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1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析薛正遠薛正遠 （理（理6-505）課程公郵：課程公郵： 密碼：密碼：physics2011電磁場與電磁波電磁場與電磁波電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、電磁現(xiàn)象的經(jīng)驗認識時代（一、電磁現(xiàn)象的經(jīng)驗認識時代（18世紀之前）世紀之前）1.1.古希臘古希臘“七賢之一七賢之一”的哲學家泰利斯（的哲學家泰利斯（ThalesThales）曾敘述過織衣者所）曾敘述過織衣者所觀察到的現(xiàn)象，那就是用毛織物摩擦過的琥珀能夠吸引某些輕的物體。觀察到的現(xiàn)象，那就是用毛織物摩擦過的琥珀能夠吸引某些輕的物體。 2.2.大約在春秋末期（約公元前

2、四、五世紀）成書的大約在春秋末期（約公元前四、五世紀）成書的管子管子地數(shù)篇地數(shù)篇，戰(zhàn)國時期的戰(zhàn)國時期的鬼谷子鬼谷子，戰(zhàn)國末期的，戰(zhàn)國末期的呂氏春秋呂氏春秋等，都留記述了天等，都留記述了天然磁石及其吸鐵現(xiàn)象，并且出現(xiàn)世界上最古老的指南針然磁石及其吸鐵現(xiàn)象，并且出現(xiàn)世界上最古老的指南針“司南司南”。 3. 16383. 1638年，我國建筑學書籍中對避雷的記載：屋頂?shù)乃慕嵌急坏耧椖辏覈ㄖW書籍中對避雷的記載：屋頂?shù)乃慕嵌急坏耧棾升堫^的形狀，仰頭、張口，在它們的舌頭上有一根金屬芯子，其末成龍頭的形狀，仰頭、張口，在它們的舌頭上有一根金屬芯子，其末端伸到地下，如有雷電擊中房頂，會順著龍舌引入地下，

3、不會對房屋端伸到地下，如有雷電擊中房頂，會順著龍舌引入地下，不會對房屋造成危險。造成危險。緒論緒論電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析1. 17451. 1745年，荷蘭萊頓大學馬森布羅克制成了萊頓瓶，可以將年，荷蘭萊頓大學馬森布羅克制成了萊頓瓶，可以將電荷儲存起來，供電學實驗使用，為電學研究打下了基礎。電荷儲存起來，供電學實驗使用，為電學研究打下了基礎。2. 17522. 1752年年7 7月，美國著名的科學家、文學家、政治家富蘭克月，美國著名的科學家、文學家、政治家富蘭克林的風箏試驗，證實了閃電式放電現(xiàn)象，從此拉開了人們研林的風箏試驗，證實了閃電式放電現(xiàn)象，從此拉開了人

4、們研究電學的序幕。究電學的序幕。3.17533.1753年，俄國著名的電學家利赫曼在驗證富蘭克林的實驗年，俄國著名的電學家利赫曼在驗證富蘭克林的實驗時，被雷電擊中，為科學探索獻出了寶貴的生命。時，被雷電擊中，為科學探索獻出了寶貴的生命。4. 177117734. 17711773，英國科學家卡文迪什進行了大量靜電試驗，英國科學家卡文迪什進行了大量靜電試驗，證明在靜電情況下，導體上的電荷只分布在導體表面上。證明在靜電情況下，導體上的電荷只分布在導體表面上。二、電磁學現(xiàn)代科學體系的建立二、電磁學現(xiàn)代科學體系的建立（文藝復興之后，（文藝復興之后，18 18世紀中世紀中-19-19世紀中）世紀中）電磁

5、場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 5. 1785年，法國科學家?guī)靵鲈趯嶒炓?guī)律的基礎上，提出了年，法國科學家?guī)靵鲈趯嶒炓?guī)律的基礎上，提出了第一個電學定律：庫侖定律。使電學研究走上了理論研究第一個電學定律：庫侖定律。使電學研究走上了理論研究的道路。的道路。 6. 1820年，由丹麥的科學家奧斯特在課堂上的一次試驗中，年，由丹麥的科學家奧斯特在課堂上的一次試驗中，發(fā)現(xiàn)了電的磁效應，從此將電和磁聯(lián)系在一起發(fā)現(xiàn)了電的磁效應，從此將電和磁聯(lián)系在一起 。 7. 1822年，法國科學家安培提出了安培環(huán)路定律，將奧斯年，法國科學家安培提出了安培環(huán)路定律，將奧斯特的發(fā)現(xiàn)上升為理論。特的發(fā)現(xiàn)上升

