九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的性質(zhì)及習(xí)題

1、.一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；固定的端點(diǎn)O為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩

2、條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無(wú)交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無(wú)交點(diǎn) ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （2）弦的垂直

3、平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??； （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理 頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1

4、、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。患矗涸谥?，、都是所對(duì)的圓周角 推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

5、 即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過(guò)半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。 推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩

6、弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn) 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線長(zhǎng)：中，；（2）外

7、公切線長(zhǎng)：是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，： （3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長(zhǎng) ：扇形面積2、圓柱： （1）A圓柱側(cè)面展開(kāi)圖 =B圓柱的體積：（2）A圓錐側(cè)面展開(kāi)圖=B圓錐的體積： 一、圓的定義。1、以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的點(diǎn)組成的圖形。2、在同一平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)組成的圖形。二、圓的各元素。1、半徑：圓

8、上一點(diǎn)與圓心的連線段。2、直徑：連接圓上兩點(diǎn)有經(jīng)過(guò)圓心的線段。3、弦：連接圓上兩點(diǎn)線段（直徑也是弦）。4、?。簣A上兩點(diǎn)之間的曲線部分。半圓周也是弧。（1）劣?。盒∮诎雸A周的弧。（2）優(yōu)?。捍笥诎雸A周的弧。5、圓心角：以圓心為頂點(diǎn)，半徑為角的邊。6、圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，圓周角的兩邊是弦。7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)。三、圓的基本性質(zhì)。1、圓的對(duì)稱性。（1）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑所在的直線。（2）圓是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。（3）圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。2、垂徑定理。（1）垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。（2）推論： 平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦且平分弦

9、所對(duì)的兩條弧。 平分弧的直徑，垂直平分弧所對(duì)的弦。3、圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半。（1）同弧所對(duì)的圓周角相等。（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角為直角，它所對(duì)的弦是直徑。4、在同圓或等圓中，兩條弦、兩條弧、兩個(gè)圓周角、兩個(gè)圓心角、兩條弦心距五對(duì)量中只要有一對(duì)量相等，其余四對(duì)量也分別相等。5、夾在平行線間的兩條弧相等。6、設(shè)O的半徑為r，OP=d。d= r 點(diǎn)P在O上d d） 點(diǎn)P在O內(nèi)d r（r d） 點(diǎn)P在O外7、（1）過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心一定在兩點(diǎn)間連線段的中垂線上。 （2）不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，它到三個(gè)點(diǎn)的距離相等。

10、 （直角三角形的外心就是斜邊的中點(diǎn)。）8、直線與圓的位置關(guān)系。d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑。 直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相交；直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切； 直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)，直線與圓相離。d= r 直線與圓相切。d d） 直線與圓相交。d r（r r1r2， 交點(diǎn)有0個(gè)； 外切：d=r1r2， 交點(diǎn)有1個(gè)； 相交：r1r2dr1r2，交點(diǎn)有2個(gè)； 內(nèi)切：d=r1r2， 交點(diǎn)有1個(gè)； 內(nèi)含：0d r，d = r，d r.2.直線與圓的位置關(guān)系共有三種： 相交 ， 相切 ， 相離 ；對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：d r.3.圓與圓的位置關(guān)系共有五種：

11、 內(nèi)含 ， 相內(nèi)切 ， 相交 ， 相外切 ， 外離 ；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（Rr）之間的數(shù)量關(guān)系分別為：d R-r，d = R-r， R-r d R+r.4.圓的切線 垂直于 過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò) 直徑 的一端，并且 垂直于 這條 直徑 的直線是圓的切線.5.從圓外一點(diǎn)可以向圓引 2 條切線， 切線長(zhǎng) 相等，這點(diǎn)與圓心之間的連線 平分 這兩條切線的夾角。 3、與圓有關(guān)的計(jì)算1. 圓的周長(zhǎng)為 2r ，1的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 ，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 ，弧長(zhǎng)公式為n為圓心角的度數(shù)上為圓半徑) .2. 圓的面積為 r2 ，1的圓心角所在的扇形面積為 ，n的圓心角所在的扇形面積為S= = (

12、n為圓心角的度數(shù),R為圓的半徑）.3.圓柱的側(cè)面積公式：S= 2 （其中為 底面圓 的半徑 ，為 圓柱 的高.）4. 圓錐的側(cè)面積公式：S=（其中為 底面 的半徑 ，為 母線 的長(zhǎng).）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積 測(cè)試題一、選擇題（每小題3分，共45分）1在ABC中，C=90，AB3cm，BC2cm,以點(diǎn)A為圓心，以2.5cm為半徑作圓，則點(diǎn)C和A的位置關(guān)系是（ ）。AC在A 上 C在A 外 CC在A 內(nèi) C在A 位置不能確定。2一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm,則圓的半徑為（ ）。A16cm或6cm 3cm或8cm C3cm 8cm3AB是O的弦，AOB80則弦A

