考研數(shù)學(xué)真題大串講ppt課件

1、 真題大串講 主講教師：高昆輪 1.梳理體系，查缺補漏 2.答題技巧 新浪微博：考研數(shù)學(xué)高教師;二、一元函數(shù)微分學(xué)二、一元函數(shù)微分學(xué)主要內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的定義及運用，求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程、分段函主要內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的定義及運用，求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程、分段函數(shù)、數(shù)、 高階導(dǎo)數(shù)，性態(tài)單調(diào)性、極值與最值、凹凸性與拐點、漸近線、曲率，不等式的證明，零高階導(dǎo)數(shù)，性態(tài)單調(diào)性、極值與最值、凹凸性與拐點、漸近線、曲率，不等式的證明，零點問題，微分中值定理的證明題。點問題，微分中值定理的證明題。 2002001.00,011lim1 coslim111limsin

2、lim2hhhhhff xxAfhBfehhCf hhDfhf hhh例 設(shè)則在處可導(dǎo)的充要條件是存在存在存在存在1.導(dǎo)數(shù)的定義及運用與導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)的極限問題、導(dǎo)數(shù)的幾何運用和經(jīng)濟運用導(dǎo)數(shù)的定義及運用與導(dǎo)數(shù)定義有關(guān)的極限問題、導(dǎo)數(shù)的幾何運用和經(jīng)濟運用000000: limlim()xxf xxf xf xxf xxxxx 分析存在01.lim0 xxlx 02.limxxx 03.lim0 xxx 0fx00fx; ,1sin,000f xF xf xxfF xxABCD例2.設(shè)可導(dǎo)則是在處可導(dǎo)的充分必要充分非必要必要非充分既非充分也非必要 000:,F xf x g xf xxg xxF x

3、x注其中在 處可導(dǎo)在 處連續(xù)但不可導(dǎo),則在 處可導(dǎo) 23199820123f xxxxxABCD如數(shù)一二的不可導(dǎo)點的個數(shù)為00f xx 在0點不可導(dǎo)，x x而在0點可導(dǎo)，;例3.（四大類曲線的切線與法線）2014,2 2=Lrr 如數(shù)二 曲線 的極坐標(biāo)方程是則在點，處的切線的直角坐標(biāo)方程是2011tan0,04yxye數(shù)三 曲線在點處的切線方程是 rr曲線的切線與法線 yf x曲線的切線與法線, xx tyy t曲線的切線與法線,0 x y 曲線F的切線與法線,2arctan20131ln 1xttyt數(shù)二 曲線上對應(yīng)于點處的法線方程是;2.求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程、分段函數(shù)、

4、高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程、分段函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù) ln,12013,21,1x edyx xf xyff xdxxx數(shù)三 設(shè)函數(shù)則 201212,0 xxxf xeeenf 則 3222003,0,1sin0,yy xyxx yyy xd xdxxx yyxyy xdydy 數(shù)一數(shù)二在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) 且是的反函數(shù)將所滿足的方程變換為的方程； 220002010sin,x yxtxdyyy xedtxt dtdx數(shù)三 可導(dǎo)函數(shù)由確定 則224sin2013,sincostxtd ytytttdx數(shù)一 設(shè)為參數(shù),則; 1004.,lim,0 xf xf xxf xt dtAxx

5、xx例 設(shè)函數(shù)連續(xù)且常數(shù)求并討論在處的連續(xù)性 00:00,00.,0,0,0,0 xxf u dufuxtxxxf u duxxxx分析 由題設(shè)知令得 0000: 2009lim,xxf xxfxAfxA fxxx注一二三在 處連續(xù),且則在點連續(xù) 0200limlimxxxxf xf u duxx 000limlim000 xxxf u duxfx 020 xxf xf u duxxx， 0 xx在處連續(xù) 0200limlim22xxxf u duf xAAAxx 0,02Axxx在處連續(xù)處處連續(xù); ,01996,01,010,01; 2,.xg xexf xg xgxxfxfx 如數(shù)三 設(shè)其

