(完整)初中分式講義

1、分式的概念、運算及分式方程、知識框架、知識概念：A1. 分式： 形如 A ， A、B是整式， B中含有字母且 B不等于 0 的整式叫做分式 .其中 A叫做分式的分子， BB 叫做分式的分母 .2. 分式有意義的條件： 分母不等于 0.3. 分式的基本性質： 分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為 0 的整式，分式的值不變 .4. 約分： 把一個分式的分子和分母的公因式 （不為 1 的數(shù)）約去，這種變形稱為約分 .5. 通分： 異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分 .6. 最簡分式 : 一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式，約分時，一般將一個分式化 為最簡分

2、式 .7. 分式的四則運算：abca 同分母分式加減法則： 同分母的分式相加減， 分母不變， 把分子相加減 . 用字母表示為：a c ad cb b d bdc 異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算 . 用字母表示為：分式的乘法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母. 用字母表示為：acacbdbd分式的除法法則：兩個分式相除 , 把除式的分子和分母顛倒位置后再與 被除式相乘 . 用字母表示為：acadadbdbcbcnn 分式的乘方法則：分子、分母分別乘方 . 用字母表示為： aanbbn

3、8. 整數(shù)指數(shù)冪： am an am n（ m、 n是正整數(shù)） amamn（ m、 n是正整數(shù)） ab n anbn（ n是正整數(shù)） am an am n（ a 0， m、 n是正整數(shù)， m n） nn a a （ n 是正整數(shù)） b bnn1 a n n （ a 0 ， n是正整數(shù)） an9. 分式方程的意義 : 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.10. 分式方程的解法 : 去分母 （方程兩邊同時乘以最簡公分母 , 將分式方程化為整式方程 ）; 按解 整式方程的步驟求出未知數(shù)的值 ;驗根 （ 求出未知數(shù)的值后必須驗根 ,因為在把分式方程化為整 式方程的過程中 , 擴大了未知數(shù)的取值范圍 ,

4、 可能產生增根 ）.模塊一 分式的概念例 1】 x 為何值時，分式x 9 有意義？113x鞏固】若分式x216(x 3)(x 4)2若分式 x 16(x有意義，則3）（x 4） 無意義，則解下列不等式： 5 x 0 ； 5 x 2x 3 x 3鞏固】解不等式 x 3 0 ； x4 解不等式 x 3 3 . x4模塊二 分式的運算? 分式的化簡求值裂項【例 2】設 n 為正整數(shù)，求證： 1131 .113 5 . (2n1)(2n 1) 2鞏固】化簡：1 1 . 1x(x 1) (x 1)(x 2) . (x 99)(x100)鞏固】化簡：111112 x2x x 3x 2x2 5x 6x2 7

5、x 12x2 9x 20例 3】 化簡：a2 bc(a b)(a c)鞏固】已知 a，b， c為實數(shù)，且abbcab1，4abcca 1 ，求c a 5 ab bc ca鞏固】化簡： 2 2a b ca2 abac bc2b2 b ab bc ac2cab2c ac bc ab22b ac c ab(b c)(b a) (c a)(c b)? 分式的恒等變形部分分式【例 4】 下面的等式成立： x y 4x 6y 5 (x y A)(x y B)，求 A、 B.鞏固】若代數(shù)式 x(x 1)(x 2)(x 3) p 恰好能分解為兩個二次整式的乘積 (其中二次項系數(shù)均為 1， 且一次項系數(shù)相同 )

6、，則 p 的最大值是.例 8】 若 1 2 3a M N ，求 M 、 N 的值 . a2 1 a 1 a 1鞏固】已知 a 與 b 的和等于 24x ，求 a， b. x 2 x 2x2 4分式恒等證明例 9】 求證：22a2 ab b232a3ab22a2 ab b232a3ab22ab b2 a2ab b22 2 2x y z 1.鞏固】已知 x、 y、 z為三個不相等的實數(shù)，且 x y 1 z 1 ，求證： y z x條件分式求值鞏固】設有理數(shù)a，b，c 都不為 0，且 a b c 0，b222 ca1222c a b2 12 2 的值為 a2 b2 c22例 10】 已知 x，y，z