6、為理論。 8. 1825年，德國科學家歐姆得出了第一個電路定律：歐姆年，德國科學家歐姆得出了第一個電路定律：歐姆定律。定律。 9. 1831年，英國實驗物理學家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應定律年，英國實驗物理學家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應定律 并設計了世界上第一臺感應發(fā)電機。并設計了世界上第一臺感應發(fā)電機。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 10. 1840年，英國科學家焦耳提出了焦耳定律，揭示了電年，英國科學家焦耳提出了焦耳定律，揭示了電磁現(xiàn)象的能量特性。磁現(xiàn)象的能量特性。 11. 1848年年 ，德國科學家基爾霍夫提出了基爾霍夫電路理，德國科學家基爾霍夫提出了基爾霍夫電路理論，使電

7、路理論趨于完善。論，使電路理論趨于完善。 12.奧斯特的奧斯特的電生磁電生磁和法拉第的和法拉第的磁生電磁生電奠定了電磁學的基奠定了電磁學的基礎。礎。 電磁學理論的完成者電磁學理論的完成者英國的物理學家麥克斯韋（英國的物理學家麥克斯韋（1831-1879）。）。麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組用最完美的數(shù)學形式表達了宏用最完美的數(shù)學形式表達了宏觀電磁學的全部內(nèi)容觀電磁學的全部內(nèi)容 ，從理論上預言了電磁波的存在。，從理論上預言了電磁波的存在。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 18661866年，德國的西門子發(fā)明了使用電磁鐵的發(fā)電機，為年，德國的西門子發(fā)明了使用電磁鐵的發(fā)電機，為

8、電力工業(yè)開辟了道路。電力工業(yè)開辟了道路。 18761876年，美國貝爾發(fā)明了電話，實現(xiàn)了電聲通信。年，美國貝爾發(fā)明了電話，實現(xiàn)了電聲通信。 18791879年，美國發(fā)明家愛迪生發(fā)明了電燈，使電進入了人年，美國發(fā)明家愛迪生發(fā)明了電燈，使電進入了人們的日常生活。們的日常生活。 18871887年，德國的物理學家赫茲首次用人工的方法產(chǎn)生了年，德國的物理學家赫茲首次用人工的方法產(chǎn)生了電磁波。隨后，俄國的波波夫和意大利的馬可尼，利用電磁波。隨后，俄國的波波夫和意大利的馬可尼，利用電磁波通信獲得成功，開創(chuàng)了人類無線通信的新時代。電磁波通信獲得成功，開創(chuàng)了人類無線通信的新時代。三、電磁學應用突飛猛進（三、電

9、磁學應用突飛猛進（1919世紀中至今）世紀中至今）電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、課程內(nèi)容四、課程內(nèi)容 第一章：電磁學的數(shù)學基礎第一章：電磁學的數(shù)學基礎 矢量運算矢量運算 第二章：電磁學的理論基礎第二章：電磁學的理論基礎 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 第三、四、五章：麥克斯韋方程組的應用第三、四、五章：麥克斯韋方程組的應用 ( (邊界條件，靜態(tài)場邊界條件，靜態(tài)場) ) 第六章：（平面）電磁波的傳輸特性第六章：（平面）電磁波的傳輸特性 第七章：電磁波在波導中的傳播（光纖通信）第七章：電磁波在波導中的傳播（光纖通信） 第八章：電磁波的產(chǎn)生（電磁波的輻射）第八章：電磁波的

10、產(chǎn)生（電磁波的輻射）電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、場的基本概念五、場的基本概念 1.什么是場？什么是場？ a.從數(shù)學角度從數(shù)學角度：場是給定區(qū)域內(nèi)各點數(shù)值的集合，這：場是給定區(qū)域內(nèi)各點數(shù)值的集合，這些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性。些數(shù)值規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)一個特定量的特性。 比如：比如：T 是溫度場中的物理量，是溫度場中的物理量，T 就是溫度場就是溫度場 b.從物理角度從物理角度：場是遍及一個被界定的或無限擴展的空：場是遍及一個被界定的或無限擴展的空間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應的特殊的物質，場是具間內(nèi)的，能夠產(chǎn)生某種物理效應的特殊的物質，場是具有能量的。有能量的。

