點差法公式在雙曲線中點弦問題中的妙用

1、.點差法公式在雙曲線中點弦問題中的妙用廣西南寧外國語學(xué)校隆光誠（郵政編碼530007）圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標(biāo)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦 的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”，它的一般結(jié)論叫做點差法公式。本文就雙曲線的點差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定理在雙曲線 x2y 210b0l與雙曲

2、線相交于M、N兩點，點（ a ， ）中，若直線a2b2P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0b2.x02ax12y121,(1)( x1 ,y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，則有a 2b2證明：設(shè) M、 N 兩點的坐標(biāo)分別為x2 2y221.(2)a 2b2(1)x12x2 2y12y2 20.(2) ，得a 2b2y2y1y2y1b22 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y0y0.x2x1,x22x0x0x1y0b 2kMNx0a 2 .同理可證，在雙曲線y 2x 2M、N 兩點，a21（ a 0，

3、b 0）中，若直線 l 與雙曲線相交于b 2點 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0a 2.x0b2典題妙解2例 1 已知雙曲線C : y 2x1，過點 P(2,1) 作直線 l 交雙曲線 C 于 A 、 B 兩點 .3.（ 1）求弦 AB 的中點M 的軌跡；（ 2）若 P 恰為弦 AB的中點，求直線l 的方程 .解：（ 1） a 21, b 23, 焦點在 y 軸上 .2設(shè)點 M 的坐標(biāo)為 (x, y) ，由 k ABya2得： y1y1 ，xbx2x3整理得： x23 y 22x3y0.所求的軌跡方程為x 23 y 2

4、2x3y0.（ 2）P 恰為弦 AB 的中點，y0a211 , 即 k AB2 .由 kAB得： kABx0b2233直線 l的方程為 y12 ( x2) ，即2x3 y10.3例 2已知雙曲線 C : 2x 2y 22與點 P(1,2).（ 1）斜率為 k 且過點 P 的直線 l 與 C 有兩個公共點，求k 的取值范圍；（ 2）是否存在過點P 的弦 AB ，使得 AB 的中點為 P？（ 3）試判斷以Q(1,1)為中點的弦是否存在 .解：（ 1）直線 l 的方程為 y2k (x1) ，即 ykx2k.ykx2k,得 (k22)x22(k22 )xk24k6 0.由2x2y22.k直線 l與 C

5、 有兩個公共點，k 220,得4(k 22k )24(k 22)(k 24k6) 0.解之得： k 3 且 k2.22, 3).k 的取值范圍是 (,2 )(2,2 )(2（ 2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y21,a 21,b 22.2設(shè)存在過點 P 的弦 AB ，使得 AB 的中點為 P，則由 k ABy0b2得： k 2 2, k 1.x02a由（ 1）可知， k1時，直線 l 與 C 有兩個公共點，存在這樣的弦.這時直線 l的方程為 yx1.（ 3）設(shè)以Q(1,1)為中點的弦存在，則由kABy0b2得： k 12, k 2.x0a 2由（ 1）可知， k2時，直線 l 與 C 沒有兩個公共

6、點，設(shè)以 Q(1,1) 為中點的弦不存在 .例3 過點M(2,0) 作直線 l交雙曲線 C : x2y 21 于 A 、B 兩點，已知 OPOA OB（O為坐標(biāo)原點） ，求點 P 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.解：在雙曲線 C : x2y 21中， a 2b 21，焦點在 x 軸上 .設(shè)弦 AB 的中點為 Q .OPOAOB,由平行四邊形法則知：OP 2OQ ，即 Q 是線段 OP 的中點 .設(shè)點 P 的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則點 Q 的坐標(biāo)為x , y.22yb2yyyy由221，kAB xa2 得： x2x x 4 x22整理得： x2y24 x0.配方得： ( x2) 2y 21

7、.44點 P 的軌跡方程是(x2)2y 21 ，它是中心為( 2,0)，對稱軸分別為x 軸和直線44x 2 0的雙曲線 .例 4. 設(shè)雙曲線 C 的中心在原點，以拋物線y 223x4 的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線（）試求雙曲線C 的方程；（）設(shè)直線 l: y2x1與雙曲線 C 交于 A, B 兩點，求 AB ；（）對于直線l : ykx1，是否存在這樣的實數(shù)k ，使直線 l 與雙曲線 C 的交點 A, B 關(guān)于直線 l : yax4( a 為常數(shù) )對稱，若存在，求出 k 值；若不存在，請說明理由解：（）由 y223x4 得 y22 3( x2 ) ，3.p3(2,0)

