大學(xué)物理 剛體的功能2 角動量守恒 (華科)

1、第第3章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動(2) (2) 吳慶文吳慶文一一、剛體（剛體（rigid bodyrigid body）的運動）的運動 剛體：剛體：特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化。特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化。 剛體的平動剛體的平動質(zhì)心的位矢質(zhì)心的位矢 iiicmrmrcaMF合合外外質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理二二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算: : 2iirmJmdmrJ2或或上節(jié)課的主要內(nèi)容上節(jié)課的主要內(nèi)容2Mttt)()()( J用求導(dǎo)的方法用求導(dǎo)的方法)()()(,tttMJ 積分加初始條件積分加初始條件 JdtdJ

2、dtLdM例例7. .一飛輪其軸成水平方向一飛輪其軸成水平方向, ,軸之半徑軸之半徑r =2.00cm， 其上繞有一根細(xì)長的繩。在其自由端先系以一質(zhì)其上繞有一根細(xì)長的繩。在其自由端先系以一質(zhì) 量量m=20.0g的輕物，此物恰能勻速下降的輕物，此物恰能勻速下降, ,然后改系然后改系 以一質(zhì)量以一質(zhì)量M5.00kg的重物的重物, ,則此物從靜止開始則此物從靜止開始, , 經(jīng)過經(jīng)過t10.0s時間時間, ,共下降了共下降了h40.0cm。 忽略繩的質(zhì)量和空氣阻力忽略繩的質(zhì)量和空氣阻力, ,并設(shè)重力加并設(shè)重力加 速度速度g9.80ms2。求。求:(1):(1)飛輪主軸與飛輪主軸與 軸承之間的摩擦力矩的

3、大??；軸承之間的摩擦力矩的大??；(2)(2)繩上繩上張力的大小；張力的大小；(3)飛輪轉(zhuǎn)動慣量的大??；飛輪轉(zhuǎn)動慣量的大小；解：解：( (1) )掛輕物時，物勻速下降，即掛輕物時，物勻速下降，即fTTrmgr Tmg 力矩力矩J 3解解:( (1) )掛輕物時掛輕物時, 物勻速下降物勻速下降, 即即:mgrrTTf 掛重物掛重物M 時時: (2)繩上張力的大小。繩上張力的大小。 (3)飛輪轉(zhuǎn)動慣量的大??；飛輪轉(zhuǎn)動慣量的大??；22 /tMg T Ma M h ()fJTr 221122hatr t 22rth ,mgT )2(2t /hgMT fTrJ 其中其中r =2.00cmm=20gM=5k

4、gh=40cmt =10s2()(2 )fTrrth 4第第3節(jié)節(jié) 剛體轉(zhuǎn)動的功和能剛體轉(zhuǎn)動的功和能 1. 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系的動能定義為多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系的動能定義為21()2kiiiEm v 所以，轉(zhuǎn)動的剛體的動能為所以，轉(zhuǎn)動的剛體的動能為:21()2kiiiEmv 221()2iiimr 221()2iiimr 212kEJ 212J ivimir o剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能52.2.力矩的功和定軸轉(zhuǎn)動動能定理力矩的功和定軸轉(zhuǎn)動動能定理rdFdA稱為力矩的功稱為力矩的功)(cos rdFrF cos MddA |cosrdF MrF )cos(

5、 XOrF d rdP力矩對物體作的功等于力矩對物體作的功等于力矩和角位移的乘積。力矩和角位移的乘積。 dJ dJ21 Md力矩做功的效果力矩做功的效果: : dAA ddtdJ211 2 1 2 JM 21222121 JJA12KKEE即即:合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體的合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量。轉(zhuǎn)動動能的增量。結(jié)論結(jié)論定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理dS63. 剛體的重力勢能剛體的重力勢能yhihcxOMC mi質(zhì)元質(zhì)元 mi的勢能的勢能iiighmE iiiPhgmE )(iiihmg 整個剛體的勢能整個剛體的勢能剛體的重

