2022高考數(shù)學一輪復習第四章三角函數(shù)解三角形4.3三角函數(shù)的圖象與性質學案文含解析新人教A版

1、4.3三角函數(shù)的圖象與性質必備知識預案自診知識梳理1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)正弦函數(shù)y=sin x,x0,2的圖象中,五個關鍵點:(0,0),2,1,(,0),32,-1,(2,0).(2)余弦函數(shù)y=cos x,x0,2的圖象中,五個關鍵點:(0,1),2,0,(,-1),32,0,(2,1).2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x圖象定義域rr值域r周期性2奇偶性奇函數(shù)單調遞增區(qū)間2k-2,2k+2(kz)k-2,k+2(kz)單調遞減區(qū)間2k+2,2k+32(kz)對稱中心(k,0)(kz)k+2,0(kz)k2,0(

2、kz)對稱軸x=k(kz)(x=k)3.三角函數(shù)的周期函數(shù)y=asin(x+)和y=acos(x+)(xr,其中a,為常數(shù),且a0,0)的周期均為t=2;函數(shù)y=atan(x+)xr,且x+2+k,kz,其中a,為常數(shù),且a0,0的周期為t=.1.對稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14周期;正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.2.輔助角公式:asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中tan =ba(a,b都不為零).考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)y=cos

3、x在第一、第二象限內是單調遞減的.()(2)若y=ksin x+1,xr,則y的最大值是k+1.()(3)若非零實數(shù)t是函數(shù)f(x)的周期,則kt(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.()(4)函數(shù)y=sin x圖象的對稱軸方程為x=2k+2(kz).()(5)函數(shù)y=tan x在整個定義域上是增函數(shù).()2.(2020北京房山二模,3)函數(shù)f(x)=sin xcos x的最小正周期為()a.1b.2c.d.23.(2020山東淄博一模,5)函數(shù)f(x)=sin(x+)在0,上單調遞增,則的值可以是()a.0b.2c.d.324.設函數(shù)f(x)=sinmx-6,若點73,0是函數(shù)f(x)圖象

4、的對稱中心,則實數(shù)m等于()a.1314b.67c.17d.-1145.當0x時,使tan x0),y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于,則f(x)的單調遞增區(qū)間是()a.k-12,k+512,kzb.k+512,k+1112,kzc.k-3,k+6,kzd.k+6,k+23,kz(2)(2020湖南湘潭三模,文10)已知函數(shù)f(x)=2sin x(0)在xa,2(a0)的形式,然后求y=asin(x+)的單調區(qū)間,只需把(x+)看作一個整體代入y=sinx的相應單調區(qū)間內即可,注意要把化為正數(shù).2.已知函數(shù)在某區(qū)間上單調求參數(shù)的取值范圍的解法:先確定出已知函數(shù)的單調區(qū)間,再

5、利用已知的單調區(qū)間為函數(shù)的單調區(qū)間的子集的關系求解.對點訓練3(1)若函數(shù)f(x)=sin x(0)在區(qū)間0,3上單調遞增,在區(qū)間3,2上單調遞減,則等于()a.23b.32c.2d.3(2)函數(shù)f(x)=sin-2x+3的單調遞減區(qū)間為.考向2三角函數(shù)的周期及其應用【例4】(1)(2020全國1,文7)設函數(shù)f(x)=cosx+6在-,的圖象大致如右圖,則f(x)的最小正周期為()a.109b.76c.43d.32(2)若函數(shù)f(x)=2tankx+3的最小正周期t滿足1t0)圖象的一個對稱中心為m9,0,距離點m最近的一條對稱軸為直線x=518,則=.解題心得三角函數(shù)圖象的對稱性包括軸對稱

6、和中心對稱,求三角函數(shù)f(x)=asin(x+)(0)圖象的對稱軸及對稱中心,要把(x+)看作一個整體,若求f(x)的對稱軸,只需令x+=2+k(kz),求x;若求f(x)的對稱中心,只需令x+=k(kz),求x;對于f(x)=acos(x+),若求f(x)的對稱軸,只需令x+=k(kz),求x;若求f(x)的對稱中心,只需令x+=2+k(kz),求x.對點訓練5(1)(2020湖北武漢調研)設函數(shù)f(x)=sin12x+-3cos12x+|2的圖象關于y軸對稱,則=()a.-6b.6c.-3d.3(2)(2020河北衡水中學三模,理15)已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+)的圖象關于點38,

7、0對稱,且f40,|0,0)是r上的偶函數(shù),其圖象關于點m34,0對稱,且在區(qū)間0,2上是單調函數(shù),則=,=.解題心得1.已知三角函數(shù)的周期性、奇偶性判斷其單調性的基本思路:根據(jù)給出的三角函數(shù)的周期性、奇偶性求出三角函數(shù)式中的參數(shù),然后把三角函數(shù)式化成y=asin(x+)或y=acos(x+)的形式再判斷其單調性.2.有關三角函數(shù)性質的綜合性問題,要注重結合函數(shù)圖象,通過數(shù)形結合求解.對點訓練6(1)(2020河北武邑中學三模,10)已知x0=6是函數(shù)f(x)=cos2-3xcos +cos 3xsin 的一個極小值點,則f(x)的一個單調遞增區(qū)間是()a.6,2b.-3,6c.2,56d.3