8、x321.32323c2,Ca 231.a21 ,b 21.3c23C3x 2y21 .y2x1,x24x 20 .3x 2y21.( ,),( ,).y1 B x2y2x1x24, x1 x22A x1|AB|(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (1 22)(4) 2422 10.klCA, Bl l AB.a1l : yky0b2y0k AB x0a2kx03y01 x04ky0x0kx0k, y03 .1 x 4 .ABP(x0 , y0 ) .kky03x0 .4k .y0kx013 k 21k2 .3x 2y 21,(k 23)x 22kx20.ykx1.lCA B4k

9、28(k 23) 0k 2 6k 23.kk2.金指點睛1. (03)F (7 ,0)yx 1M NMN23.x2y2B.x 2y 21C.x 2y 2x2y 2A.14351D.1342252.（ 02 江蘇）設(shè) A、 B 是雙曲線 x 2y 21上兩點，點 N (1,2) 是線段 AB 的中點 .2（ 1）求直線 AB 的方程；（ 2）如果線段 AB 的垂直平分線與雙曲線相交于C、 D 兩點，那么 A 、 B、 C 、D 四點是否共圓，為什么？3. 已知雙曲線 x2y 21 ，過點 P(1 ,3 ) 作直線 l 交雙曲線于 A、 B 兩點 .322（ 1）求弦 AB 的中點 M 的軌跡 ;

10、（ 2）若點 P 恰好是弦 AB 的中點，求直線l 的方程和弦 AB 的長 .4、雙曲線 C 的中心在原點， 并以橢圓 x2y 21 的焦點為焦點， 以拋物線 y22 3x 的準(zhǔn)線為2513右準(zhǔn)線 .（ 1）求雙曲線C 的方程；（ 2）設(shè)直線 l: ykx3( k 0) 與雙曲線 C 相交于 A 、 B 兩點，使 A 、 B 兩點關(guān)于直線l : ymx6( m0) 對稱，求 k 的值 .參考答案25y0b255b21.解：在直線 yx1中， k1 ， x得 13.時， y. 由 kMNx0a222a2333b 25得 a22,b 2又由 a225 .a 2b 2c27故答案選 D.22y0b2

11、2.解：（ 1） a1,b2，焦點在 x 上.由 kAB x0a 2 得： k AB22 ， k AB1.所求的直線AB 方程為（ 2）設(shè)直線 CD 的方程為y21 (x1) ，即 xy10 .xym0 ，點 N (1,2) 在直線 CD 上，1 2 m 0 ， m3.直線 CD 的方程為 xy 3 0.yb2得： 1y，即 y2x .又設(shè)弦 CD 的中點為 M ( x, y) ，由 kCDa 22xxxy 3 0,由得 x3, y 6 .y 2x.點 M 的坐標(biāo)為 ( 3,6) .xy 10,又由y2得 A(1,0), B(3,4) .x21.2由兩點間的距離公式可知：|MA| |MB |

12、|MC | |MD | 2 10.故 A、B、C、 D 四點到點M 的距離相等，即A、B、C、D 四點共圓 .3.解：（ ）a21,b23，焦點在 x 上.設(shè)點M的坐標(biāo)為 (x, y).1若直線 l 的的斜率不存在，則lx 軸，這時直線 l 與雙曲線沒有公共點，不合題意，故直線l 的的斜率存在 .yb2y3y由 kAB23 ，得：xa21xx2整理，得： 6x22y233y0.x點 M 的軌跡方程為 6x 22 y23x3y0 .y0b23（ 2）由 kAB得： kAB23，k AB1.x0a21321) ，即 y所求的直線 l方程為 y1 ( xx 1.22由x 2y 21,得x2x20，3yx1.解之得： x12, x21 .| AB|1 k 2 | x2x1 |23 32.4. 解：（ 1）在橢圓 x 2y 21中， a5, b13, ca2b 22 3 ，2513.F1 (23,0), F2 (23,0) .y223xp3.3x2a233,b3