相似三角形判定專項練習30題(有答案)

相似三角形判定專項練習30題(有答案)1.在正方形ABCD中，E是邊AD的中點，F(xiàn)在邊CD上，且CF=3FD。問△ABE與△DEF是否相似，為什么？在正方形ABCD中，連接BE和DF，由于AE=ED，BE是AD的中線，所以BE∥AD，又因為ABCD是正方形，所以AB∥CD。因此，△ABE與△DEF是相似的，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠AEB=∠FED，而且有一個對應(yīng)的邊成比例，即AE：DE=BE：EF。2.在圖中，△BAC和△AGF是等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC=∠AGF=90°。若△BAC固定不動，△AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E。請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明。從圖中可以看出，△ABD與△AGF相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ABD=∠AGF，而且有一個對應(yīng)的邊成比例，即AB：AG=BD：GF。另外，△AED與△ABC相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠AED=∠ABC，而且有一個對應(yīng)的邊成比例，即AE：AB=DE：BC。其中，我們選擇證明△ABD與△AGF相似，因為它們更容易得出。證明：因為△BAC≌△AGF，所以AB=AG，AC=AF。又因為△ABD和△AGF相似，所以AB：AG=BD：GF，代入AB=AG和AC=AF，得BD：GF=BD+DC：EF，即DF：EF=BD+DC：BD。又因為△ABC和△ADE相似，所以AE：AB=DE：BC，代入AB=AG和AC=AF，得AE：AF=DE：BC，即EF：DF=BD+DC：BD。因此，△ABD與△AGF相似。3.在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且AE=EB。求證：△AED∽△CBD。連接BD，并延長BD交AC于點F。因為AE=EB，所以AF是三角形ABC的中線，所以AF=FC。又因為△ABD和△FBC相似，所以AB：FB=BD：FC，代入AB=BC，得BD：FC=BC：FB，即BD+DC：FC=BC：FC，即BD+DC：FC=BC：BD+DC，所以BD：FC=BC：DC，即△AED∽△CBD。4.已知∠1=∠2，且AB·ED=AD·BC，則△ABC與△ADE相似嗎？是說明理由。不一定相似。因為相似三角形必須有對應(yīng)的角相等和對應(yīng)的邊成比例，但是已知條件中只有一個角相等和一個邊成比例，無法確定另外兩個角和兩個邊是否成比例。5.已知在△ABC中，∠C=90°，點D、E分別在AB、CB延長線上的點，CE=9，AD=15，連接DE。若BC=6，AC=8，求證：△ABC∽△DBE。因為∠C=90°，所以△ABC是直角三角形。連接AC、BD和AE。由于AE∥BC，所以△ADE與△ABC相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠AED=∠ACB，而且有一個對應(yīng)的邊成比例，即AE：AC=DE：BC。又因為△ACD與△BCE相似，所以AC：BC=CD：CE，代入AC=8，BC=6和CE=9，得CD=12。因此，BD=BC+CD=6+12=18。又因為△ADE與△DBE相似，所以DE：BE=AE：BD，代入AE=AC+CE=8+9=17和BD=18，得DE：BE=17：18，即△ABC∽△DBE。6.在等邊△ABC中，D在BC邊上，△ADE為等邊三角形，DE與AC交于點F。證明：△ABD∽△DCF，并列出圖中的其他相似三角形。證明：因為△ADE和△ACF都是等邊三角形，所以∠AED=∠AFC=60°。又因為△ADE和△ABC相似，所以∠AED=∠ABC。因此，∠ABC=∠AFC=60°。又因為△ABC是等邊三角形，所以∠BAC=∠BCA=60°。因此，△ABD和△DCF是相似的，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ABD=∠DCF，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠BAD=∠DCB。圖中其他相似三角形：△ABE與△DCF相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ABE=∠DCF，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠AEB=∠DCB?！鰽DE與△BFC相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠AED=∠BFC，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠ADE=∠BFC。7.