8、,23(2)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)0,|0)的形式.2.對于函數(shù)的性質(定義域、值域、單調性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t=x+,將其轉化為研究y=sint的性質.3.正弦函數(shù)、正切函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù);正弦函數(shù)y=sinx圖象的對稱軸是x=k+2,kz,對稱中心為(k,0),kz,余弦函數(shù)y=cosx圖象的對稱軸是x=k,kz,對稱中心為2+k,0,kz,即正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于x軸的直線,對稱中心是圖象與x軸的交點;正切函數(shù)圖象沒有對稱軸,其對稱中心為k2,0,kz.1.求三角函數(shù)的單調區(qū)間時,當單調區(qū)間有無窮多個時,注

9、明kz.2.求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.4.3三角函數(shù)的圖象與性質必備知識預案自診知識梳理2.xxr,且xk+2,kz-1,1-1,122奇函數(shù)偶函數(shù)2k-,2k(kz)2k,2k+(kz)考點自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.af(x)=sinxcosx=12sin2x,故周期t=22=1.故選a.3.d當=0時,f(x)=sinx在0,上不單調,故a不正確;當=2時,f(x)=cosx在0,上單調遞減,故b不正確;當=時,f(x)=-sinx在0,上不單調,故c不正確;當=32時,f(x)=-cosx在0,上單調遞增,故d正

10、確.故選d.4.a點73,0是函數(shù)f(x)圖象的對稱中心,73m-6=k,kz,即73m=k+16,kz,則m=3k7+114,kz,當k=0時,m=114,k=1時,m=12,k=2時,m=1314,故選a.5.2,34由正切函數(shù)的圖象知,當0x時,若tanx-1,則2x34,即實數(shù)x的取值范圍是2,34.關鍵能力學案突破例1(1)xx4+k,且x2+k,kz(2)x2k0,cosx-120,即sinx0,cosx12,解得2kx+2k(kz),-3+2kx3+2k(kz),所以2kx3+2k(kz),所以函數(shù)的定義域為x2k0,9-x20,得kxk+2,kz,-3x3,解得-3x-2或0x

11、0)過原點,當0x2,即0x2時,y=sinx單調遞增;當2x32,即2x32時,y=sinx單調遞減.由f(x)=sinx(0)在區(qū)間0,3上單調遞增,在區(qū)間3,2上單調遞減知,2=3,=32.(2)求函數(shù)f(x)=sin-2x+3的單調遞減區(qū)間,只需求f(x)=sin2x-3的單調遞增區(qū)間.由2k-22x-32k+2,kz,得k-12xk+512,kz.故所給函數(shù)的單調遞減區(qū)間為k-12,k+512(kz).例4(1)c(2)2或3(1)由題圖知f-49=cos-49+6=0,所以-49+6=2+k(kz),化簡得=-3+9k4(kz).因為t22t,即2|24|,所以1|2,解得-119

12、k-79或19k59.又kz,當且僅當k=-1時,1|2.所以=32,最小正周期t=2|=43.(2)由題意知1k2,即k2k.解得2k,又kn,所以k=2或k=3.對點訓練4ay=cos|2x|=cos2x,該函數(shù)為偶函數(shù),最小正周期t=22=;將函數(shù)y=cosx在x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosx|的圖象,該函數(shù)的最小正周期為122=;函數(shù)y=cos2x+6的最小正周期為t=22=;函數(shù)y=tan2x-4的最小正周期為t=2.綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為.故選a.例5(1)c(2)3(1)因為函數(shù)f(x)=asinx+cosx(a為常數(shù),xr)的圖象關于直線x=6對稱,所以f

13、(0)=f3,所以1=32a+12,a=33,所以g(x)=sinx+33cosx=233sinx+6,函數(shù)g(x)的對稱軸方程為x+6=k+2(kz),即x=k+3(kz).當k=0時,對稱軸為直線x=3,所以g(x)=sinx+acosx的圖象關于直線x=3對稱.(2)函數(shù)f(x)=sinx-3cosx=2sinx-3,因為圖象的一個對稱中心為m9,0,距離點m最近的一條對稱軸為x=518,所以518-9=t4,即t=23.故=2t=3.對點訓練5(1)a(2)-2(1)f(x)=sin12x+-3cos12x+=2sin12x+-3,由題意可得f(0)=2sin-3=2,即sin-3=1

14、,-3=2+k(kz),=56+k(kz).|2,當k=-1時,=-6.(2)函數(shù)f(x)的圖象關于點38,0對稱,且函數(shù)f(x)周期為,而x=8距離x=38的長度為4=t4,所以直線x=8是f(x)圖象的一條對稱軸,又8438,且f40,所以f8=-2.例6(1)a(2)23或22(1)題意知f(x)=2sinx+4.f(x)的最小正周期為,=2,f(x)=2sin2x+4.由f(x)=f(-x)知f(x)是偶函數(shù),因此+4=k+2(kz).又|2,=4,f(x)=2cos2x.當02x,即0x0,所以34=k+2,所以=43k+23,kz.當k=0時,=23,f(x)=sin23x+2=cos23x,在區(qū)間0,2上單調遞減,當k=1時,=2,f(x)=sin2x+2=cos2x,在區(qū)間0,2上單調遞減,當k2時,103,f(x)=sinx+2=cosx,在區(qū)間0,2上不是單調函數(shù),綜上,=23或2,=2.對點訓練6(1)a(2)a(1)f(x)=cos2-3xcos+cos3xsin=sin(3x+).由已知直線x0=6是函數(shù)f(x)=sin(3x+)過最小值點的對稱軸,結合