6、中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),g求討論在上的連續(xù)性; 22015200nxf xxxnf數(shù)二在處的 階導(dǎo)數(shù) 11995,1nxf xfxx數(shù)三則;3.性態(tài)單調(diào)性、極值與最值、凹向與拐點、漸近線、曲率性態(tài)單調(diào)性、極值與最值、凹向與拐點、漸近線、曲率 2005.31,0,0,xyf xxxfxx fxefxx 例 已知函數(shù)對一切 滿足則 0000000,A f xB f xCxf xD f xxf x是極大值是極小值是曲線的拐點不是極值,也不是曲線的拐點0000:0,1xfxx fxe 分析代入得000010,0 xexfxx又于是0,0,x 事實上 本題也是成立的 000limxfxffx 20013lim

7、limxxxex fxfxx1; 06.,00,lim1,xfxf xfx例具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且則 000,000,0A fB fCfD ff是極大值是極小值是曲線的拐點不是極值，也不是曲線的拐點 0:lim10 xfxx 分析 00,00fxffxf左鄰域內(nèi)右鄰域內(nèi)0 x 時, 0,0fxfxx即; 2347.1234yxxxx例 曲線的拐點是 1,02,03,04,0ABCD :,0,0,0,1,2,1 ,0nknf xxag xg xg anfaknfa分析其中任意階可導(dǎo)是正整數(shù) 則 23432412343,124,30,303,0yxxxxxg xg xxxxyy于是是曲線的拐點; .

8、,0 11,0,10000f xg xfxfxAfxf xg xBfxf xg xCfxf xg xDfxf xg x例8設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)則在區(qū)間上當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時, :00 ,110 111000,01,100,1,gfgfg xfxfxffxffffxy f xf xg x分析故直線過點和.當(dāng)時,曲線 =在上是凹的 故此時 :0 11,01 ,00.F xf xg xf xfxfx FxfxffFxfxfxFx另故時, 0,1,yF x曲線在上是凹的 010,0,0,1FFF xx又故; 220201220212.=xxxf xfxfxf xfxf xef xf xeyf xftd

9、t數(shù)三滿足及求的表達式 求曲線的拐點 2007ln0,1,1yy xyyxyyy x數(shù)三由方程確定 判斷曲線在附近的凹凸性 2221xtf xxt edt例9.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值 322201460,.yf xyxyx yf x數(shù)一由方程所確定 求的極值 32219962221,yy xyyxyxyy x數(shù)二由方程所確定,求的駐點并判別是否是極值點 3311332011,1133xttyy xyy xyy xytt 數(shù)二由參數(shù)方程確定 求的極值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點; 210.lim0,11,11,11,11,1xxaxba bxA abB abc abD ab 例已知其中是常數(shù)，則 22

10、201411sinsinsinsinA yxxB yxxC yxD yxxx下列曲線中有漸近線的是 :lim0 xf xaxbyaxbyf xx 分析是曲線在方向的斜漸近線 21limlim1,limlim11xxxxxf xxxabf xxxxx ; 111.ln 10123xyexABCD例曲線漸近線的條數(shù)為 22712.141101010 105 1050100 xttyttABCD例曲線上對應(yīng)于點的曲率半徑是;4.不等式單調(diào)性、最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、凹凸性不等式單調(diào)性、最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式、凹凸性21lncos11112xxxxxx 例10.證明 21:lnco

11、s11112xxf xxxxx 分析 令， 00,1f xf xx是偶函數(shù)，故只需證明， 22111lnsinlnsin0111xxxfxxxxxxxx 0,100.f xxf xf單調(diào)增,; 0.lim1,0,xf xfxf xxx例11設(shè)且證明: 0,lim100,01xf xf xffx 分析:二階可導(dǎo) 22:00022xf xffxfxxxfx另介于 與 之間 0FF x故是的極小值 ,1,00,0=F xf xxFxfxFFxfx令則所以又 00F xFf xx ,0,FxFF x且嚴(yán)格單調(diào)增 從而是的最小值; 12.0,1,0,122f xf xa fxba bbfca例設(shè)在上有二

12、階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足其中都是非負常數(shù),c是內(nèi)任一點，證明 200000:,2!ff xf xfxxxxxxx分析介于 與 之間0;xx使用泰勒公式關(guān)鍵是選取展開點 與被展開點0 x 往往選取導(dǎo)數(shù)信息最多的點 2,2ff xf cfcxcxccx介于 與 之間 1212220,2111,2fff ccfcccfff cc fccc介于 與0之間介于 與1之間 222111012fffcfcfc 22222111101122222+bfcfffcfcaaccba01,xx代入與得;5.零點問題零點問題存在性:推廣的零點定理、羅爾定理唯一性: 單調(diào)性、羅爾定理的推論 212111,xxxt dttdt