在銳角△ABC中，CD和BE分別是AB和AC邊上的高線，垂足為D和E。證明：△ADC∽△AEB，△AED與△ABC不相似。證明：因為∠AED=∠ACB，所以△AED和△ABC相似。又因為CD和BE分別是銳角△ABC中的兩條高線，所以CD和BE分別是△ADC和△AEB的中線，所以AD=DC，AE=EB。因此，△ADC和△AEB是相似的，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ADC=∠AEB，而且有一個對應(yīng)的邊成比例，即AD：AE=DC：EB。但是△AED與△ABC不相似，因為它們沒有對應(yīng)的邊成比例。8.在△ABC中，AC⊥BC，D是BC延長線上的一點，E是AC上的一點，連接ED，∠A=∠D。求證：△ABC∽△DEC。因為∠A=∠D，所以△ABD和△ACD相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ABD=∠ACD，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠BAD=∠CDA。又因為AC⊥BC，所以∠ACB=90°，所以△ABC是直角三角形。因此，△ABC和△ABD相似。又因為△AED和△ACD相似，所以DE：AC=ED：CD，代入AC=BC和∠ACB=90°，得DE：BC=ED：DC。因此，△ABC與△DEC相似。9.在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，F(xiàn)為BC上的中點，連接DE、EF和DF。證明：DF=EF，列出除直角三角形以外的所有相似三角形，并選擇一對進行證明。證明：因為F是BC的中點，所以EF∥AC，又因為BE⊥AC，所以EF⊥BE。因此，EF是△ABE的高線，所以EF=2DE。又因為CD⊥AB，所以DF=2CD。因此，DF=EF。除直角三角形以外的所有相似三角形：△BDE和△BAC相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠BDE=∠BAC，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠BED=∠ABC。△CDE和△ABC相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠CDE=∠ABC，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠CED=∠ACB。選擇證明△BDE和△BAC相似。因為BE⊥AC，所以∠BED=∠ABC。又因為CD⊥AB，所以∠BDC=∠BAC。因此，∠BED=∠BDC。又因為∠BDE=90°，所以△BDE和△BDC相似。因此，△BDE和△BAC相似。10.在等邊△ABC中，D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F。說明△ABD≌△BCE，并判斷△EAF和△EBA是否相似。因為△ABC是等邊三角形，所以BD=CE=BC/2。因為BD=BC/2，所以∠BDC=90°，因為CE=BC/2，所以∠CEB=60°。因此，∠BDC+∠CEB=150°=∠BAC。因為AD與BE相交于點F，所以△ABF和△CEF相似，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ABF=∠CEF，而且有一個對應(yīng)的角相等，即∠AFB=∠EFC。因此，△ABD≌△BCE，因為它們有一個對應(yīng)的角相等，即∠ABD=∠BCE，而且有一個對應(yīng)的邊相等，即BD=CE。△EAF和△EBA不相似，因為它們沒有對應(yīng)的邊成比例。11.在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于點E，EC與AD相交于點F。求證：△ABC∽△FCD。因為D是BC邊上的中點，所以AD=AC，所以△ADC是等腰三角形，所以∠ADC=∠ACD。因為DE⊥BC，所以∠ADE=90°，所以∠AED=∠ACD。因為EC與AD相交于點F，所以∠FEC=∠DAC，所以∠FED=∠AED。因此，∠FED=∠ACD。因為△ADC和△FEC相似，所以AD：AC=FC：FE，代入AD=AC，得FC=FE。又因為△ABC和△ADE相似，所以AB：AD=BC：DE，代入AD=AC和BC=2BD，得AB：AC=2BD：DE，即AB：2BD=AC：DE。因此，△ABC和△FCD相似。12.在Rt△ABC中∠C=90°，CD為AB邊上的高。求證：Rt△ADC∽Rt△CDB。因為CD是△ABC的高，所以△ADC和△CDB都是直角三角形。因為∠C=90°，所以△ABC是直角三角形。因此，△ABC和△ADC相似。又因為∠C=90°，所以∠CDB=∠CAD，所以△CDB和13.如圖所示，點D在△ABC內(nèi)，點E在△ABC外，且∠1=∠2，∠3=∠4?？梢园l(fā)現(xiàn)△ADE和△ABC相似，因為它們共有一條邊AD，且∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB。同樣，△AEB和△ACB相似，因為它們共有一條邊AB，且∠AEB=∠ACB，∠BAE=∠BCA。14.如圖所示，∠DEC=∠DAE=∠B。首先，根據(jù)共角原理，可以得出△DAE和△EBA相似，因為它們共有一條邊AE，且∠DAE=∠EBA。其次，可以找到△DEC和△ABC相似，因為它們共有一條邊AC，且∠DEC=∠ABC，∠CDE=∠CBA。15.如圖所示，銳角三角形ABC中，CD和BE分別是AB和AC邊上的高，垂足為D和E。首先，根據(jù)共角原理，可以得出△ACD和△ABE相似，因為它們共有一條邊AC，且∠ACD=∠ABE。其次，△AED和△ABC不能相似，因為它們沒有共同的角。16.如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，AE⊥AD，AE交CB的延長線于點E。首先，可以通過證明∠EAB=∠ECA和∠BAE=∠ACD來得出△EAB和△ECA相似的結(jié)論。其次，△ABE和△ADC不一定相似。要使它們相似，需要增加一個條件，例如AB=AD。17.已知如圖所示，BD和CE交于點O，且∠ADE=∠ABC。首先，根據(jù)共角原理，可以得出△ADE和△ABC相似，因為它們共有一條邊AC，且∠ADE=∠ABC。其次，△ABD和△ACE不相似，因為它們沒有共同的角。還有△AOD和△BOE、△DOE和△COB相似。18.如圖所示，已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，延長BA至E，延長AB至F，且∠ECF=135°?？梢酝ㄟ^證明∠EAC=∠CBF來得出△EAC和△CBF相似的結(jié)論。19.如圖所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC上運動（不能到達點B，C），過點D作∠ADE=45°，DE交AC于點E。首先，可以通過證明∠ABD=∠DCE和∠BAD=∠CED來得出△ABD和△DCE相似的結(jié)論。其次，當△ADE是等腰三角形時，可以利用勾股定理求出AE的長。20.如圖所示，點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且∠BAC=∠BDC=∠DAE?？梢酝ㄟ^證明∠ABE=∠ACD來得出△ABE和△ACD相似的結(jié)論。21.已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P和Q分別是AB和BC上運動的兩點。當P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動。經(jīng)過6秒，由P、B、Q三點組成的三角形與△BDC相似，因為它們共有一條邊BC，且∠PBC=∠DBC。22.如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點P從B點出發(fā)沿著BC向C移動，速度為每秒2個單位，動點Q從點C出發(fā)沿CD向D出發(fā)，速度為每秒1個單位。經(jīng)過2秒，由C、P、Q三點組成的三角形與△ABC相似，因為它們共有一條邊BC，且∠PCQ=∠ABC。此時，線段PQ與AC相交于點E，因為三角形PCQ和ABC相似，所以線段PQ和AC也相似?！唷鱁AD∽△EBA（AA相似性質(zhì)）．對△ACD∽△DAE進行證明：∵AC=AD，∠ACD=∠DAE，∴△ACD∽△DAE（SAS相似性質(zhì)）．3．解：△ACD∽△BCF．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ACD=∠BCF，∠CAD=∠CBF，∴△ACD∽△BCF（AA相似性質(zhì)）．4．解：△ABD∽△EBC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△EBC（AA相似性質(zhì)）．5．解：△ACB∽△DCE．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ACB=∠DCE，∠ABC=∠DEC，∴△ACB∽△DCE（AA相似性質(zhì)）．6．解：△ABD∽△ECD．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△ECD（AA相似性質(zhì)）．7．解：△ACD∽△BCE．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠CBF，∴△ACD∽△BCE（AA相似性質(zhì)）．8．解：△ABC∽△DEF．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABC∽△DEF（AA相似性質(zhì)）．9．解：△ABD∽△EBC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△EBC（AA相似性質(zhì)）．10．解：△ABD∽△CBE．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠CBE，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△CBE（AA相似性質(zhì)）．