n隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)PPT課件

1、10),( yxF)(xfy 1. 隱函數(shù)的定義隱函數(shù)的定義一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為 隱函數(shù)(implicit function).y = f (x)的形式稱(chēng)為的形式稱(chēng)為顯函數(shù).隱函數(shù)的013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù);13xy 例例),10(sin yxy開(kāi)普勒方程開(kāi)普勒方程開(kāi)普勒開(kāi)普勒( (J.Kepler) )1571-1630德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家天文學(xué)家. .的隱函數(shù)客觀存在的隱函數(shù)客觀存在,但無(wú)法將但無(wú)法將y表達(dá)成表達(dá)成x的的顯式顯式表表達(dá)式.顯化.由二元方程由二元方程 F (x, y) = 0 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)y = f (x) y關(guān)于關(guān)于x第1頁(yè)/共31頁(yè)2

2、. 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)不易顯化或不能顯化 如何求導(dǎo)3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)或微分.第2頁(yè)/共31頁(yè)例1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第3頁(yè)/共31頁(yè)y 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的

3、方程.y是x的函數(shù),第4頁(yè)/共31頁(yè)5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f (x)由方程由方程所確定所確定,則曲線則曲線y=f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是處的切線方程是( ).考研考研(數(shù)學(xué)二數(shù)學(xué)二) 填空填空, 4分分4ln2yxxy 0 yx解解 將方程兩邊求微分將方程兩邊求微分, 得得yyxxyxxyd4d2dd3 再將點(diǎn)再將點(diǎn)(1,1)代入上方程代入上方程, 得得1dd)1 , 1( xy切線方程為切線方程為)1(11 xy0 yx即即隱函數(shù)第5頁(yè)/共31頁(yè)例3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx

4、得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(22231212()40 xyyxyyyy y 得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy第6頁(yè)/共31頁(yè)7例例.dd, 0sin2122xyyyx求求設(shè)設(shè) 解解 將方程兩邊求微分將方程兩邊求微分, 得得)0d()sin21(d yyx, 0 , 0dcos21dd yyyx,dcos22dxyy ,cos22ddyxy 22ddxy2)cos(22y xy)cos(2 2)cos(2sin2yy xy .)cos(2sin42yy 用用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,注意變量

5、y是x的函數(shù).解得解得第7頁(yè)/共31頁(yè)8.)()2()(xvxu冪指函數(shù)冪指函數(shù)3. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用, (1) 許多因子相乘除、乘方、開(kāi)方的函數(shù)許多因子相乘除、乘方、開(kāi)方的函數(shù).,e)4(1)1(23xxxxy 如如對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,.sinxxy 適用于適用于方法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), -對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 然后利用隱函然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).介紹介紹第8頁(yè)/共31頁(yè)例4解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln

6、求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)第9頁(yè)/共31頁(yè)例5解1.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第10頁(yè)/共31頁(yè)11解解2.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)xxylnsinln yyd1)sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx 等式兩邊取對(duì)數(shù)等式兩邊取對(duì)數(shù), 得得再將上式兩邊求微分再將上式兩邊求微分,

7、 得得, )d1(sin)dcos(lnxxxxxx vuuvvudd)d( ,dsinlncosxxxxx 于是于是第11頁(yè)/共31頁(yè)12),0(sin xxyx將將則則xxylnsine xx ln(cos ).sinxx ,elnsinxxy 改寫(xiě)成改寫(xiě)成解解3第12頁(yè)/共31頁(yè)13.,1. 12sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解解)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy ).12sinln(cos2xxxxxxyy 等式兩邊取對(duì)數(shù), 得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率第13頁(yè)/共31

8、頁(yè)一般地)0)()()()( xuxuxfxv( )( )fxf x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf ( ) ( ) ( ) ln ( )( )v x u xv xu xu x 第14頁(yè)/共31頁(yè)15.,. 2yyxxy 求求設(shè)設(shè)解解,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 等式兩邊取對(duì)數(shù), 得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得第15頁(yè)/共31頁(yè)16二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(tytx 若參數(shù)方程若參數(shù)方程如如 ,22tytx2xt 2ty,42x .21xy (parametric

9、 equation)參數(shù)方程 稱(chēng)此為由稱(chēng)此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù).22 x 消參數(shù)困難或無(wú)法消參數(shù)消參數(shù)困難或無(wú)法消參數(shù) 如何求導(dǎo)消去參數(shù)消去參數(shù) t.確定確定y與與x間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系,所以所以所以所以第16頁(yè)/共31頁(yè)17)(),(tytx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) yd,d)()(xtt .ddddddtxtyxy ,)()(中中在方程在方程 tytx . 0)( t 且且都可導(dǎo),得得兩兩邊邊取取微微分分對(duì)對(duì),)(tx ,d)(dttx 所以;d)(1dxtt 得得兩兩邊邊取取微微分分對(duì)對(duì),)(ty ,d)(dtty 所以即 xydd,)()(tt 或者參數(shù)方程的求導(dǎo)公式