13、B所對(duì)的圓周角是（ ）。 A40 140或40 C20 20或1604O是ABC的內(nèi)心，BOC為130，則A的度數(shù)為（ ）。 A130 60 C70 805如圖1，O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，已知A = 100，C = 30，則DFE的度數(shù)是（ ）。 A55 60 C65 706如圖2，邊長(zhǎng)為12米的正方形池塘的周?chē)遣莸?，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹(shù)，且AB=BC=CD=3米現(xiàn)用長(zhǎng)4米的繩子將一頭羊拴在其中的一棵樹(shù)上為了使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在（ ）。A A處 B B處 CC處 DD 處圖1 圖27已知兩圓的半徑分別是2和4，圓心距是3，那么這兩圓的位置

14、是（ ）。 A內(nèi)含 內(nèi)切 C相交 外切8已知半徑為R和r的兩個(gè)圓相外切。則它的外公切線長(zhǎng)為（ ）。ARr C 29已知圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側(cè)面積為（ ）。10 B12 15 2010如果在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)脙蓚€(gè)正方形和n個(gè)正三角形恰好可以進(jìn)行平面鑲嵌，則n的值是（ ）。A3 B4 C5 D6 11下列語(yǔ)句中不正確的有（ ）。相等的圓心角所對(duì)的弧相等 平分弦的直徑垂直于弦 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸 長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧A3個(gè) 2個(gè) C1個(gè) 4個(gè)12先作半徑為的第一個(gè)圓的外切正六邊形，接著作上述外切正六邊形的外接圓，再作上述外接圓的外切正六邊形，則按以上規(guī)律作出的第

15、8個(gè)外切正六邊形的邊長(zhǎng)為（ ）。A C 13如圖3，ABC中，C=90，BC=4，AC=3，O內(nèi)切于ABC ，則陰影部分面積為( )A12- 12-2 C14-4 6-14如圖4，在ABC 中，BC 4，以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交 AC于F，點(diǎn)P是A上的一點(diǎn)，且EPF40，則圖中陰影部分的面積是（ ）。A4 B4 C8 D815如圖5，圓內(nèi)接四邊形ABCD的BA、CD的延長(zhǎng)線交于P，AC、BD交于E，則圖中相似三角形有（ ）。 A2對(duì) 3對(duì) C4對(duì) 5對(duì) 圖3 圖4 圖5二、填空題（每小題3分，共30分）1兩圓相切，圓心距為9 cm，已知其中一圓半徑為5 cm，

16、另一圓半徑為_(kāi).2兩個(gè)同心圓，小圓的切線被大圓截得的部分為6，則兩圓圍成的環(huán)形面積為_(kāi)。3邊長(zhǎng)為6的正三角形的外接圓和內(nèi)切圓的周長(zhǎng)分別為_(kāi)。4同圓的外切正六邊形與內(nèi)接正六邊形的面積之比為_(kāi)。5矩形ABCD中，對(duì)角線AC4，ACB30，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱的表面積是_。6.扇形的圓心角度數(shù)60，面積6，則扇形的周長(zhǎng)為_(kāi)。7圓的半徑為4cm，弓形弧的度數(shù)為60，則弓形的面積為_(kāi)。8在半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條平行弦，一條弦長(zhǎng)為6cm，另一條弦長(zhǎng)為8cm，則兩條平行弦之間的距離為_(kāi)。9如圖6，ABC內(nèi)接于O，AB=AC，BOC=100，MN是過(guò)B點(diǎn)而垂直于OB的直線，則ABM=_，CBN=_

17、；10如圖7，在矩形ABCD中，已知AB=8 cm，將矩形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90，到達(dá)ABCD的位置，則在轉(zhuǎn)過(guò)程 中，邊CD掃過(guò)的(陰影部分)面積S=_。 圖6 圖7三、解答下列各題（第9題11分，其余每小題8分，共75分）1如圖，P是O外一點(diǎn)，PAB、PCD分別與O相交于A、B、C、D。(1)PO平分BPD； (2)AB=CD；(3)OECD，OFAB；(4)OE=OF。從中選出兩個(gè)作為條件，另兩個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并加以證明。2如圖，O1的圓心在O的圓周上，O和O1交于A，B，AC切O于A，連結(jié)CB，BD是O的直徑，D40求：A O1B、ACB和CAD的度數(shù)。3已知：如圖20，在ABC中，B

