線性系統(tǒng)理論大作業(yè)

1、目錄題目一2（一）狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)設(shè)計2(1)建立被控對象的狀態(tài)空間模型，并判斷系統(tǒng)性質(zhì)2(2)狀態(tài)反饋增益矩陣和積分增益常數(shù)的設(shè)計4(3)全維觀測器設(shè)計6(4)如何在閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)中增加限流環(huán)節(jié)8（二）二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋控制和按負(fù)載擾動前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計8(1)線性二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋設(shè)計8(2)降維觀測器設(shè)計13題目二15(1)判斷系統(tǒng)是否存在最優(yōu)控制律15(2)非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制設(shè)計和仿真分析16(3)權(quán)矩陣的各權(quán)值對動態(tài)性能影響分析17題目一（一）狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)設(shè)計(1)建立被控對象的狀態(tài)空間模型，并判斷系統(tǒng)性質(zhì) 1)畫出與題目對應(yīng)的模擬

2、結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示：圖1 原始系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖取狀態(tài)變量為=n，=，=，控制輸入u=將已知參數(shù)代人并設(shè)輸出y=n=，得被控對象的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中，2)檢查被控系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)判斷系統(tǒng)能控性、能觀性、穩(wěn)定性程序如下：A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235;B=0;0;23529.41;C=1 0 0;Qc=ctrb(A,B);Qo=obsv(A,C);L=length(A);if rank(Qc)=L disp(系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控);else disp(系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控);end if rank(Qo)=L disp(系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀);

3、else disp(系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀);end disp(eig(A)%利用A的特征值判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性運(yùn)行結(jié)果：系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀 1.0e+02 * -0.0893 + 0.0820i -0.0893 - 0.0820i -5.8823 + 0.0000i 由于矩陣A全部特征值均具有負(fù)實(shí)部，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。原系統(tǒng)設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0，輸入為階躍信號，系統(tǒng)simulink仿真如下：圖2 原始開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖圖3 原始開環(huán)系統(tǒng)仿真分析：由系統(tǒng)仿真圖可以看出，調(diào)節(jié)時間大于0.5s，不滿足性能指標(biāo)。(2)狀態(tài)反饋增益矩陣和積分增益常數(shù)的設(shè)計由于原系統(tǒng)能控，可以使用狀態(tài)反饋。為滿足設(shè)計

4、指標(biāo)，采用狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)。因增廣系統(tǒng)能控，故可采用線性狀態(tài)反饋控制律。將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置到復(fù)平面左半開平面的任意期望位置且可消除階躍擾動及階躍參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。式中：，為系統(tǒng)參考輸入。由經(jīng)典控制理論，閉環(huán)極點(diǎn)為的欠阻尼二階線性定常系統(tǒng)的超調(diào)量及調(diào)節(jié)時間為，。系統(tǒng)需滿足，計算可得，取，設(shè)計指標(biāo)的期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對為。選擇2個期望的閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸為主導(dǎo)極點(diǎn)5倍以上，取，據(jù)期望閉環(huán)極點(diǎn)，采用MATLAB極點(diǎn)配置函數(shù)可求出增廣系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益陣，程序如下：A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235;B=0;0;235

5、29.41;C=1 0 0;Az=A 0;0;0;-C 0;Bz=B;0;Cz=C 0;P=-8.4+j*8.57;-8.4-j*8.57;-50;-50;Km=acker(Az,Bz,P);K=Km(1,1),Km(1,2),Km(1,3),-Km(1,4)運(yùn)行程序可得：系統(tǒng)simulink仿真如下：圖4 狀態(tài)反饋加積分器校正系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖圖5 狀態(tài)反饋加積分器校正系統(tǒng)仿真由圖可知，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間，滿足要求。圖6 加負(fù)載擾動后系統(tǒng)狀態(tài)反饋加積分器校正系統(tǒng)仿真0時刻擾動，最終系統(tǒng)穩(wěn)定在1，因此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0。(3)全維觀測器設(shè)計由于系統(tǒng)能觀，可以使用狀態(tài)觀測器。，新系統(tǒng)的特征根為：-61，基

6、于通常選擇觀測器的響應(yīng)速度比所考慮的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)快2-5倍這一經(jīng)驗(yàn)規(guī)則，取觀測器期望極點(diǎn)為：-150，-60，-70。應(yīng)用MATLAB極點(diǎn)配置函數(shù)求解新系統(tǒng)全維觀測器，程序如下：A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;-38.8235 -88.9412 -98.8233;B=0;0;23529.41;C=1 0 0;P=-150;-60;-70;Gt=acker(A,C,P);%求對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益陣GG=Gt;%求系統(tǒng)的觀測器偏差反饋增益矩陣G運(yùn)行程序可得：。帶觀測器的狀態(tài)反饋加積分調(diào)節(jié)系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)圖如下：圖7 帶觀測器的狀態(tài)反饋加積分器校正系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

