代數(shù)式的恒等變形

1、代數(shù)式的恒等變形一、常值代換求值法“1”的妙用例1 、 已知ab=1，求的值解 把a(bǔ)b=1代入，得 = = =1例2 、已知xyzt=1，求下面代數(shù)式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用條件將某些項(xiàng)的形式變一變解 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時(shí)乘以一個(gè)不為零的式子，分式的值不變利用已知條件，可將前三個(gè)分式的分母變?yōu)榕c第四個(gè)相同同理練習(xí)：二、配方法例1、 若實(shí)數(shù)a、b滿足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求之值。解 a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2)=(ab-1)2+(a-b)2則有(ab-1)2+(a-b)2=0解得 當(dāng)a=1，b

2、=1時(shí)，=1+1=2當(dāng)a=-1，b=-1時(shí)，=1+1=2例1設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和，其形式是_.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式為(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2 設(shè)x、y、z為實(shí)數(shù)，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 將條件化簡成2x2+2y2+

3、2z2-2xy-2x2-2yz=0 (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 x=y=z,原式=1.練習(xí)：求證：三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d證 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因?yàn)?a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)

4、，所以a+b0，c+d0，所以ab，c=d所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以ac故a=bc=d成立例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b之值解 |a|+|b|=|ab|+1|a|b|-|a|-|b|+1=0(|a|-1)(|b|-1)=0|a|=1 |b|=1a=1或b=1.則當(dāng)a=1，b=1時(shí)，a+b=2當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，a+b=0當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，a+b=0當(dāng)a=-1，b=-1時(shí)，a+b=-2評(píng)注 運(yùn)用該法一般有兩種途徑求值，一是將已知條件變形為一邊為0，另一邊能分解成幾個(gè)因式的積的形式，運(yùn)用“若ab=0，則a=0或b=0”的思想來解決問題。另一

5、種途徑是對(duì)待求的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，分解成含有已知條件的代數(shù)式，然后再將已知條件代入求值。練習(xí)：證：四.換元例4 設(shè)a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c則p+q+r=0.p3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0練習(xí)：求證：2比較法a=b(比商法)這也是證明恒等式的重要思路之一 例3 求證： 分析 用比差法證明左-右=0本例中，這個(gè)式

6、子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)具有這種特性的式子叫作輪換式利用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡化證 因?yàn)樗运哉f明 本例若采用通分化簡的方法將很繁像這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧全不為零證明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)同理所以 所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)3分析法與綜合法證 要證 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要證a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證練習(xí)：4.設(shè)參當(dāng)已知條件以連比的形