jìn)一步優(yōu)化njhwqwwFjjjRj,.3 , 2 , 10d d d 2)(這里加權(quán)函數(shù)只需一個了，進(jìn)一步，用迦遼金法，選加權(quán)函數(shù)為嘗試函數(shù)本身 1niiijjCw，且有近似解表達(dá)式：d d d 21hqCjjniiij）（.l5. 加權(quán)余量法求解普通化方法的進(jìn)一步優(yōu)化d d d 21hqCjjniiij）（由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可互換,代數(shù)方程變形： d d d 21hqCjjiniijd d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij對比簡化

17、前的代數(shù)方程：曾經(jīng)大大簡化，關(guān)鍵是邊境條件項(xiàng)全部消逝，微積分計算也降階、簡化.l5. 加權(quán)余量法求解普通化方法的進(jìn)一步優(yōu)化代數(shù)方程寫成矩陣方式： d d d 21hqCjjiniij njnjnjnnnjnninijiinjbbbfffccckkkkkkkkkkkk1112121111211 d d d 2hbqfkkjjjjijjiij 對稱矩陣，簡化計算還有積分求和，梯度差分，有限元將作處置小結(jié)：簡化后1、2類邊境條件自動滿足； 嘗試函數(shù)、加權(quán)函數(shù)選取 微分降階，簡化計算 對稱矩陣，簡化計算 根據(jù)情況源矩陣、邊境矩陣能夠?yàn)?對拉普拉斯方程和帕松方程問題適宜.l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2例

18、1中的靜電場問題，變?yōu)閮呻姌O板接地，中間充溢電荷。帕松方程.34231201xaxaxaxa加權(quán)余量法求解：加權(quán)余量法求解：1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：4)31,2(i :3210，、xxxxi利用問題，對近似解進(jìn)展簡化，對嘗試函數(shù)進(jìn)展優(yōu)化利用問題，對近似解進(jìn)展簡化，對嘗試函數(shù)進(jìn)展優(yōu)化l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2經(jīng)過嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊境條件，使得1類邊境條件在方程中消逝324110 00|aaaaxx；由此，嘗試函數(shù)和近似解優(yōu)化為：由此，嘗試函數(shù)和近似解優(yōu)化為：.)()(322312211xxcxxccc 2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足修正嘗試函數(shù)，以滿

19、足1類邊境條件：類邊境條件：)(作好準(zhǔn)備、其梯度為：、 3231222132231xxxxxxx l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2.3.代公式計算矩陣元素代公式計算矩陣元素 邊境矩陣邊境矩陣b為為0l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2.4. 封裝矩陣：封裝矩陣：l6. 簡化后加權(quán)余量法 例25. 求解矩陣，得近似解：求解矩陣，得近似解：.該有源靜態(tài)電場問題的真解解析解：該有源靜態(tài)電場問題的真解解析解：l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2真解與近似解一樣是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常有差別。如例3.l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例3偏微分方程描畫的問題如下：212|21 2212 xxdxd

20、xxdxdxdxd| )()( ），（加權(quán)余量法求解：加權(quán)余量法求解：1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：34231201xaxaxaxa 4)31,2(i 3210，、 xxxxi: .利用問題及其邊境條件，對嘗試函數(shù)進(jìn)展優(yōu)化使近似解滿足邊境條件利用問題及其邊境條件，對嘗試函數(shù)進(jìn)展優(yōu)化使近似解滿足邊境條件經(jīng)過嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊境條件，使得1類邊境條件在方程中消逝2243211aaaax | 兩個方程，兩個獨(dú)立未知數(shù)，消兩個方程，兩個獨(dú)立未知數(shù)，消a1、a2，重定嘗試函數(shù)，邊境條件自動滿足，重定嘗試函數(shù)，邊境條件自動滿足，簡化求解過程簡化求解過程l7. 簡化后

21、加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例32124823221432224322 aaaxaxaaxdxdxxx|)(| )( .2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足修正嘗試函數(shù)，以滿足1、2類邊境條件：類邊境條件：)()()()()(111314491111314492212321 xxxCxxCxxxxxxx且近似解為：、 l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例302102| 021 2212 xxdxdxRxdxdxdxdR| )(:)()( 條件自動滿足嘗試函數(shù)的選取，邊界），（余數(shù)為：余數(shù)為：.l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例32221222124331441 211

22、1314491xxCxCxdxdxdxdRxxxCxxCx )()()()()()(代入： 結(jié)合問題，余數(shù)的詳細(xì)表達(dá)式為：結(jié)合問題，余數(shù)的詳細(xì)表達(dá)式為：問題的加權(quán)余數(shù)目的泛函為：問題的加權(quán)余數(shù)目的泛函為： 0 d 24331441 d d 2221 )()()(xxCxCRRFjjjRj .4. j=2,3時得代數(shù)方程：時得代數(shù)方程：5. 求解矩陣，得近似解：求解矩陣，得近似解：l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例3 0d 24331441 31 d 24331441 21222121222122 )()()()()()()(xxCxCxxxxCxCFR 0d 24331441

23、111 d 24331441 212221221222133 )()()()()()()(xxCxCxxxxxCxCFR .5. 求解矩陣，得待定系數(shù)和近似解：求解矩陣，得待定系數(shù)和近似解：l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例3)(.)(.)(.11134710311378244913471013782221 xxxxxxCC、 .真解解析解：真解解析解：l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解普通化的微分方程 例3.l8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟加權(quán)余量法求解流程：加權(quán)余量法求解流程：1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題的邊境條件對嘗試函數(shù)進(jìn)展

24、修正，以簡化求解結(jié)合問題的邊境條件對嘗試函數(shù)進(jìn)展修正，以簡化求解3.寫出余數(shù)表達(dá)式寫出余數(shù)表達(dá)式3. 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)4. 令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為0，得到代數(shù)方程組，解，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解.l8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟加權(quán)余數(shù)法求解普通性偏微分方程的方法：方程的近似解被表示為一系列獨(dú)立的嘗試函數(shù)的線性組合，其中包括未知的待定系數(shù)。通常用迦遼金原理選取加權(quán)函數(shù)，即令加權(quán)函數(shù)等于嘗試函數(shù)本身，從而完成對加權(quán)余數(shù)的定義，(嘗試函數(shù)

25、的選取滿足邊境條件)經(jīng)過對加權(quán)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)和在邊境上的積分使其平均值為零，也就是說，使近似解與準(zhǔn)確解之間的差別在某種目的下到達(dá)最小化。如此可以構(gòu)成一個矩陣方式的代數(shù)方程組，求解該矩陣方程可以確定待定系數(shù)從而得到偏微分方程的獨(dú)一近似解。.l9. 變分法簡介另外一種求解偏微分方程的普通方法，即變分法。變分法與加權(quán)余數(shù)法類似，近似解也用一系列線性獨(dú)立的嘗試函數(shù)表示包括未知的待定系數(shù)。與加權(quán)余數(shù)法不同的是，變分法用另外的方法來構(gòu)成求解待定系數(shù)的矩陣方程。在變分法中，首先要構(gòu)成一個近似解的函數(shù)，稱為泛函。從廣義來說，加權(quán)余數(shù)積分(即平均值)也是一種泛函。然后使該泛函最小化，從而減小近似解的誤差。普通說來，要找到一個適宜于偏微分方程及邊境條件的泛函是一項(xiàng)難度很大的任務(wù)。由于前人已做了許多研討任務(wù)，已找到了適宜于許多常見方式的偏微分方程的泛函。對于電磁場方程來說，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