10、.第17頁(yè)/共31頁(yè)18例例解解txtyxydddddd ,cos1sintt taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .2)cos1()sin(處的切線方程處的切線方程在在求擺線求擺線 ttayttax,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay).22( axy即即),12( ax. ay 所所以以aOxyaaaaa2第18頁(yè)/共31頁(yè)19解解txtyxydddddd ttttsincos2sincos 4sin4cos24sin4cosdd4 txy211 4sin1,coscos2 ttyttx上對(duì)應(yīng)于上對(duì)應(yīng)于曲線曲線 考研數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)二,

11、 填空填空4分分的點(diǎn)處的的點(diǎn)處的法法線斜率線斜率為為21 故曲線在切故曲線在切線斜率為線斜率為.211 所所以以第19頁(yè)/共31頁(yè)20,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx 22ddxy )()(tt )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即xtdd )()(ddttxy xyx ddddtdd第20頁(yè)/共31頁(yè)21如如: 33ddxy注注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式, 只要理解其含義只要理解其含義,這樣對(duì)求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理這樣對(duì)求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理. 22ddddxyxtxydddd22 .dddddd

12、22txtxy xtdd 第21頁(yè)/共31頁(yè)22解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ,tant )dd(dddd22xyxxy xtttddd)tan(d ttatsincos3sec22 .sin3sec4tat )cos()tan(3 tattxttdd1d)tan(d 3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率星形線星形線aaOxyaa第22頁(yè)/共31頁(yè)23例例.42sin處處的的法法線線方方程程在在求求曲曲線線 ar解解 將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)

13、換成將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 為參數(shù)為參數(shù) 則曲線的切線斜率為則曲線的切線斜率為xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為又切點(diǎn)為 4 4 ,224ax .224ay sin2sincos2cos2aa 故法線方程為故法線方程為axay2222 即即0 yx, 1參數(shù)方程參數(shù)方程 這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,借助借助參數(shù)方程處理問(wèn)題的方法參數(shù)方程處理問(wèn)題的方法,在高等數(shù)學(xué)中將在高等數(shù)學(xué)中將多次遇到多次遇到.第23頁(yè)/共31頁(yè)24x = x(t)

14、, y = y(t) 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)x, y之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱(chēng)為稱(chēng)為相關(guān)變化率解法三步驟相關(guān)變化率解法三步驟: :找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì)t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率. .0),( yxFtytxdddd和和之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式 代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)第24頁(yè)/共31頁(yè)25例例解解500)()(tantht 2sec 0),( hF (1)(2)則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀

15、察員視線),(t tdd 5001 thdd ,/140dd分分米米 th tdd 仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h 22tan1sec 500, 1tan,500 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)h一氣球從離開(kāi)觀察員500米處離地面鉛直上升,其速率為140米/分. 當(dāng)氣球高度為500米時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少?設(shè)氣球上升t秒后,其高度為h(t),兩邊對(duì)t求導(dǎo)得高度與仰角的關(guān)系第25頁(yè)/共31頁(yè)26水面水面例例橋面高出水面橋面高出水面的速度通過(guò)一座橋的速度通過(guò)一座橋某人以某人以,2sm解解橋面橋面20mxy222220)()()( tytxtz(1)在此人的正

16、下方有一條小船以在此人的正下方有一條小船以,20msm34的速度在的速度在與橋垂直的方向航行與橋垂直的方向航行,求經(jīng)求經(jīng)5s后后,人與小船相分離的人與小船相分離的速度速度.z對(duì)對(duì)t求導(dǎo)求導(dǎo)tyytxxtzzdd2dd2dd2 (2), 2dd tx,10 x,3702032010222 z(3),5時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t,320 y).(2126dd5smtzt 設(shè)經(jīng)t秒鐘后人行走距離為xm,船航行距離為ym,船與人的距離為zm,.34dd ty3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率第26頁(yè)/共31頁(yè)27設(shè)自開(kāi)始充氣以來(lái)的時(shí)間設(shè)自開(kāi)始充氣以來(lái)的時(shí)間t,;34)1(3rV ,)2(求求導(dǎo)

17、導(dǎo)兩兩邊邊對(duì)對(duì)t秒秒立方厘米立方厘米100dd)3( tV解解體積為在t時(shí)刻氣體的半徑為;dd334dd2trrtV 得得),(tVV ),(trr . )(41秒秒厘米厘米 trdd10 r設(shè)氣體以設(shè)氣體以100立方厘米立方厘米/秒的速度注入球狀秒的速度注入球狀的氣球的氣球, 求在半徑為求在半徑為10厘米時(shí)厘米時(shí),氣球半徑增加的速率氣球半徑增加的速率(假定氣體壓力不變假定氣體壓力不變).氣球半徑與體積的關(guān)系第27頁(yè)/共31頁(yè)28四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)后, 再將方程兩邊微分.參數(shù)方程求導(dǎo):將方程兩邊求微分.用公式.相關(guān)變化率:通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)變化率之間的關(guān)系,解法: 三個(gè)步驟.從其