2020考研數(shù)學(xué)二真題及答案

1、2020考研數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1） 當(dāng) x 0+ 時(shí)，下列無(wú)窮小量中最高階是（）00（A） x (et2 -1)dt（B） x ln (1+ t2 )dt（C） sin x sin t 2dt0【答案】（D）1-cos x（D） 0sin t 2 dt【解析】由于選項(xiàng)都是變限積分，所以導(dǎo)數(shù)的無(wú)窮小量的階數(shù)比較與函數(shù)的比較是相同的。（A） (x (et 2-1)dt )2= ex-1 x200（B） ( x ln (1+t 2 )dt ) = ln (

2、1+x2 ) : x（C） （C）(sin xsin t 2 dt )= sin (sin2 x) : x2（D） (0sin t 21-cos x0dt ) =sin(1- cos x)2sin x : 1 x32經(jīng)比較，選（D）（2） 函數(shù) f (x) =1ex-1 ln 1+ x(ex -1)(x - 2)的第二類間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【解析】由題設(shè)，函數(shù)的可能間斷點(diǎn)有 x = -1, 0,1, 2 ，由此ex-1 ln 1+ x1ex-1 ln 1+ xlim f (x) = lim- 1= -e 2lim ln 1+ x = - ；x-1x-

3、1 (ex -1)(x - 2)3(e-1 -1) x-1 1lim f (x) = lim= - e-1limln(1+ x) = - 1 ；x0x0 (ex -1)(x - 2)2x0x2eex-1 ln 1+ x1lim f (x) = lim= ln 2 1 lim ex-1 = 0;x1-ex-1 ln 1+ x1x1- (ex -1)(x - 2)1- e x1-；lim= ln 2 1 lim ex-1 = -;x1+ (ex -1)(x - 2)1- e x1+12x2ex-1 ln 1+ xe ln 31x2x2 (exlim f (x) = lim-1)(x - 2) =

4、(e -1) lim x - 2 = 故函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）有 3 個(gè)，故選項(xiàng)（C）正確。1 arcsin（3） （3）x dx = （）0p 2（A）4x (1- x)p 2（B）8p（C）4p（D）8【答案】（A）x【解析】令= sin t ，則 x = sin2 t ， dx = 2 sin t cos tdtppp21 arcsinx dx = 2 t2 sin t cos tdt = 2 2tdt = t22 = p0x (1- x)0 sin t cos t004（4） f ( x) = x2 ln (1 - x), n 3 時(shí)， f (n) (0) =（A） -n!

5、n - 2（B）n! n - 2(n - 2)!-（C）（D）n(n - 2)!n【答案】(A) xn2 xn+2xnn【解析】由泰勒展開式， ln(1- x) = -n=1，則 xln(1- x) = -nn=1= -，n - 2n=3故 f (n) (0) =n! .n - 2 xy, xy 0（5）關(guān)于函數(shù) f ( x, y ) = x, y,y = 0x = 0給出以下結(jié)論fxfxy(0,0) = 1 (0,0)= 1 lim( x, y )(0,0)f ( x, y) = 0 lim lim f ( x, y) = 0y0 x0正確的個(gè)數(shù)是（A）4（B）3（C）2（D）1【答案】（B

6、）ff ( x, 0) - f (0, 0)x - 0【解析】x(0,0) = limx0fx - 0fx (0, y )-1- f= limx0x= 1，正確 f = lim x (0, y )x (0, 0) = lim,xy(0,0)y0y - 0y0y而f= lim f ( x, y ) - f (0, y ) = lim xy - y = lim x -1 y不存在，所以錯(cuò)誤；x (0, y )x0x - 0x0xx0xxy - 0 = xy , x - 0 =x , y - 0 =y , 從而( x, y) (0, 0) 時(shí)，lim( x, y )(0,0)f ( x, y) =

7、0 ，正確。lim f ( x, y ) = 0, xy 0或y = 0 , 從而limlim f ( x, y) = 0 ，正確x0 y ,x = 0y0 x0（6）設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間-2, 2 上可導(dǎo)，且 f (x) f (x) 0 .則(A)f (-2) 1f (-1)(B)f (0) ef (-1)(C)f (1)f (-1) e2(D)f (2)f (-1) 0 ，從而 F (x) =單調(diào)遞增.故 F (0) F (-1) ，也即exe0e-1，又有 f (x) 0 ，從而f (0)f (-1) e .故選(B).（7） 設(shè) 4 階矩陣 A = (aij )不可逆，a12 的