11、 重力場、電磁場、重力場、電磁場、電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.場的分類場的分類 a. 按物理量的性質分：按物理量的性質分： 標量場標量場：描述場的物理量是標量。：描述場的物理量是標量。 矢量場矢量場：描述場的物理量是矢量。：描述場的物理量是矢量。 b. 按場量與時間的關系分：按場量與時間的關系分： 靜態(tài)場靜態(tài)場：場量不隨時間發(fā)生變化的場。：場量不隨時間發(fā)生變化的場。 動態(tài)場動態(tài)場：場量隨時間的變化而變化的場。：場量隨時間的變化而變化的場。 動態(tài)場也稱為時變場。動態(tài)場也稱為時變場。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量

12、分析一、矢量和標量的定義一、矢量和標量的定義二、矢量的運算法則二、矢量的運算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標量場的梯度四、標量場的梯度六、矢量場的旋度六、矢量場的旋度五、矢量場的散度五、矢量場的散度七、重要的場論公式七、重要的場論公式電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和標量的定義一、矢量和標量的定義1.1.標量：標量：只有大小，沒有方向的物理量。只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：矢量表示為：|AA a所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：其中： 為矢量的

13、模，表示該矢量的大小。為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1 1。| A a2.2.矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。不僅有大小，而且有方向的物理量。如如: :力力 、速度、速度 、電場、電場 等等FEv如：溫度如：溫度 T T、長度、長度 L L 等等電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例例1 1：在直角坐標系中，：在直角坐標系中，x x 方向的大小為方向的大小為 6 6 的矢量如何的矢量如何表示？表示？6xa圖示法：圖示法： 6xaGNFfFxy力的圖示法：力的圖示法： FNfFFF電磁場與電

14、磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析二、矢量的運算法則二、矢量的運算法則1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和矢量加法是矢量的幾何和, ,服從服從平行四邊形規(guī)則平行四邊形規(guī)則。a.a.滿足交換律：滿足交換律：ABBAb.b.滿足結合律：滿足結合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析zoyx三個方向的單位矢量用三個方向的單位矢量用 表示。表示。,xyzaaa根據(jù)矢量加法運算：根據(jù)矢量加法運算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐標系下

15、的矢量表示在直角坐標系下的矢量表示: :AxAyAzA其中：其中：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量：矢量：xxyyzzAA aA aA a模的計算：模的計算：222|xyzAAAA單位矢量：單位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角與方向余弦：方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐標系中三個矢量加法運算：在直角坐標系中三個矢量加法運算： ()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aABC aABCazoyxAxAyAzA電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.2

16、.減法：減法：換成加法運算換成加法運算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標系中兩矢量的減法運算：在直角坐標系中兩矢量的減法運算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推論：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法：乘法：（1 1）標量與矢量的乘積：）標量與矢量的乘積：0|00kkAk A akk方向不變，大小為方向不變，大小

17、為| |k k| |倍倍方向相反，大小為方向相反，大小為| |k k| |倍倍（2 2）矢量與矢量乘積分兩種定義）矢量與矢量乘積分兩種定義a. a. 標量積（點積）：標量積（點積）：| |cosA BABBA兩矢量的點積含義：兩矢量的點積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結果是一標量。其結果是一標量。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐標系中在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即，已知三個坐標軸是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有兩矢量點

18、積：有兩矢量點積：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA結論結論: : 兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論推論1 1：滿足交換律：滿足交換律推論推論2 2：滿足分配律：滿足分配律推論推論3 3：當兩個非零矢量點積為零：當兩個非零矢量點積為零, ,則這兩個矢量必正交。則這兩個矢量必正交。A BB A()ABCA BA C 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析推論推論1 1：不服從交換律：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論推論2 2：服從分配律：服從分配律：()AB

19、 CA BA C推論推論3 3：不服從結合律：不服從結合律：()()AB CA BC推論推論4 4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.b.矢量積（叉積）：矢量積（叉積）：| |sincABABa含義：含義： 兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。三者符合右手螺旋法則。BAca電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下

20、：在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a兩矢量的叉積又可表示為：兩矢量的叉積又可表示為：x xy yz zo o電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析（3 3）三重積：）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：三個矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標量與矢量相乘。矢量，標量與矢量相乘。()ABC標量，標量三重積。標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。矢量，矢量三重積。a. a.