11．解：△ABD∽△CBE．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠CBE，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△CBE（AA相似性質(zhì)）．12．解：△ABD∽△ECD．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△ECD（AA相似性質(zhì)）．13．解：△ABD∽△EBC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△EBC（AA相似性質(zhì)）．14．解：△ABD∽△EBC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△EBC（AA相似性質(zhì)）．15．解：△ABD∽△EBC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△EBC（AA相似性質(zhì)）．16．解：△ABC∽△EDC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABC=∠EDC，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC（AA相似性質(zhì)）．17．解：△ABD∽△EBC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABD=∠EBC，∠BAD=∠ECB，∴△ABD∽△EBC（AA相似性質(zhì)）．18．解：△ABC∽△EDC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABC=∠EDC，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC（AA相似性質(zhì)）．19．解：△ABC∽△EDC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABC=∠EDC，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC（AA相似性質(zhì)）．20．解：△ABC∽△EDC．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠ABC=∠EDC，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC（AA相似性質(zhì)）．21．解：△ABC∽△DEF．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABC∽△DEF（AA相似性質(zhì)）．22．解：△ABC∽△DEF．理由如下：∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABC∽△DEF（AA相似性質(zhì)）．23．解：相似三角形為△ABF和△DEF．理由如下：∵BF和EF都垂直于直線DFBE，∴BF∥EF，又∵∠ABF=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△ABF∽△DEF（AA相似性質(zhì)）．24．（1）解：連接BM，CN，∵MN分別為AE、CD的中點，∴AM=MB，CN=ND，又∵ABD和BCE為等邊三角形，∴AB=BD=BC=CE，∴AM+MB=AB+BD=BC+CE=CN+ND，∴AM=CN．（2）解：∵ABD和BCE為等邊三角形，∴∠ABD=∠BCE=60°，又∵AM=MB，CN=ND，∴∠AMB=∠CND=30°，∴∠MBN=∠AMB+∠BMC+∠CND=30°+90°+30°=150°．（3）解：相似三角形有△ABM∽△CND，△AMB∽△DNC，△ABD∽△BCE，全等三角形有△ABD≌△BCE．25．解：與△ABD相似的三角形為△ANC．理由如下：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠MBN=90°，又∵BD⊥AN，∴∠ABD=∠ANC，又∵ABD和BCE為等邊三角形，∴AB=BD=BC=CE，∴AN=NC，∴△ABD∽△ANC（AA相似性質(zhì)），∴∠ANC=∠ABD=60°．26．解：設(shè)BD=x，則DE=2x，CE=2x+8，AE=6-x，∵以BDE為頂角的三角形與△ABC相似，∴==2，∴=，∵以BCE為頂角的三角形與△ABC相似，∴==4，∴=，∴=2，代入CE=2x+8，得x=4，∴t=BD=4秒．27．解：∵E是BC的中點，∴BE=EC，又∵CF=CD，CF=CE-EF，∴BE=CD-EF，∴△ABE和△AEF的兩條邊分別相等，∴△ABE∽△AEF（SAS相似性質(zhì)）．28．解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠AFD=∠ADB，∠FDA=∠DBA，又∵∠ADC=∠BDC=90°，∴△AFD∽△ADB（AA相似性質(zhì)）．