2022高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復習第六章不等式推理與證明第二節(jié)二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題教師文檔教案文北師大版

1、第二節(jié)第二節(jié)二元一次不等式二元一次不等式( (組組) )與簡單的線性規(guī)劃問題與簡單的線性規(guī)劃問題授課提示：對應學生用書第 107 頁基礎梳理1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域axbyc0直線 axbyc0 某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線axbyc0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量 x，y 組成的不等式(組)線性約束條件由 x，y 的一次不等式組成的不等式(組)目標函數(shù)關(guān)于 x，y 的函數(shù)解析式，如 zx2y線性目標函數(shù)關(guān)于 x，y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成

2、的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點定域”的方法(1)直線定界，不等式含等號，直線在區(qū)域內(nèi)，不含等號，直線不在區(qū)域內(nèi)(2)特殊點定域，在直線上方(下方)取一點，代入不等式成立，則區(qū)域就為上方(下方)，否則就是下方(上方)特別地，當 c0 時，常把原點作為測試點；當 c0 時，常選點(1，0)或者(0，1)作為測試點(3)對于 axbyc0 的區(qū)域：當 b0 時，化為 yabxcb，直線上方；當 b0 時，化為

3、yabxcb，直線下方四基自測1(基礎點：平面區(qū)域)不等式組x3y60，xy20表示的平面區(qū)域是()答案：c2(基礎點：線性目標函數(shù)最值)若變量 x，y 滿足約束條件4x5y8，1x3，0y2，則 z3x2y 的最小值為()a.315b6c.235d4答案：c3(基礎點：線性目標函數(shù)最值)(2018高考全國卷)若 x，y 滿足約束條件x2y20，xy10，y0，則z3x2y 的最大值為_答案：64(基礎點：平面區(qū)域面積)不等式組x0，x3y4，3xy4所表示的平面區(qū)域的面積等于_答案：43授課提示：對應學生用書第 107 頁考點一平面區(qū)域及面積問題挖掘求區(qū)域面積或參數(shù)/ 自主練透例(1)(20

4、20濟南模擬)不等式組2xy60，xy30，y2表示的平面區(qū)域的面積為()a4b1c5d無窮大解析不等式組2xy60，xy30，y2表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，abc 的面積即為所求求出點 a，b，c 的坐標分別為(1，2)，(2，2)，(3，0)，則abc 的面積為 s12(21)21.答案b(2)若函數(shù) y2x圖像上存在點(x，y)滿足約束條件xy30，x2y30，xm，則實數(shù) m 的最大值為()a.12b1c.32d2解析在同一直角坐標系中作出函數(shù) y2x的圖像及xy30，x2y30所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示由圖可知，當 m1 時，函數(shù) y2x的圖像上存在點(x，y)滿足

5、約束條件，故 m 的最大值為 1.答案b(3)已知不等式組x0，x3y4，3xy4所表示的平面區(qū)域的面積被直線 ykx43分為 21 兩部分， 則 k的值是_解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由于直線 ykx43過定點0，43 .因此只有直線過 ab 的三等分點時， 直線 ykx43能把平面區(qū)域分為 21 兩部分因為 a(1，1)，b(0，4)，所以 ab 靠近 a 的三等分點為23，2，靠近 b 的三等分點為13，3，當 ykx43過點23，2時，k1，當 ykx43過點13，3時，k5.答案1 或 5破題技法求平面區(qū)域的面積(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應利用題目的

6、已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而作出平面區(qū)域(2)對平面區(qū)域進行分析， 若為三角形應確定底與高， 若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可(3)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解考點二線性規(guī)劃中的目標函數(shù)最值問題挖掘 1不含參數(shù)的線性目標函數(shù)最值/ 自主練透例 1(1)(2019高考全國卷)若變量 x，y 滿足約束條件2x3y60，xy30，y20，則 z3xy 的最大值是_解析作出已知約束條件對應的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當直線 y3xz 過點 c時，z 最小，即

7、z 最大由xy30，2x3y60，解得x3，y0，即 c 點坐標為(3，0)，故 zmax3309.答案9(2)(2018高考全國卷)若 x，y 滿足約束條件x2y50，x2y30，x50，則 zxy 的最大值為_解析由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，xy 取得最大值斜率為1 的直線 xyz(z 看作常數(shù))的橫截距最大，由圖可得直線 xyz 過點 c 時 z 取得最大值由x5，x2y30得點 c(5，4)，zmax549.答案9(3)(2018高考全國卷)若變量 x，y 滿足約束條件2xy30，x2y40，x20，則 zx13y 的最大值是_解析畫出可行域如圖所示陰影部分，由 zx13y

8、 得 y3x3z，作出直線 y3x，并平移該直線，當直線 y3x3z 過點 a(2，3)時，目標函數(shù) zx13y 取得最大值為 21333.答案3破題技法求線性目標函數(shù)的最值線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點，將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值挖掘 2含參數(shù)的線性目標函數(shù)問題/ 互動探究例 2(1)變量 x，y 滿足約束條件xy0，x2y20，mxy0.若 z2xy 的最大值為 2，則實數(shù) m 等于()a2b1c1d2解析如圖所示，當 m0 時，比如在的位置，此時為開放區(qū)域無最大值，當 m2 時，比如在的位置，此時在原點取得最大