8、代數(shù)余子式 A12 0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 為矩陣 A 的列向量組， A* 為 A 的伴隨矩陣，則 A* x = 0 的通解為（）（A） x = k1a1 + k2a2 + k3a3 ，其中k1, k2 , k3 為任意常數(shù)（B） x = k1a1 + k2a2 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 為任意常數(shù)（C） x = k1a1 + k2a3 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 為任意常數(shù)（D） x = k1a2 + k2a3 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 為任意常數(shù)【答案】（C）【解析】由于A 不可逆， 故r ( A) 0) 的斜漸近線【答案】

9、y = 1 x +e12eyxx11【解析】由k = limx+ x= limx+ (1+ x)x= lim=x+ (1+ 1 )xexb = lim ( y - 1x+ex) = lim (x+x1+ x(1+ x)x- 1 x) = lim x(e ex+x ln x 1+ x -1) = e-1 lim x(e ex+x ln x +1 1+ x-1)= e-1 lim x(x lnx+1)1 = t e-1 limln 1 1+ t+ t洛e(cuò)-1 lim1= 1 .x+1+ xxt 0+t 2 t0+ 2(1+ t)2e故斜漸近線方程為： y = 1 x + 1 .e2e（16）（本題

10、滿分 10 分）已知函數(shù) f ( x) 連續(xù)且lim f ( x) = 1 ，g ( x) = 1 f ( xt ) dt ，求 g( x) 并證明 g( x) 在 x = 0x0x0處連續(xù). 1【答案】 g ( x) = 2 f (x) - 1 x = 0xf (u ) dux 0xx2 0【解析】因?yàn)閘imx0 f ( x)x= 1 ，并且 f (x) 連續(xù)，可得 f (0) = 0, f (0) = 1 .g ( x) = 1 f ( xt ) dt xt = u = 1 x f (u ) du ，當(dāng) x = 0 時(shí)， g(0) = 0 .故0x 0 0x = 0g ( x) = 1 x

11、， x 0f (u ) du x 0又1 x f (u ) du - 0g (0) = lim g ( x) - g (0) = lim x 0x0x - 0xx0x - 00 f (u ) duf (x) 1 1 2= limx0x2x = 0= limx0導(dǎo)數(shù)定義2x2則 g ( x) = f (x) - 1 f (u ) dux 0，又因?yàn)閤xx2 0lim g ( x) = lim f (x) - 1f (u ) duxx0x0xx2 0x= lim f (x) - lim 1f (u ) dux0xx0 x2 0所以 g( x) 在 x = 0 處連續(xù)（17）（本題滿分 10 分）求

12、 f ( x, y ) = x3 + 8 y3 - xy 極值= 1- 1 = 1 = g (0)22【答案】1 11= -f極小( ,)6 122162x = 1 fx (x, y) = 3x - y = 0x = 06【解析】令 f (x, y) = 24 y2 - x = 0 得 y = 0 或1 . y A =f (0, 0) = 0 y =12xx當(dāng)駐點(diǎn)為(0, 0) 時(shí)， B =C =f (0, 0) = -1，則 AC - B2 0, A = 1 0 ，故( ,) 為極6 126 121 16 12C = f yy ( ,) = 46 12= -1 11小值點(diǎn). f ( ,)為極

13、小值.6 1221621x2 + 2x 1+ x2（18）設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?0, +) 且滿足 2 f (x) + x f ( ) =x.求 f (x) ，并求曲線 y =f (x), y = 1 , y =3 及 y 軸所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.22【答案】 f (x) =xp 21+ x2，621x2 + 2x 1+ x22 f (x) + x f ( ) = 1+ x2x【解析】111 + 2得 f (x) =x.2 f ( ) +f (x) =x1+ x2dy y = sin t3 2pcos tdt = 2pdtxx21- y 3 3y2psin2 tp

14、1- cos 2tVx =12 2p yxdy =12 2p2266 2 p3cos tp2= p (t -1 sin t) 3.=p2pp266（19）（本題滿分 10 分）平面D 由直線 x = 1, x = 2, y = x 與 x 軸圍成，計(jì)算Ddxdyx2 + y2x【答案】+ln (2233+1)24【解析】x2 + y2p2secqrp11dxdy = 4 dq rdr = 4 3sec2 q dqDx3 p30secqpr cosq02(33cosq 2=4 sec3 q dq =2 024 secq d tanq =02 +ln24+1)（20）（本題滿分 11 分）1設(shè)函數(shù)

15、 f ( x) = x et2 dt(I) 證明：存在x (1, 2), f (x ) = (2 - x ) ex 2(II) 證明：存在h (1, 2), f (2) = ln 2 heh2【解析】(I)法 1：令 F (x) = (x - 2) f (x) = (x - 2) x et2 dt .1由題意可知， F (2) = F (1) = 0 ，且 F (x) 可導(dǎo)，由羅爾中值定理知， $x (1, 2) ，使1F (x ) = 0 ，又 F (x) = x et2 dt + (x - 2)ex2 ，即 f (x ) = (2 - x ) ex 2 .得證.第 13 頁(yè)法 2：令 F