6、力勢能剛體的重力勢能 4. 機械能守恒定律機械能守恒定律 對于含有剛體的系統(tǒng)對于含有剛體的系統(tǒng), ,如果在如果在運動過程中只有保守內(nèi)力做功運動過程中只有保守內(nèi)力做功, ,則則此系統(tǒng)的機械能守恒。此系統(tǒng)的機械能守恒。cMghMM它的全部質(zhì)量都集中它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所具有的勢能在質(zhì)心時所具有的勢能1ciixm xM1ciiym yM1ci izm zM7 XOmgC例例8.一根長為一根長為L,質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒,一端有一一端有一 固定的光滑水平軸固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn) 動。動。 最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺最初棒靜止在水平位

7、置，求它由此下擺 角時的角加速度和角速度。角時的角加速度和角速度。解：解：（用機械能守恒定律重解（用機械能守恒定律重解) )在棒擺動過程中系統(tǒng)在棒擺動過程中系統(tǒng)的機械能守恒。的機械能守恒。0212 CmgyJ 213Jml sin2Cly 設(shè)棒在水平位置時重力勢能為零，設(shè)棒在水平位置時重力勢能為零，由機械能守恒知由機械能守恒知: :3 singL dd3 cos2gtL 與前面解得的結(jié)果一致與前面解得的結(jié)果一致! ! 81.1.剛體的角動量剛體的角動量剛體上的任一質(zhì)元繞固定軸做圓周運動剛體上的任一質(zhì)元繞固定軸做圓周運動時相對于轉(zhuǎn)軸上任意一點時相對于轉(zhuǎn)軸上任意一點O的角動量在的角動量在軸上的分量

8、的大小均為：軸上的分量的大小均為：故，剛體對此軸的角動量為：故，剛體對此軸的角動量為：iizzLLiriiiizvmrL iimr2即：剛體對定軸的角動量即：剛體對定軸的角動量L, 等于它對該軸的轉(zhuǎn)動等于它對該軸的轉(zhuǎn)動 慣量慣量J和角速度和角速度 的乘積。的乘積。zim izL )(2iiirm zJ JL簡寫為簡寫為：第第4節(jié)節(jié) 剛體的角動量定理和角動量守恒定律剛體的角動量定理和角動量守恒定律 9ddLMt 質(zhì)點的角動量定理為質(zhì)點的角動量定理為對質(zhì)點對質(zhì)點系任意一質(zhì)點系任意一質(zhì)點ddiiLMt iiiMMM d dizziLMt ddizizLMt 定軸定軸方向方向0外iMM外izzMMd

9、dizLt d dzLt 對質(zhì)點對質(zhì)點系系: :ddzzM tL 由上可得：由上可得：d dzzLMt dd()zJt d dzzM Jt zJ定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律d d()zzJMt 剛體剛體繞定軸繞定軸的角動量定理的角動量定理ddM tL zzJL 2. 剛體剛體繞定軸繞定軸的角動量定理的角動量定理內(nèi)內(nèi)外外Jz不變不變Jz變化變化10合外力矩合外力矩 M 對剛體對剛體繞定軸繞定軸的沖量矩為：的沖量矩為：ddM tL 0t00JJ 0LtL0tLL ddF tP 0tPP 0mvmv 與動量定與動量定理比較：理比較：即即: : 對某對某一一定軸的外力矩的作用在某段時間內(nèi)的定軸的外力矩的作

10、用在某段時間內(nèi)的 累積效果為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。累積效果為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。ddM tL ( (微分形式微分形式) )剛體剛體繞定軸繞定軸的角動量定理：的角動量定理：( (積分形式積分形式) )ddzzM tL 簡寫為簡寫為0t0P tP 11當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩0M則則0tLL 角動量守恒角動量守恒討論討論（1）當(dāng)）當(dāng) L=常量，常量， 若若J=常量，常量，則則 =常量，常量，即：剛體保持恒定的角速度即：剛體保持恒定的角速度 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。當(dāng)當(dāng) L =常量，常量，若若J 常量，常量， J =常量，常量，則則 常量。常量。2211JJ J ddM tL 0t0tLL d