7、 滿足 235 ，則 5xy 的值為()xyzz x y2zA.1B.1C.1D.1332分式與數(shù)論ba ba ，求這兩個式子。例11】將 a b 寫成兩個因式的積，使它們的和為 ba鞏固】求最大的正整數(shù) n ，使得 n3 100能被 n 10整除。模塊三 分式的方程? 解分式方程2x 3x2xx41122x 2x 823xx 13 x 89x12例 5】 解方程：鞏固】解方程：12x 10 x 2912x 10 x 452鞏固】解方程：2x 11x 8? 分式方程的增根及根的討論例 12】 已知關于 x 的方程 * x 1x32 m 有一個正整數(shù)解，求 m 的取值范圍x3鞏固】當 m 為何值

8、時，關于 x的方程 x 1 x x m 的解為負數(shù)？x 2 x 3 （x 2）（x 3）鞏固】關于 x 的方程 1x2x22 m 的解也是不等式組 x2 41x的一個解，求m 的取值范圍2( x 3) x 8一元一次分式方程的應用例 13】 為響應低碳號召，李老師上班的交通方式由開汽車改為騎自行車李老師家距學校10 千米，由于汽車的速度是自行車速度的 4 倍，所以李老師每天比原來提前 30 分鐘出發(fā)，才能按原來的時 間到校，求李老師騎自行車的速度鞏固】為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產的 1200 件新產品進行精加工后再投放市場現(xiàn) 有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到

9、這兩間工廠了解情況，獲得如下信 息： 信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10 天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的 1.5 倍 根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？200 天貫通為了公路早日通車，由B隊單獨施工，需要多少天才能貫通？A，B 兩隊同時施鞏固】某鐵路有一隧道，由 A 隊單獨施工，預計 工，結果 120 天就貫通了試問：如果由二元一次分式方程的應用例 14】 “端午 ”節(jié)前，第一次爸爸去超市購買了大小、質量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透 明的盒中，此時隨機取出火腿粽子的概率為1 ；媽媽發(fā)現(xiàn)小亮喜歡吃的火

10、腿粽子偏少，第二次媽媽又3去買了同樣的 5 只火腿粽子和 1 只豆沙粽子放入同一盒中，這時隨機取出火腿粽子的概率為1 2 （1）請計算出第一次爸爸買的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（ 2）若媽媽從盒中取出火腿粽子4 只、豆沙粽子 6 只送爺爺和奶奶后，再讓小亮從盒中不放回地任取 2只，問恰有火腿粽子、豆沙粽子各1 只的概率是多少？（用字母和數(shù)字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法計算）鞏固】內江市對城區(qū)沿江兩岸的部分路段進行亮化工程建設，整個工程擬由甲、乙兩個安裝公司共同完 成從兩個公司的業(yè)務資料看到：若兩個公司合做，則恰好用12天完成；若甲、乙合做 9 天后，由甲再單獨做 5天也恰好完成 如果每

11、天需要支付甲、 乙兩公司的工程費用分別為 1.2 萬元和 0.7 萬元試問：（1）甲、乙兩公司單獨完成這項工程各需多少天？（ 2）要使整個工程費用不超過 22.5 萬元，則乙公司最少應施工多少天？鞏固】用大、小兩種貨車運送 360 臺機械設備，有三種運輸方案方案 1：設備的 12用大貨車運送，其余用小貨車運送，需要貨車27 輛；方案 2：設備的 13用大貨車運送，其余用小貨車運送，需要貨車28 輛；方案 3：設備的 23用大貨車運送，其余用小貨車運送，需要貨車26 輛；（1）每輛大、小貨車各可運送多少臺機械設備？（2）如果每輛大貨車的運費比每輛小貨車的運費高m%（m 0），請你從中選擇一種方案

12、，使得運費最低，并說明理由? 分式方程組解分式方程組的關鍵就是利用換元法或者倒數(shù)法，將復雜的分式方程組轉化為整式方程組，然后利用解整x, y, z的解式方程組的方法進行求解，得到換元后的未知數(shù)的值，代入后得到1x2 y31 z例 15】 解 方程組：2491xyz4692xyz661x鞏固】解方程組 xy2833xy10 鞏固】解方程組：5x17x14y232y220例 16】 解 方程2a21 a22b21 b22c21 c2bc ，其中 a 0 ， b 0 ， c 0 a鞏固】解方程組xy檢測：【練習練習 1】解方程 2 1 2 1 2x2 x 2 x2 7x 10化簡：a b b c c

