分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法

1、 分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法【專題解析】我們知道，分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算是這樣的：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，應(yīng)該分子乘分子，分母乘分母（當(dāng)然能約分的最好先約分在計(jì)算）。分?jǐn)?shù)乘法中有許多十分有趣的現(xiàn)象與技巧，它主要通過些運(yùn)算定律、性質(zhì)和一些技巧性的方法，達(dá)到計(jì)算正確而迅速的目的。1、運(yùn)用運(yùn)算定律：這里主要指乘法分配律的應(yīng)用。對(duì)于乘法算式中有因數(shù)可以湊整時(shí)，一定要仔細(xì)分析另一個(gè)因數(shù)的特點(diǎn)，盡量進(jìn)行變換拆分，從而使用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。2、充分約分：除了把公因數(shù)約簡(jiǎn)外，對(duì)于分子、分母中含有的公因式，也可直接約簡(jiǎn)為1。進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察運(yùn)算符號(hào)和數(shù)字特點(diǎn)，合理進(jìn)行簡(jiǎn)算。需要注意的是參加運(yùn)算的數(shù)必須變形

2、而不變質(zhì)，當(dāng)變成符合運(yùn)算定律的形式時(shí)，才能使計(jì)算既對(duì)又快?！镜湫屠}】乘法分配律的妙用例1計(jì)算：（1）37 （2）2004分析與解：觀察這兩道題的數(shù)字特點(diǎn)，第（1）題中的與1只相差1個(gè)分?jǐn)?shù)單位，如果把寫成（1）的差與37相乘，再運(yùn)用乘法分配律可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。同樣，第（2）題中可以把整數(shù)2004寫成（2003+1）的和與相乘，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比較簡(jiǎn)便?！九e一反三】 計(jì)算：（1）37 （2）37 （3）56例2計(jì)算：（1）72 （2）73 分析與解：（1）72把改寫成(72 +)，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。（2）73把改寫成(72 +)，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要

3、簡(jiǎn)便得多?！九e一反三】 計(jì)算：（1）20 （2）16 （3） （4）64【小試牛刀】計(jì)算：（1）37 （2）28 【典型例題】乘法交換律的巧用例3. 計(jì)算：（1） （2）39 +25 +分析與解：（1）觀察題目的特點(diǎn)，分子中都有5，分母中都有27，根據(jù)乘法的交換律，湊出，就可以應(yīng)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。 （2）觀察題目的特點(diǎn)，39可以寫成13，可以寫成，這樣每個(gè)因數(shù)中都含有，就可以運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。【舉一反三】 計(jì)算：（1） （2） （3）39 +27 （4）17 +25【典型例題】有關(guān)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)乘法的巧算例4. 計(jì)算：410.75 51.25 61.2 分析與解：先把題中的小

4、數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再觀察題目的特點(diǎn)，41寫成（40+）后可以與應(yīng)用乘法分配律直接就算出了結(jié)果，后兩個(gè)算式同樣可以應(yīng)用這個(gè)方法，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便?！九e一反三】 計(jì)算：（1）21.2531.246.125 （2）850.3757156.250.8一、 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和【專題解析】細(xì)心觀察、善于總結(jié)的同學(xué)，在學(xué)習(xí)中可能發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象：如果分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母是相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母分別是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)。（這種方法稱為“裂項(xiàng)法” ）如：；我們可以利用分?jǐn)?shù)的這一性質(zhì)，使看似復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化?！镜湫屠}】例1計(jì)算：+ 分析與解

5、：這道題如果按照常規(guī)方法先通分再求和，計(jì)算起來很繁雜，甚至難以做到。但是如果巧妙地對(duì)算式變形，就可以使繁雜的計(jì)算簡(jiǎn)便?！九e一反三】 計(jì)算：（1）+（2）+ 例2計(jì)算： + 分析與解：上面這道題中的每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，但分母并不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積，該怎么辦呢？仔細(xì)觀察這些分?jǐn)?shù)的分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)：623 , 1234 , 2045 ，24504950。這樣，上面算式中分?jǐn)?shù)的分母也可以寫成相鄰兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式。【舉一反三】 計(jì)算：（3）+ （4）+例3. 計(jì)算：+ 分析與解：這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都可以寫成不相鄰的兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式，分子是這兩個(gè)自然數(shù)的差。這樣每一個(gè)分?jǐn)?shù)也都可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式，寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母分別是原分?jǐn)?shù)中分母上的兩個(gè)自然數(shù)。如：；等等?！九e一反三】計(jì)算：（5）+ （6）+例4. 計(jì)算：+ 分析與解：是不是覺得本題和例3有些相似，但又不完全一樣？例3中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是4（兩個(gè)自然數(shù)的差），而這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，可以直接將每一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式嗎？該怎么計(jì)算呢？這就啟發(fā)我們思考，能否將每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子也變成兩個(gè)自然數(shù)的差呢？利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是完全可以的。所以給原題乘4，為了使原題的值不變，然后再除以4.【舉一反三】計(jì)算：（7）