11、dM tL JL或或J（2）此定律可推廣到含多個質(zhì)點、多個剛體的系統(tǒng)）此定律可推廣到含多個質(zhì)點、多個剛體的系統(tǒng)3. 角動量守恒定律角動量守恒定律日本日本9.0級大地震使地球自轉(zhuǎn)加快級大地震使地球自轉(zhuǎn)加快1.8微秒微秒!12花樣滑冰中常見的例子大小張臂先使自己先使自己轉(zhuǎn)動起來轉(zhuǎn)動起來收臂大小13脈沖星脈沖星=快速自轉(zhuǎn)的中子星快速自轉(zhuǎn)的中子星 脈沖星：脈沖星被認(rèn)為是脈沖星：脈沖星被認(rèn)為是“死亡之星死亡之星”，是恒星在，是恒星在超新星階段爆發(fā)后的產(chǎn)物。超新星爆發(fā)之后，就只剩超新星階段爆發(fā)后的產(chǎn)物。超新星爆發(fā)之后，就只剩下了一個下了一個“核核”，僅有幾十公里大小僅有幾十公里大小，它的旋轉(zhuǎn)速度，它的旋轉(zhuǎn)

12、速度很快，很快，有的甚至可以達到每秒有的甚至可以達到每秒714圈，甚至更高。圈，甚至更高。1993年諾貝爾物理學(xué)獎年諾貝爾物理學(xué)獎新型脈沖新型脈沖星星14美洲豹美洲豹 SA300武直武直 10支奴干 CH47直升飛機防止機身旋動的措施？15例例9. 如圖所示如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度v0 射入一靜止懸于頂端的長棒的下端射入一靜止懸于頂端的長棒的下端, ,穿出后穿出后 速度損失速度損失3/4, ,求子彈穿出后棒的角速度求子彈穿出后棒的角速度 。 ( (已知棒長為已知棒長為L, ,質(zhì)量為質(zhì)量為M。) )v0vmM解解: : 碰撞過程中系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的碰撞過程中系統(tǒng)

13、對轉(zhuǎn)軸的總角動量守恒總角動量守恒, , J mvLLmv0 L L所以所以 J40/LmvLmv0 231MLJ 094mvML 16 0r解：解： 外力矩為零外力矩為零, 系統(tǒng)對軸的角動量守恒系統(tǒng)對軸的角動量守恒,則則00JJ dd20mJJt rt 角速度減到角速度減到 0 /2時時dd20000()/2mJJt rt dd20/()mtJrt )10101(105235./ 5(s)例例10. 轉(zhuǎn)臺繞中心鉛直軸原來以轉(zhuǎn)臺繞中心鉛直軸原來以 0角速度勻速轉(zhuǎn)動，角速度勻速轉(zhuǎn)動， 轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J0=5 10-5kgm2。今。今 有沙粒以有沙粒以1g/s速度落入轉(zhuǎn)

14、臺速度落入轉(zhuǎn)臺, 沙粒粘附在轉(zhuǎn)臺沙粒粘附在轉(zhuǎn)臺 面上并形成一圓形面上并形成一圓形,且沙粒距軸的半徑且沙粒距軸的半徑r=0.1m， 當(dāng)沙粒落到轉(zhuǎn)臺時當(dāng)沙粒落到轉(zhuǎn)臺時, 轉(zhuǎn)臺的角速度要變慢。轉(zhuǎn)臺的角速度要變慢。 試求當(dāng)角速度減到試求當(dāng)角速度減到 0 /2時所需的時間。時所需的時間。17第第5節(jié)節(jié) 進動進動 mgZL 陀螺在繞自身的對稱軸轉(zhuǎn)動的同時陀螺在繞自身的對稱軸轉(zhuǎn)動的同時, ,其對稱其對稱軸繞經(jīng)過定點軸繞經(jīng)過定點( (如如: :O點點) )的軸的軸( (如如: :OZ軸軸) )轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，這種這種高速自旋的物體的轉(zhuǎn)軸在高速自旋的物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象稱為進動空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象稱為進動( (回轉(zhuǎn)