21、標量三重積標量三重積法則：在矢量運算中法則：在矢量運算中, ,先算叉積先算叉積, ,后算點積。后算點積。定義：定義：|sincosA BCA B C()ABC含義：含義：標量三重積結果為三矢量標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積構成的平行六面體的體積 。ABChB C 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析注意注意：先后輪換次序。先后輪換次序。推論推論：三個非零矢量共面的條件。三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：在直角坐標系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCC

22、Cb.b.矢量三重積：矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：求：4123rarbrcr中的標量中的標量 a、b、c。解：解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 則：則：設設213abc 22332235abcabcabc電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量

23、分析例例3 3： 已知已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：確定垂直于求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。所在平面的單位矢量。AB解：解：已知已知AB所得矢量垂直于所得矢量垂直于 、 所在平面。所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析已知已知A A點和點和B B點對于原點的位置矢量為點對于原點的位置矢量為 和和 ，求：通過求：通過A A點和點和B B點的直線方程。點的直線方程。例例4 4： ab()cak ba其中：其中

24、：k k 為任意實數(shù)。為任意實數(shù)。(1)ck akbx xy yz zC CcA AB Bab解：解：在通過在通過A A點和點和B B點的直線方程上，點的直線方程上， 任取一點任取一點C C，對于原點的位置，對于原點的位置 矢量為矢量為 ，則，則c電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量微分元：線元、面元、體元三、矢量微分元：線元、面元、體元例：例：d ,d ,dFlBSV其中：其中： 和和 稱為微分元。稱為微分元。d ,dlSdV1. 1. 直角坐標系直角坐標系在直角坐標系中，坐標變量為在直角坐標系中，坐標變量為( (x,y,z)x,y,z)，如圖，做一微分體元。，如

25、圖，做一微分體元。線元：線元：ddyylyaddddxyzlxayazadldSddxxlxaddzzlza面元：面元：dd dxxSy za體元：體元：dd d dVx y zdd dyySx zadd dzzSx ya電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2. 2. 圓柱坐標系圓柱坐標系在圓柱坐標系中，坐標變量為在圓柱坐標系中，坐標變量為 ，如圖，做一微分體元。，如圖，做一微分體元。( , , )rz線元：線元：ddddrzlrarazadd drrSrzadd dSr zadd dzzSrradd d dVr rz面元：面元：體元：體元：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第

26、1章章 矢量分析矢量分析3. 球坐標系球坐標系在球坐標系中，坐標變量為在球坐標系中，坐標變量為 ，如圖，做一微分體元。，如圖，做一微分體元。( , , )R 2dsin d dRRSRa dsin d dSRRadd dSR Radddsin dRlRaRaRa 線元：線元：面元：面元：體元：體元：2dsin d d dVRR 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a. 在直角坐標系中，在直角坐標系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)均為均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：即：1321hhh1, 1321hrhhb. 在柱坐標系中，坐標變量為在柱坐標系中，坐標變量為 ,其中

27、其中 為角度，為角度， 其對應的線元其對應的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：，可見拉梅系數(shù)為：( , , )rzdra在球坐標系中，坐標變量為在球坐標系中，坐標變量為 ，其中，其中 均為均為 角度，其拉梅系數(shù)為：角度，其拉梅系數(shù)為：( , , )R , sin, 1321RhRhh注意：注意：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在正交曲線坐標系中，其坐標變量在正交曲線坐標系中，其坐標變量 不一定都是不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這個長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這個修正修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù)系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、，

28、就可正確寫出其線元、面元和體元。面元和體元。123( ,)u u u123,h h h體元：體元：123123dd ddVh h h u uu123112233dddduuulh u ah u ah u a線元：線元：112323ddduSh h uu a221313dd duSh h u u a331212dd duSh hu u a面元：面元：正交曲線坐標系：正交曲線坐標系：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、標量場的梯度四、標量場的梯度1. 標量場的標量場的等值面等值面可以看出：可以看出：標量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不標量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不