13、 a(c a)(c b) (b a)(a c) (b c)(b a)練習若對于 3以外的一切數(shù)，mnx3x328x 均成立，求 mn . x2 9練習若關于 x的恒等式 M2x N 2 c 中， M2 x N 為最簡分式，且有 ax2 x 2 x a x bx2 x 2求 N.b， a b c，練習若 x a b ， y b c ， z c a ，求證： (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 a b b cc az)練習解方程組：xy x 2 xy1 xz 2x3xz2 (y 1)(z 2)4y z 3課后作業(yè)1. 解方程x6x123x2 10x 42x 3x 22x 1x

14、22. 解方程x1x2x5x63. 將 26 化為部分分式 x2 94. 若 a x 12 1 1 b(xy 2)2，且 ab 0，求xy (x 1)(y 1)的值(x 2007)( y 2007)5. 若 abc 1 ，求證：abc1 a ab 1 b bc 1 c ca6. 解方程組：y34500章節(jié)復習1 填空：1）當x 時，分式有意義。 （ 2）當 x3）當b時，分式有意義。4）當x 、y 滿足關系時，分式 有意義時，分式 有意義2 x）C 、2x2 yD22yxyxy）x、y1yC 、9bx226a 322、 x2 y22xy3b D2a 1xabxybay）ab3225a2b2a2

15、 4a42a2；（4）2c2； （3）4cda2 2a12 a；415x-15y 15x-30y x-2yB） 3x+5y（ C） 6x+10y（ D） 5x+3y3649 m2 m2 7m2 下列變形正確的是（）（A） a b a b （B）aba b （ C）11 （ D） ababa b a baba b a ba b baba列各分式中，最簡分式是（A、 34x yB 、 y285 x y x3 下列約分正確的是（A 、 m 1 m Bm 3 312 x-y將分式 2 的分子和分母中的各項系數(shù)都化為整數(shù)，應為（ xy+53x-2y（A）3x+5y4 計算：（1） 4x y ； （2）3

16、3y 2x35 計算：2x 3 x-2a2b 2a2b 32a c 2（ 1） 5x-3 25x2-9 5x+3（2） （ -23ac2b ） 2 （3） （-cd3 ） d2a3 （2ca ）6 計算：5x+3y2x（1）x2-y2 x2-y2(2)2a 2 1ab(3) ( )2(4)b a bb411+2p+3q 2p-3qx1(x2x1)2x1(x1x17 計算： x2 y 3(x 1y)38 解方程 23 3x1 156x 29 一艘輪船在靜水中的最大航速為 20千米/ 時，它沿江以最大航速順流航行 100千米所用的 時間，與以最大航速逆流航行 60 千米所用時間相等，江水的流速為多

17、少？真題演練1下列各式與 xxy 相等的是（y）A. (x y) 5B. 2x yC.(x y)2 D.C. 2 2 (x y) D.(x y) 52x yxy2解分式方程 236+ = 2 ，下列四步中，錯誤的一步是x 1 x 1 x 122 xy22x2 y2)A 方程兩邊分式的最簡公分母是 x2-1;B 方程兩邊都乘以（ x2-1 ），得整式方程 2（x-1 ）+3（x+1） =6;C解這個整式方程得： x=1D原方程的解為 x=1;3若 2x 5 的值為-1,則 x 的值等于（）x25B.5C.7D. -7A. -333354分式方程 53x =2 的解為 （)x11xAx=4Bx=3

18、Cx=0D無解5、甲隊在 m 天內挖水渠 a米，乙隊在 n天內挖水渠 b米，兩隊一起挖水渠 s米，需要的天數(shù)sm snsmnsab為（ ）A 、 a b B 、 an bm C 、 an bm D 、以上均不對6、某大隊要筑一條水壩，需要在規(guī)定日期內完成如果由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，需要超過規(guī)定日期三天，現(xiàn)由甲、乙兩隊合作 2 天后，余下的工程由乙隊獨自去做，恰好在規(guī)定日期內完成，求規(guī)定日期為 x ，下面所列的方程中，正確的是（7892A、 xxx33x3(1x C、 xx13)xx3xx3x關于 x 的方程 x 7k7x有增根,則k 的值為2x2 x 22若分式 x 3x 2 的值為零，則 x的取值范圍是2x當_110若 x11已知時，分式 2x 3 的值為正數(shù)1 2,則分式 3x- 2xy-3yyx+4xy- y 的值是x 1 y