18、AC=120，AB=AC，BC=4，以A為圓心，2為半徑作A，試問(wèn)：直線BC與A的關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論。4如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，DPAC，交BA的延長(zhǎng)線于P，求證：ADDCPABC。5如圖ABC中A90，以AB為直徑的O交BC于D，E為AC邊中點(diǎn)，求證：DE是O的切線。 6如圖，已知扇形OACB中，AOB120，弧AB長(zhǎng)為L(zhǎng)4，O和弧AB、OA、OB分別相切于點(diǎn)C、D、E，求O的周長(zhǎng)。7如圖，半徑為2的正三角形ABC的中心為O，過(guò)O與兩個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)弧，求這三條弧所圍成的陰影部分的面積。8如圖，ABC的CRt，BC4，AC3，兩個(gè)外切的等圓O1，O2各與AB，AC，BC相切于F，H，E

19、，G，求兩圓的半徑。9如圖、中，點(diǎn)E、D分別是正ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE = CD，DB交AE于P點(diǎn)。求圖中，APD的度數(shù)；圖中，APD的度數(shù)為_(kāi)，圖中，APD的度數(shù)為_(kāi)；根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n 邊形情況若能，寫(xiě)出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B 7、C 8、D9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C二、1、4 cm或 14cm； 2、9； 3、，； 4、4：3；5、；6、12+2；7、（-）cm2；8、7cm或1cm；9、65，50；10

20、、16cm2。三、1、命題1，條件結(jié)論, 命題2，條件結(jié)論.證明：命題1OECD , OFAB, OE=OF，AB=CD, PO平分BPD。2、A O1B=140，ACB=70，CAD=130。3、作ADBC垂足為D, AB=AC，BAC=120, B=C=30. BC=4, BD=BC=2. 可得AD=2.又A半徑為2, A與BC相切。4、連接BD，證PADDCB。5、連接OD、OE，證OEAOED。6、12。7、4-?！窘馕觥拷?三條弧圍成的陰影部份構(gòu)成三葉玫瑰,其總面積等于6個(gè)弓形的面積之和.每個(gè)弓形的半徑等于ABC外接園的半徑R=(2/sin60)/2=23/3.每個(gè)弓形對(duì)應(yīng)的園心角=

21、/3.每個(gè)弓形的弦長(zhǎng)b=R=23/3.一個(gè)弓形的面積S=(1/2)R2(-sin)=(1/2)(23/3)2/3-sin(/3)=(2/3)(/3-3/2)于是三葉玫瑰的總面積=6S=4(/3-3/2)=2(2-33)/3.8、。提示：將兩圓圓心與已知的點(diǎn)連接，用面積列方程求。9、（1）ABC是等邊三角形 AB=BC，ABE=BCD=60BE=CD ABEBCD BAE=CBD APD=ABP+BAE=ABP+CBD=ABE=60 （2）90，108 （3）能如圖，點(diǎn)E、D分別是正n邊形ABCM 中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，BD與AE交于點(diǎn)P，則APD的度數(shù)為 。一、選擇題（

22、每小題5分，共25分）1如圖，ABC內(nèi)接于O，A=400，則OBC的度數(shù)為 ( )A. 200 B. 400 C. 800 D. 7002如圖，O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長(zhǎng)是3，則弦AB的長(zhǎng)是 ( ) A4 B. 6 C. 7 D . 83下列命題中正確的是( ) A平分弦的直徑垂直于這條弦; B切線垂直于圓的半徑 C三角形的外心到三角形三邊的距離相等; D圓內(nèi)接平行四邊形是矩形4以下命題中，正確的命題的個(gè)數(shù)是( )(1）同圓中等弧對(duì)等弦 (2）圓心角相等，它們所對(duì)的弧長(zhǎng)也相等 (3）三點(diǎn)確定一個(gè)圓 (4）平分弦的直徑必垂直于這條弦 A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)5如圖，AB是半圓O的直徑，BAC=200 , D是弧AC點(diǎn)，則D是( ) A.1200 B. 1100 C.1000 D. 9006若O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最大距離為a, 最小距離為b (ab)，則此圓的半徑為( ) A. B. C. 或 D.a+b或a-b 7如圖，順次連接圓內(nèi)接矩形各邊的中點(diǎn)，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，則菱形ABC