7、圖8 系統(tǒng)加全維觀測器波形圖圖9 全維觀測器波形圖由仿真圖可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，動態(tài)誤差滿足超調(diào)量,調(diào)節(jié)時間的要求。狀態(tài)估計誤差收斂速度與狀態(tài)觀測器極點(diǎn)的配置有關(guān)。一般而言狀態(tài)觀測器極點(diǎn)在復(fù)平面的左半開平面距離虛軸距離越遠(yuǎn)，則估計誤差收斂速度越快。但是，觀測器響應(yīng)速度過快會產(chǎn)生大量噪聲，影響系統(tǒng)的正常工作故不宜取值過大。綜合工程實(shí)際出發(fā)，一般取為比狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)快25倍。(4)如何在閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)中增加限流環(huán)節(jié)從加快啟動電動機(jī)的角度來看，閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)應(yīng)允許有較大的啟動電流，而造成堵轉(zhuǎn)的故障消失后，系統(tǒng)電流應(yīng)能自動恢復(fù)正常。所以常規(guī)的熔斷器或過流繼電器在這里均不能作為限流保護(hù)措施。因?yàn)樗鼈兪?/p>

8、通過切斷電路來保護(hù)設(shè)備的，雖然能起到保護(hù)作用，但故障消失后，系統(tǒng)無法自動恢復(fù)正常。為了充分利用設(shè)備的過流能力，又保證設(shè)備的安全運(yùn)行，電流截止負(fù)反饋則可以限制電流的大小。電流截止負(fù)反饋的作用是：當(dāng)電樞電流大于某一截止值時，電流負(fù)反饋起作用，限制電流不能過大。當(dāng)電樞電流小于截止值時，電流反饋被截止，對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行不產(chǎn)生影響。電動機(jī)啟動時，因?yàn)殡娏鹘刂关?fù)反饋?zhàn)饔?，從而限制啟動電流。正常工作時，電流截止負(fù)反饋?zhàn)饔煤苄?。電動機(jī)發(fā)生堵轉(zhuǎn)時，由于電流截止負(fù)反饋的作用，使Ud大大下降，因而使Ia不致過大。允許的堵轉(zhuǎn)電流一般為電動機(jī)額定電流的22.5倍。系統(tǒng)工作在額定值時，由于電流截止負(fù)反饋起作用，從而保證系

9、統(tǒng)設(shè)備的安全。電流截止負(fù)反饋如圖所示：圖10 電流截止負(fù)反饋結(jié)構(gòu)圖（二）二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋控制和按負(fù)載擾動前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計(1)線性二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋設(shè)計1)判斷系統(tǒng)是否存在最優(yōu)控制律要使系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有良好的動、靜態(tài)特性，可按非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制律設(shè)計，即，由于輸入維數(shù)和輸出維數(shù)相等，所以。由于系統(tǒng)完全能控，因此，最優(yōu)控制存在。最優(yōu)控制性能指標(biāo)為：，其中Q為狀態(tài)加權(quán)系數(shù)矩陣，R為控制加權(quán)系數(shù)矩陣。2)非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制設(shè)計和仿真分析由圖可知，系統(tǒng)輸出響應(yīng)發(fā)散，可引入最優(yōu)控制。選取設(shè)，R=1。程序如下：A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0

10、 -588.235;B=0;0;23529.41;C=1 0 0;D=0;R=1;Q=100 0 0;0 1 0;0 0 1; K=lqr(A,B,Q,R);ac=A-B*K;W=inv(-C/(A-B*K)*B);bc=B*W;cc=C;dc=D;step(ac,bc,cc,dc);grid運(yùn)行結(jié)果如下：，。 圖11 非零給定點(diǎn)最優(yōu)控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3)權(quán)矩陣的各權(quán)值對動態(tài)性能影響分析a)固定控制加權(quán)系數(shù)矩陣R=1，且另、都為1，取不同值時，研究非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制仿真曲線。程序如下：a_color=r,g,b,y,c, m,k;A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27

11、.056;0 0 -588.235;B=0;0;23529.41;C=1 0 0;D=0;R=1;syms Q q11;N=1 100,200,500,1000,10000;syms i K;for i=1:6 q11=N(i); Q=q11 0 0;0 1 0;0 0 1 K=lqr(A,B,Q,R); ac=A-B*K; W=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*W; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),

12、sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5) ,sys(6),a_color(6);grid結(jié)果曲線如下：圖12 取不同值時二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋曲線紅色：，綠色：，藍(lán)色：，黃色：，藍(lán)綠色：，紫紅。由圖可知，隨著的增大，調(diào)節(jié)時間減少；如果過大，超調(diào)量會增大。b)固定控制加權(quán)系數(shù)矩陣R=1， 、分別取相同值時，研究非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制仿真曲線。程序如下：a_color=r,g,b;A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235;B=0;0;23529.41;C=1 0 0;D=0;R=1;syms Q q11 q22 q33

