高中圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)規(guī)律技巧總結

1、八、圓錐曲線1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F的距離的差的絕對值等于常數，且此常數一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A B C D（答：C）；（2）方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點和定直

2、線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數方程，其中為參數），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（答：）；（2）若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）

3、（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_（答：）；（2）設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次

4、項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：

5、3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）；（2）雙曲線的離心率為，則=（答：4或）；（3）設雙曲線（a0,b0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物

6、線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為_（答：）；5、點和橢圓（）的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內6直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個

7、交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_（答：(-,-1)）；（2）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）；（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線

8、相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點作直線與拋物線只有一個公

9、共點，這樣的直線有_（答：2）；（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_（答：）；（3）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有_條（答：3）；（4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線C的位置關系是_（答：相離）；（5）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_（答：1）；（6）設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和右準線分別于，則和的大小關系為_(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；（8）直

10、線與雙曲線交于、兩點。當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？（答：；）；7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應的準線的距離。如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為_（答：）；（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為_（答：）；（4）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_（答：）；（5）拋物線上的兩點

11、A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_（答：2）；（6）橢圓內有一點，F為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標為_（答：）；8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ，且當即為短軸端點時，最大為；，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：；。如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_（答：6）；（2）設P是等軸雙曲線右支上一點，F1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為