15、效應(yīng)回轉(zhuǎn)效應(yīng)) )。p Odr mg t ddLM t rdL L(Precession)重力對重力對O點的力矩始終與角動量垂直，點的力矩始終與角動量垂直，所以角動量只改變方向而大小不變，所以角動量只改變方向而大小不變，從而產(chǎn)生旋進運動從而產(chǎn)生旋進運動, ,即進動。即進動。dL 的的方方向向與與重重力力矩矩的的相相同同。18進動的角速度：進動的角速度：ddpt ddsinLL ddddsinLLMtt sinpL LOdL sinL p d sinsinpMMLJ 注意：注意：上述討論中上述討論中,將高速旋轉(zhuǎn)的陀螺對將高速旋轉(zhuǎn)的陀螺對O點的角點的角 動量近似成了陀螺對本身對稱軸的角動量動量近似

16、成了陀螺對本身對稱軸的角動量。19回轉(zhuǎn)效應(yīng)（回轉(zhuǎn)效應(yīng)（進動進動）的應(yīng)用舉例：）的應(yīng)用舉例：來復(fù)線使槍彈、炮彈在飛行時能繞自身的對來復(fù)線使槍彈、炮彈在飛行時能繞自身的對 稱軸旋轉(zhuǎn)稱軸旋轉(zhuǎn),在空氣阻力的作用下不會翻在空氣阻力的作用下不會翻“筋斗筋斗”， 而是產(chǎn)生進動，使總的運動基本保持原方向。而是產(chǎn)生進動，使總的運動基本保持原方向。(3) 抗磁性的起源抗磁性的起源: 電子在外磁場中的進動。電子在外磁場中的進動。(2) 飛機的自動駕駛，輪船的穩(wěn)定器飛機的自動駕駛，輪船的穩(wěn)定器20一一、剛體運動中剛體運動中的的功功和和能能 本節(jié)課的主要內(nèi)容本節(jié)課的主要內(nèi)容221 JEK轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能AMd 12kk

17、EE 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理重力勢能重力勢能PcEmg y 二二、剛體的角動量定理和角動量守恒定律剛體的角動量定理和角動量守恒定律剛體剛體的角動量的角動量zzLJ zzdLdtM 剛體剛體繞繞定軸定軸的角動量定理的角動量定理: :角動量守恒定律角動量守恒定律當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩0 M則：則：otLL 常量常量21剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點一維運動的對比剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點一維運動的對比位移位移x 角位移角位移 速度速度dtdxv 角速度角速度dtd 加速度加速度22dtxddtdva 角加速度角加速度22dtddtd 質(zhì)點一維運動質(zhì)點一維運動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)量質(zhì)量m轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣

18、量dmrJ 2力力F力矩力矩FrM運動定律運動定律amF 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 JM 動量動量vmp 動量動量質(zhì)心質(zhì)心vmp 角動量角動量prL 角動量角動量 iLJ動量定理動量定理1221mvmvFdttt 角動量定理角動量定理動量守恒定律動量守恒定律時時 0 F恒恒量量 iivm角動量守恒定律角動量守恒定律恒恒量量 J121221 JJLLdtMtt時時0M質(zhì)點一維運動質(zhì)點一維運動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動力的功力的功 rdFA力矩的功力矩的功動能動能221mvEk 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221 JEk（平動動能（平動動能 ）221質(zhì)質(zhì)心心mvEk 動能定理動能定理21222121mvmvA外外212

19、22121 JJA外外轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理重力勢能重力勢能mgh重力勢能重力勢能質(zhì)質(zhì)心心mgh機械能守恒定律機械能守恒定律時時非保內(nèi)非保內(nèi)外外 0 AA恒量恒量 pkEE時時非保內(nèi)非保內(nèi)外外 0 AA機械能守恒定律機械能守恒定律恒量恒量 pkEE 0dMA作業(yè)：作業(yè)： 第三章第三章 做完做完m (黏土塊黏土塊) yxhPOM光滑軸光滑軸勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤（水平）（水平）R例、例、 如圖示，已知：如圖示，已知：h ，R ，M=2m ， =60 . 求求: 碰撞的瞬間盤的碰撞的瞬間盤的？ 0 P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到x 軸時軸時,盤的盤的 ?,? 解：解：m由靜止下落由靜止下落221vmmgh 2vgh (