13、;for i=1:3 q11=1; q22=1; q33=1; Q=q11 0 0;0 q22 0;0 0 q33; Q(i,i)=100; K=lqr(A,B,Q,R); ac=A-B*K; W=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*W; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);endfigure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3);grid結(jié)果曲線如下：圖13 、分別取相同值時二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋曲線紅色：，綠色：，藍(lán)色：。由圖可知，時，調(diào)節(jié)時間最小，系統(tǒng)動態(tài)性能比

14、另外兩個好。c)當(dāng)狀態(tài)加權(quán)系數(shù)矩陣Q不變，控制加權(quán)系數(shù)矩陣R取不同值時。研究非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制仿真曲線。程序如下：a_color=r,g,b,y,c;A=0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235;B=0;0;23529.41;C=1 0 0;Q=100 0 0;0 1 0;0 0 1;D=0;syms R;N=1,100,1000,1500,10000;for i=1:5 R=N(i); K=lqr(A,B,Q,R); ac=A-B*K; W=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*W; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(a

15、c,bc,cc,dc);endfigure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5);grid結(jié)果曲線如下：圖14 R取不同值時二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋曲線由圖可知，R越大時，調(diào)節(jié)時間也越大。(2)降維觀測器設(shè)計由于平穩(wěn)變化，、均可準(zhǔn)確測量，對負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行估計的降維觀測器的設(shè)計需要對原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行變化參考文獻(xiàn)3，系統(tǒng)增廣矩陣的狀態(tài)方程可寫成：，。參考文獻(xiàn)1，將直接可測的與不能直接可測的狀態(tài)變量分開：,。式中，。需要設(shè)計一維觀測器重構(gòu)。設(shè)降維觀測器的

16、反饋陣。則降維觀測器特征多項(xiàng)式為：。選擇降維觀測器期望極點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)的2-5倍,取，則可得。引入降維觀測器狀態(tài)方程：引入非零給定點(diǎn)最優(yōu)控制，如：，。選取比例調(diào)節(jié)的前饋補(bǔ)償：。降維觀測器仿真如下：圖15 降維觀測器仿真結(jié)構(gòu)圖圖16 降維觀測器無擾動時仿真波形圖17 降維觀測器1s擾動時仿真波形題目二(1)判斷系統(tǒng)是否存在最優(yōu)控制律要使系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有良好的動、靜態(tài)特性，可按非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制律設(shè)計，即，由于輸入維數(shù)和輸出維數(shù)相等，所以。由于系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)型，所以系統(tǒng)完全能控，因此，最優(yōu)控制存在。最優(yōu)控制性能指標(biāo)為：，其中Q為狀態(tài)加權(quán)系數(shù)矩陣，R為控制加權(quán)系數(shù)矩陣。(2)非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制設(shè)計

17、和仿真分析原系統(tǒng)動態(tài)仿真模型如下：圖18 原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖圖19 原系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)由圖可知，系統(tǒng)輸出響應(yīng)發(fā)散，可引入最優(yōu)控制。選取設(shè)，R=1。程序如下：A=0 1 0;0 0 1;0 -18 -8;B=0;0;1;C=1 0 0;R=1;Q=100 0 0;0 1 0;0 0 1; K=lqr(A,B,Q,R);W=inv(-C/(A-B*K)*B);運(yùn)行結(jié)果如下：，。非零給定點(diǎn)最有控制系統(tǒng)動態(tài)仿真模型如下：圖20 非零給定點(diǎn)最有控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖圖21 非零給定點(diǎn)最優(yōu)控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(3)權(quán)矩陣的各權(quán)值對動態(tài)性能影響分析1)固定控制加權(quán)系數(shù)矩陣R=1，且另、都為1，取不同值時，研究非零給定

18、點(diǎn)的最優(yōu)控制仿真曲線。程序如下：a_color=r,g,b,y,c,k;A=0 1 0;0 0 1;0 -18 -8;B=0;0;1;C=1 0 0; D=0;R=1;syms Q q11;N=100,200,500,1000,10000;syms i K;for i=1:5 q11=N(i); Q=q11 0 0;0 1 0;0 0 1 K=lqr(A,B,Q,R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);end figure(1)step(sys(1),a_color(1),s

19、ys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5);grid結(jié)果曲線如下：圖22 取不同值時二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋曲線紅色：，綠色：，藍(lán)色：，黃色：，藍(lán)綠色：。由圖可知，隨著的增大，調(diào)節(jié)時間減少；如果過大，超調(diào)量會增大。2) 固定控制加權(quán)系數(shù)矩陣R=1， 、分別取相同值時，研究非零給定點(diǎn)的最優(yōu)控制仿真曲線。程序如下：a_color=r,g,b;A=0 1 0;0 0 1;0 -18 -8;B=0;0;1;C=1 0 0; D=0;R=1;syms Q q11 q22 q33;for i=1:3 q11=1; q22=1; q33=1; Q=q11 0 0;0 q22 0;0 0 q33; Q(i,i)=100; K=lqr(A,B,Q,R); ac=A