(完整版)高考數(shù)學(xué)文化題目：阿波羅尼斯圓問題

1、高考數(shù)學(xué)文化內(nèi)容預(yù)測三：阿波羅尼斯圓問題一、高考考試大綱數(shù)學(xué)大綱分析及意義：普通高考考試大綱數(shù)學(xué)修訂，加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)文化的考查。針對這一修訂提出以 下建議：建議教師對數(shù)學(xué)文化這一概念認(rèn)真學(xué)習(xí)， 結(jié)合教材內(nèi)容學(xué)習(xí)，特別是教材中 滲透數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容要充分重視，重點(diǎn)研究；結(jié)合近年新課標(biāo)試題中出現(xiàn)的與數(shù) 學(xué)文化有關(guān)的試題進(jìn)行學(xué)習(xí)，重點(diǎn)關(guān)注題源、考法命題形式。其主要意義為：(1)增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容， 積極培育和踐行社會主義核心價(jià)值觀， 充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.(2)能力要求：經(jīng)命題專家精細(xì)加工，再滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法；在內(nèi)涵方 面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求

2、 .二、往年新課標(biāo)高考實(shí)例解析及2017年高考數(shù)學(xué)文化試題預(yù)測：往年新課標(biāo)高考實(shí)例分析：分析一：古代數(shù)學(xué)書籍九章算術(shù)、數(shù)書九章等為背景近年來在全國高考數(shù)學(xué)試題中，從九章算術(shù)中選取與當(dāng)今高中數(shù)學(xué)教學(xué) 相映的題材背景.(1) 2015年高考全國卷I ,此題源于九章算術(shù)卷第五商功之二五, 將古代文化“依垣”和現(xiàn)代教育元素“圓錐”結(jié)合.(2) 2015年高考全國卷H ,此題源于九章算術(shù)卷第一方田之六:“又有九十一分之四十九.問約之得幾何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之，后人稱之為“更 相減損術(shù)”.(3) 2015年高考湖北卷，此題背景源于九章算術(shù)卷

3、第五商功之一五.今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何；之 一六今有鱉月需，下廣 五尺，無袤；上袤四尺，無廣，高七尺.問積幾何.考題將“陽馬”，“鱉月需” 相結(jié)合，以選修2-1 P109例4為源進(jìn)行有機(jī)整合.巧妙嫁接，精典設(shè)問， 和諧優(yōu)美的考題呼之即出.分析二：課后閱讀或課后習(xí)題如阿波羅尼圓為背景從2005-2013年多次涉及考題，全國卷2011年16題以此為命題背景的其他 省市：江蘇：2008年13題、2013年17題.2009-2013年湖北高考連續(xù)出現(xiàn)等等.數(shù)學(xué)文化題型背景預(yù)測：預(yù)測1 :古代數(shù)學(xué)書籍九章算術(shù)、數(shù)書九章等數(shù)為背景的數(shù)學(xué)文化 類題目.預(yù)測2:高等數(shù)學(xué)銜接知識類題目.如微

4、積分、初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁， 由高中向大學(xué)的知識過渡銜接.預(yù)測3:課本閱讀和課后習(xí)題的數(shù)學(xué)文化類題目.如必修3中，輾轉(zhuǎn)相除法、 更相減損術(shù)、秦九韶算法、二進(jìn)制、割圓術(shù)等。預(yù)測4:中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題類題目.如：回文數(shù)、匹克定理、角谷猜想、 哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問題值得注意。三、直擊高考經(jīng)典公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius)在平面軌跡一 書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點(diǎn)距離之比等于 已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.如圖，點(diǎn)A,B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA PB,/ 則 1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng) 1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓/AB

5、 后世稱之為阿波羅尼斯圓.證：設(shè)AB 2m (m 0), PA PB .以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A ( m,0) , B (m,0).又設(shè) C (x, y),則由 PA PB得、:(x m)2 y2、；(x m)2 y2 ,兩邊平方并化簡整理得(2 1) x2 2m ( 2 1) x ( 2 1) y2 m2(1 2),當(dāng) 1時(shí)，x 0 ,軌跡為線段AB的垂直平分線;1 時(shí)，(x 1m)2 y22 122冬生r ，軌跡為以點(diǎn)(2 1)2(-21 m,0)為圓心,122m1長為半徑的圓.6上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理.高考經(jīng)典試題分析：【2013江蘇，