16、(x) =f ( x ) + (x - 2)ex2 ，則 F (1) = -e 0 ，由零點(diǎn)定理知，1存在x (1, 2) ，使得 F (x ) = 0 ，即 f (x ) = (2 - x ) ex 2 .(II)令 g(x) = ln x ，則 g (x) = 1 0.x由柯西中值定理知，存在h (1, 2) ，使得f (2) - f (1) =g(2) - g(1)f (h)，g (h)f (2)eh 2即=，故 f (2) = ln 2 heh 2 .ln 21h（21）（本題滿分 11 分）設(shè)函數(shù) f ( x ) 可導(dǎo)，且 f ( x) 0 ，曲線 y =f ( x)( x 0) 經(jīng)

17、過坐標(biāo)原點(diǎn)，其上任意一點(diǎn) M處的切線與 x 軸交于T ,又 MP 垂直 x 軸于點(diǎn) P ，已知曲線 y =f ( x) ，直線 MP以及x 軸圍成圖形的面積與DMTP 面積比恒為為 3:2，求滿足上述條件的曲線方程?！敬鸢浮?y = Cx3 (C 0)【解析】設(shè)切點(diǎn) M ( x, y) ，則過 M 點(diǎn)的切線方程為Y - y = y ( X - x) .yyx令Y = 0 ，則 X = x - y ，故T x - y , 0 .曲線 y =f ( x) ，直線 MP以及x 軸圍成圖形的面積 S1 = 0 y (t ) dt ，D1y y2MTP 的面積 S2 = 2 y x - x - y =

18、2 yxS3y (t ) dt3x3 y2因 1 =，則 0=，即y (t ) dt =，S22y22 y204 y3方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得： y =42 y ( y )2 - y2 y( y )2，整理得： 3yy = 2 ( y )2 ，令 y = p ，則 y = pdp ，代入，得3yp dp dydy= 2 p2 ，解得 p = C y 3 ，即 dy12dx2= C1 y 31從而解得3y 3 = C1 x + C2 .2因曲線過原點(diǎn)，即 f (0) = 0 ，則C = 0 ，故 y = Cx3 .又因?yàn)?f ( x) 0 ，所以 y =即曲線為 y = Cx3 (C 0)f ( x

19、) 單調(diào)遞增，所以C 0（22）（本題滿分 11 分）設(shè)二次型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2 + 2ax x + 2ax x + 2ax x 經(jīng)過可逆線性變換1231231 21 32 3 x1 y1 x = P y 化為二次型 g( y , y , y ) = y 2 + y 2 + 4 y 2 + 2 y y . 2 2 1231231 2 x y 3 3 (I) 求 a 的值；(II) 求可逆矩陣 P. 122 3 【答案】（1） a = - 1 ；（2） P = 014 23 010 1aa【解析】（1）根據(jù)題設(shè)， f (x , x , x ) =

20、X T AX ， A = a1a ，二次型 f (x , x , x ) 經(jīng)123123aa1可逆變換得到 g( y1, y2 , y3 ) ，故它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由于g( y , y , y ) = y2 + y2 + 4 y2 + 2 y y = ( y + y )2 + 4 y21231231 2123的正負(fù)慣性指數(shù)分別為 p = 2, q = 0 ，故 f (x1 , x2 , x3 ) 的也分別為 p = 2, q = 0 .故矩陣A 有特征值為 0，即 A = 0 a = - 1 或1 。2當(dāng)a = 1 時(shí)， f (x , x , x ) = x2 + x2 + x2 + 2

21、x x + 2x x + 2x x = ( x + x + x )2 ，其正負(fù)慣1231231 21 32 3123性指數(shù)分別為 p = 1, q = 0 ，與題設(shè)矛盾，故a = 1 舍。因此a = - 1 符合題意。2（2）當(dāng)a = - 1 時(shí)，2f (x , x , x ) = x2 + x2 + x2 - x x - x x - x x1231231 21 32 3= (x2 - x x - x x ) + x2 + x2 - x x11 21 3232 33112333= x1 - 2 x2 - 2 x3 +x2 +244x2 -2 x2 x311232= x1 - 2 x2 - 2 x3 +( x2 - x3 )4令 z = x - 1 x - 1 x , z =3 ( x - x ), z = x ，則 fz = Px z2 + z2112 22 32223331- 1- 1 22 1 12其中 P = 03-3 .122 001 對(duì)于 g( y , y , y ) = ( y + y )2 + 4 y2 ，令 z = y + y , z = 2 y , z = y ，則1