29．（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，又∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AC∥BD，∴BE=CD，∴BE=CD（已知）．（2）解：∵M、N分別是BE和CD的中點，∴MN∥BC∥AD，又∵△ADE繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠DAB=∠EAC，∴∠DAB+∠BAM=∠EAC+∠CAN，∴∠MAB=∠NAC，∴AM=CN，∴△AMN是等腰三角形．（3）解：相似三角形有△ABE∽△CDE，△ABM∽△CND，△AMN∽△ABC和△ADE．30．解：∵AB=AC，BD=CD，∴∠ABD=∠CBE，又∵CE⊥AB，∴∠CBE=∠CED，∴△ABD∽△CBE（AA相似性質(zhì)）．3.證明：因為三角形ABC是正三角形，所以∠A=∠C=60°，BC=AB，又因為AE=BE，所以CB=2AE，同時CD=2AD，所以DE=2AE，因此△EAD∽△EBA，同時由于∠A=∠C，所以△AED∽△CBD。4.解：因為AB·ED=AD·BC，所以AD/AB=ED/BC，又因為∠1=∠2，所以∠BAC=∠DAE，因此△ABC∽△ADE。5.證明：在直角三角形RT△ABC中，因為∠C=90°，BC=6，AC=8，所以AB=10，因此DB=AD-AB=15-10=5，所以DB：AB=1：2，又因為EB=CE-BC=9-6=3，所以EB：BC=1：2，因此EB：BC=DB：AB，同時由于∠DBE=∠ABC，所以△ABC∽△DBE。6.(1)證明：因為△ABC和△ADE都是等邊三角形，所以∠B=∠C=∠3=60°，因此∠1+∠2=∠DFC+∠2，所以∠1=∠DFC，因此△ABD∽△DCF；(2)解：因為∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，所以△AEF∽△DCF，因此△ABD∽△AEF，此外還有△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD。7.(1)證明：因為CD、BE分別是銳角△ABC中AB、AC邊上的高線，所以∠ADC=∠AEB=90°，又因為∠A=∠A，所以△ADC∽△AEB；(2)由(1)可知，△ADC∽△AEB，則AD：AE=AC：AB，又因為∠A=∠A，所以△AED∽△ABC。8.證明：因為AC⊥BC，所以∠ACB=∠DCE=90°，又因為∠A=∠D，所以△ABC∽△DEC。9.(1)證明：因為CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠BEC=∠BDC=90°，而F為BC上的中點，所以EF=BC，DF=BC，因此DF=EF；(2)解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；(3)證明：因為∠ADC=∠AEB=90°，而∠BAE=∠CAD，所以△ABE∽△ACD，因此AD/AB=CE/BC，又因為∠DAE=∠CAB，所以△ADE∽△ACB。10.(1)證明：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又因為BD=CE，所以△ABD≌△BCE；(2)答：相似；因為∠ABC=∠BCE，∠ACB=∠CBD，又因為BD=CE，所以△ABC∽△BCE。1.根據(jù)三角形的等價條件，可以得出△ABD和△BCE是全等的。因此，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以得出∠BAD=∠CBE。又因為∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE，所以可以得出∠EAF=∠EBA。由于∠AEF=∠BEA，因此可以得出△EAF∽△EBA。2.根據(jù)題目中的條件，可以得出∠ADC=∠ACD。又因為D為BC的中點，且DE⊥BC，所以可以得出EB=EC。由于∠B=∠DCF，因此可以得出△ABC∽△FCD。3.根據(jù)題目中的條件，可以得出CD是AB邊上的高，因此∠ADC=∠CDB=90°。又因為∠ACB=90°，所以可以得出∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，從而可以得出∠A=∠BCD。由于∠ADC=∠CDB=90°，所以可以得出Rt△ADC∽Rt△CDB。4.根據(jù)題目中的條件，可以得出△ABD∽△CBE和△ABC∽△DBE。因為∠1=∠2，∠3=∠4，所以可以得出△ABD∽△CBE。又因為∠1=∠2，所以可以得出∠ABC=∠DBE，從而可以得出△ABC∽△DBE。5.根據(jù)題目中的條件，可以得出CD和BE分別是AB和AC邊上的高，因此∠ADC=∠AEB=90°。由于∠A=∠A，所以可以得出△ACD∽△ABE。又因為∠A=∠A，所以可以得出△AED∽△ABC。6.根據(jù)題目中的條件，可以得出∠BAC=90°，D為BC的中點，因此BD=CD，AD=CD。又