6、17】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3),直線l : y 2x 4 .設(shè)圓C的半徑為1 ,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y x 1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M ,使MA 2MO ,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.y x 1解：(1)聯(lián)立： y ,得圓心為：q3, 2).y 2x 4設(shè)切線為：y kx 3,| 3k 3 2 |r. 一31 ,得：k 0 or k -.43故所求切線為：y 0 or y x 3 .4(2)設(shè)點(diǎn) M(x, y),由 MA 2MO ,知：vx2 (y 3)2 2x2 y2 ,化簡得：x2 (y 1)2 4,即：點(diǎn)M的軌跡為

7、以(0, 1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切.212故：10|CD|W3,其中 CD 7a (2a 3)2 .解之得：0Wa&=.5四、數(shù)學(xué)文化領(lǐng)悟高考數(shù)學(xué)試卷中，我們可以見到阿波羅圓的一般形式，阿波羅圓是一個(gè)重要的題根，在歷次高考中累累出現(xiàn).我們說“評10年高考，看一個(gè)題根”，其實(shí)這個(gè)圓 哪里只考了 10年.今年湖北卷中出現(xiàn)的，只不過是其更新穎的形式罷了。注：1.波羅尼斯(Apolloning,約公元前260170 ),古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得，阿基米德等齊名。著有圓錐曲線論和平面軌跡等書。五、高考試題預(yù)測高考預(yù)測1:與圓有關(guān)的面積問題例1

8、滿足條件AB 2,AC J2BC的三角形ABC的面積的最大值是 .解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線 AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A ( 1,0),B (1,0),設(shè) C(x,y),由 AC&BC 得 (x1)2y26(x1)2y2 ,平方化簡整理得y2 x2 6x 1(x 3)2 8 8,，y 2行，則S abc 1 2y 242 ,S abc 的最大值是 2yi2 .2高考預(yù)測2:與圓有關(guān)的范圍問題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0, a 2),若存在點(diǎn)P ,使得PA J2PB, PC PD ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解：設(shè) P(x, y

9、),則 J(x 1)2y2 E J(x 3)2y2 ,整理得(x 5)2 y2 8,即動(dòng)點(diǎn)P在以(5,0)為圓心，2衣為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).另一方面，由PC PD知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y a 1上運(yùn)動(dòng)，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線 y a 1與圓（x 5）2 y2 8有交點(diǎn),所以a 12J2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2a 1,2j2 1.例3在平面直角坐標(biāo)系 xOy I I ,A 0,3，直線l： y 2x 4.設(shè)圓的半徑為1 ,圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M ,使MA2MO ,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：設(shè)C a,2 a4 ,則圓方程為2y 2a 4又設(shè) M（X0, y0）,Q MA 2MO2

10、x0y。人2234x4 y0222x0y014這說明M既在圓2x a y 2a21上，又在圓x24上，因而這兩個(gè)圓必有交點(diǎn)，即兩圓相交或相切,222 1 , a 0 2a 4 ( 1)12 12解得0 a 一，即a的取值范圍是0, .55高考預(yù)測3:與阿圓有關(guān)的探索性問題問題例 4 已知 O o : x2 y2 1 和點(diǎn) M (4,2).(1)過點(diǎn)M向。引切線l ,求直線l的方程;(2)求以點(diǎn)M為圓心，且被直線 y 2x 1截得的弦長為4的。M的方程;(3)設(shè)P為（2）中。M上任一點(diǎn)，過點(diǎn) P向。引切線，切點(diǎn)為 Q.試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R,使得PQ為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)

11、的定值；若不存在,PR請說明理由.解：（1）設(shè)切線l方程為y 2 k（x14k 218 .194),易得I 1 ,解得k ,-k2 115819切線l方程為y 2 (x154).（2）圓心到直線y 2x 1的距離為J5,設(shè)圓的半徑為r,則r2 22 （J5）2 922，OM的萬程為(x 4) (y 2)9（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn) R（a,b）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y）,相應(yīng)的定值為根據(jù)題意可得PQ . x2 y21.,正 一y2 1.), ,I )(x a)2 (y b)2即x22222y 1(x y2ax 2by a2 b2)*),又點(diǎn)P 在圓上（x 4）2 （y2)29,即 x2 y2 8x 4y