13、f x例13.已知函數(shù)f求的零點個數(shù) 221:121,0,2110,0,22fxxxxfxxxfxf xxfxf x 分析由得駐點時,單調(diào)減；時,單調(diào)增 110,2f故上有且只有一個零點 1110, lim,22xfff x 在上有且只有一個零點 f x綜上，有且只有兩個零點; 14.0,0,00,0 +f xfxkff x例在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且證明:在，內(nèi)有且只有一個零點;15.arctan0,kxxk例求方程不同實根的個數(shù)是參數(shù);4: 20114arctan303xx如數(shù)三 證明方程恰有兩個實根;6.中值定理的證明題中值定理的證明題 116.0,10,1010,1,:211,1 ,; 2,0

14、,12f xffffff例設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且證明存在使對必存在使得 ,0a bfgf證明:存在，使 g x dxF xf x e 11111,0,111102222F xf xx FfFf 1,10,2=f ，使F即 210ff xG xf xx e; 17.1,111,10,11; 21,1 ,1=f xffff 例設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且證明：存在,使得存在使得 : 11,1,00,f xf分析是上的奇函數(shù) 則 ,F xf xx 211fffxfx ,1f xfxff是奇函數(shù) 則是偶函數(shù) 0GG 10,1ffff由拉格朗日中值定理，即 00,1110,0,1=FFfa bFf

15、 使即 10fxfx 1xG xfxe; 12019960,1,12,;0,10f xfxf x dxff如:數(shù)三在上可微證明 存在使 110120010,1,0,1,1,1;0,11xkf xfkxef x dx kff如:數(shù)三在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且證明存在使; 18.,0,0,;1,0 2,f xg xa bxf af bg ag bffa bg xa bgg例在上存在二階導(dǎo)數(shù),且g證明在開區(qū)間內(nèi)；存在使 : 100gxg x分析至多只有兩個根， 0g ag b又 0,0,=g xg xxa b故，再無其他根 即 20fff x gxfx g xgg 0f x gxfx gxfx g xf

16、x gx F xf x gxfx g x; 19.,:,.f xg xa ba bf ag af bg ba bfg例設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,證明 存在使 :0,FF aF bF c分析 證明只需找到三個不同點的函數(shù)值相同即可,即 0fgfxgxF xf xg x F x于是,只需找到有三個不同點其函數(shù)值相等即可 0,0,0F af ag aF bf bg bF cf cg c于是關(guān)鍵是找到另一點使得 1,0f xg xccF c 如果和是在同一點 取到最大值 則此 點便是所需的 12122,f xg xf xxxxxx如果和不是在同一點取到最大值 不妨設(shè)在 點取到最大

17、值,g在 點取到最大值 設(shè)111222,00F xf xg xF xf xg x此時， 12,0cx xc 使F; 20.,0,0,0,0.f xa bf af bfafba ba bff例設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù) 且證明；存在和使 :0,0,lim0=xaf xf afafbfaxa分析 不妨設(shè)則111,0 xa af x lim0=xbf xf bfbxb222,0 xbbf x 12,0 x xa bf 使 00000000:0,0,0,fxxxxf xf xxx xf xf xfx注 若則存在當(dāng)時,當(dāng)時對有著類似的結(jié)論.; 21.0,1,0,10,01,1,01,0,10.f xfBfyf

18、xC c f ccf例在上連續(xù) 在內(nèi)二階可導(dǎo),過點A與的直線與曲線相較于其中證明:存在使 :,010,=F xf xaxbFF cFFxfx分析 直線與曲線有三個不同的交點A,B,C;于是作則顯然必有且; 2022.0,3,0,3,2023 ,;10,2 ,0 ; 20,3 ,0.f xff x dxfffff例設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù) 且證明存在使存在使 20:,20202,0,2F xf xf x dxFFFf分析 設(shè)是的一個原函數(shù) 則 0,0,2ff于是 232,3,2fff 使, 0ff即 0fff 12112:,nnnf xa bxxxx xf xf xf xfn注在上連續(xù),必存在一點使, : 20030123,31,0,30.fffff如數(shù)三證明存在，使得; 23.1,1,10,11,00,1,13.f xffff 例在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且證明：存在使 232311:0002!3!1100,02!3!f xffxfxfxffxfxx分析在 與 之間1,1,xx 將代入得 31132211000,