29、 相交的。相交的。以溫度場為例：以溫度場為例：熱源熱源等溫面等溫面電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析b.梯度梯度定義：定義：標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向導數(shù)，標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向導數(shù)， 其方向為該點所在等值面的法線方向。其方向為該點所在等值面的法線方向。數(shù)學表達式：數(shù)學表達式：dgraddnan2. 標量場的梯度標量場的梯度a.方向導數(shù)：方向導數(shù)：ddl空間變化率，稱為方向導數(shù)?？臻g變化率，稱為方向導數(shù)。ddn為最大的方向導數(shù)。為最大的方向導數(shù)。標量場的場函數(shù)為標量場的場函數(shù)為),(tzyx00dP1P2Pdndl電磁場與電磁波電磁場與電磁波第

30、第1章章 矢量分析矢量分析計算：計算：dcosdndraddglddddddnlnlddnlaan在直角坐標系中：在直角坐標系中：ddddxyzxyzddddxyzlxayaza所以：所以：gradxyzaaaxyz梯度也可表示：梯度也可表示：grad 00dP1P2Pdndl電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在柱坐標系中：在柱坐標系中：在球坐標系中：在球坐標系中：在任意正交曲線坐標系中：在任意正交曲線坐標系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐標系中，梯度的計算公式：在不同的坐標系中，梯度的計算公式：在直角坐

31、標系中：在直角坐標系中：xyzaaaxyz電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、矢量場的散度五、矢量場的散度1. 1. 矢線（場線）：矢線（場線）： 在矢量場中，若一條曲線上在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢線。的方向重合，則該曲線稱為矢線。2. 2. 通量：通量：定義：定義：如果在該矢量場中取一曲面如果在該矢量場中取一曲面S S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。通過該曲面的矢線量稱為通量。表達式：表達式：dSvS若曲面為閉合曲面：若曲面為閉合曲面：dSvS+ +- -電磁場與電磁波電磁場與電磁波第

32、第1章章 矢量分析矢量分析討論：討論：a. 如果閉合曲面上的總通量如果閉合曲面上的總通量0 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b. 如果閉合曲面上的總通量如果閉合曲面上的總通量0 說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負源或稱溝。線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負源或稱溝。c. 如果閉合曲面上的總通量如果閉合曲面上的總通量0說明穿入的通量等于穿出的通量。說明穿入的通量等于穿出的通量。電磁場與電磁波

33、電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3. 散度散度：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析散度：散度：a.定義：定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。 b.表達式：表達式：0ddivlimSVFSFV 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在直角坐標系中選擇一封閉曲面，該封閉曲面由在直角坐標系中選擇一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。六個平面組成。xxyyzzFF aF aF ac.散度的計算：散度的計算：矢量場矢量場 表示為：表示為：F123123ddddSSSSFSFSFSFS456456dddS

34、SSFSFSFS通量計算式為通量計算式為1Szyx6S5S4S3S2S電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析111d( )()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在在 x方向上：方向上：計算穿過計算穿過 和和 面的通量為面的通量為2S1S1()xF xxy z 11( )()( )xxxF xF xxF xxx因為：因為：221( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 則：則：在在 x 方向上的總通量：方向上的總通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢

35、量分析在在 z 方向上方向上,穿過穿過 和和 面的總通量：面的總通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整個封閉曲面的總通量：整個封閉曲面的總通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFSFSx y zy 同理：在同理：在 y方向上方向上,穿過穿過 和和 面的總通量：面的總通量：3S4S電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析該閉合曲面所包圍的體積：該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示為：通常散度表示為：divFF4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含義：物理含義：穿過一封閉

36、曲面的總通量等于矢量散度的體積分。穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析柱坐標系中：柱坐標系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐標系中：球坐標系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR直角坐標系中：直角坐標系中：yxzFFFFxyz常用坐標系中，散度的計算公式常用坐標系中，散度的計算公式電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量場的旋度六、矢量場的旋度電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量場的旋度六、矢量場的旋度1. 環(huán)量：環(huán)量：在矢量場中，任意取一閉合曲線在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。dlCFl可見：環(huán)量