9、值，不滿足題意，當 0m2 時，在點 a 取得最大值，所以x2y20，mxy0a22m1，2m2m1 ，代入得 m1.答案c(2)已知實數(shù) x，y 滿足xy1，x2y20，2xy2，若 zxay 只在點(4，3)處取得最大值，則實數(shù) a 的取值范圍是_解析法一：由不等式組xy1，x2y20，2xy2作出可行域如圖，聯(lián)立x2y2，xy1，解得 c(4，3)當 a0 時，目標函數(shù)化為 zx，由圖可知，可行解(4，3)使 zxay 取得最大值，符合題意；當 a0 時，由 zxay，得 y1axza，此直線斜率大于 0，當在 y 軸上的截距最小時，z 最大，要使可行解(4，3)為目標函數(shù) zxay 取

10、得最大值的唯一最優(yōu)解，則1a1，即 0a1，符合題意；當 a0 時，由 zxay，得 y1axza，此直線斜率為負值，當在 y 軸上的截距最大時，z 最大，要使可行解(4，3)為目標函數(shù) zxay 取得最大值的唯一最優(yōu)解，則1a0，即 a0.綜上，實數(shù) a 的取值范圍是(，1)法二：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，其中 a(1，0)，b(25，65)，c(4，3)，當直線 zxay 過點 a 時得 z11；當直線 zxay 過點 b(25，65)時，z22565a；當直線zxay 過點 c(4，3)時，z343a，由題可知43a1，43a2565a，解得 a1，即實數(shù) a 的

11、取值范圍為(，1)答案(，1)破題技法由目標函數(shù)的最值求參數(shù)求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)挖掘 3非線性目標函數(shù)的最值/互動探究例 3(1)(2020河南鄭州一模)已知變量 x，y 滿足x2y40，x2，xy60，則 ky1x3的取值范圍是()ak12或 k5b5k12c5k12dk12或 k5解析由約束條件x2y40，x2，xy60作出可行域， 如圖中陰影部分

12、所示， 其中 a(2， 4)， ky1x3的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(x，y)與定點 p(3，1)連線的斜率，由圖可知，kkpa4（1）235，或 k12.故選 a.答案a(2)(2020廣州模擬)若 x，y 滿足約束條件xy20，2y10 x10，則 zx22xy2的最小值為()a.12b14c12d34解析畫出約束條件對應的平面區(qū)域， 如圖中陰影部分所示， zx22xy2(x1)2y21，其幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到定點(1，0)的距離的平方再減去 1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點到定點(1，0)的距離的最小值為12，故 zx22xy2的最小值為 zmin14134，選 d.答案

13、d(3)實數(shù) x，y 滿足不等式組xy20，2xy50，xy40，則 z|x2y4|的最大值為_解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z|x2y4|x2y4|55，其幾何意義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線 x2y40 的距離的5倍由xy20，2xy50，得 b 點坐標為(7，9)，顯然點 b 到直線 x2y40 的距離最大，此時 zmax21.答案21破題技法求解非線性目標函數(shù)的最值利用幾何意義來求(1)斜率型：zybxa.(2)兩點間的距離型：z（xa）2（yb）2.(3)點到直線的距離型：z|axbyc|.考點三線性規(guī)劃的實際應用及創(chuàng)新應用挖掘 1線性規(guī)劃的建模/ 互動探究例 1(1

14、)某旅行社租用 a，b 兩種型號的客車安排 900 名客人旅行，a，b 兩種車輛的載客量分別為 36 人和 60 人，租金分別為 1 600 元/輛和 2 400 元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過 21輛，且 b 型車不多于 a 型車 7 輛則租金最少為()a31 200 元b36 000 元c36 800 元d38 400 元解析設租用 a 型車 x 輛，b 型車 y 輛，目標函數(shù)為 z1 600 x2 400y，則約束條件為36x60y900，xy21，yx7，x，ynn，作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點(5，12)時，有最小值 zmin36 800(元)答案c(2)某公司

15、生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗 a 原料 1 千克、b 原料 2 千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗 a 原料 2 千克、b 原料 1 千克每桶甲產(chǎn)品的利潤是 300 元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是 400 元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗 a，b 原料都不超過 12 千克通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()a1 800 元b2 400 元c2 800 元d3 100 元解析設該公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x 桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品 y 桶，獲利為 z 元，則 x，y 滿足的線性約束條件為x2y12，2xy12，x0 且 xnn，y0 且 ynn，目標函

16、數(shù) z300 x400y.作出可行域，如圖中四邊形 oabc 的邊界及其內(nèi)部整點作直線 l0：3x4y0，平移直線 l0經(jīng)可行域內(nèi)點 b 時，z 取最大值，由2xy12，x2y12，得 b(4，4)，滿足題意，所以 zmax430044002 800(元)答案c破題技法1.在實際應用問題中，通過建立約束條件求出線性目標函數(shù)的最優(yōu)解，體會線性規(guī)劃的建模與實際意義2一般步驟為：(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系(2)設元：設問題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量 x，y，并列出相應的不等式組和目標函數(shù)(3)作圖：準確作出可行

17、域，平移找點(最優(yōu)解)(4)求解：代入目標函數(shù)求解(最大值或最小值)(5)檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反饋挖掘 2線性規(guī)劃的創(chuàng)新應用/自主練透例 2(1)(從“整點”視角)已知3x2y30，x3y60，2xy20，則不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)整數(shù)點的個數(shù)為_解析法一：畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖所示，在平面區(qū)域中畫網(wǎng)格線，由圖可見，平面區(qū)域內(nèi)有 6 個整數(shù)點法二：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，計算出交點 a(3，3)，b(0，2)，c(1，0)，則0 x3，xz.由3x2y30，x3y60，2xy20，得y32x32，y13x2，y22x.當 x0 時，y2，此時整數(shù)點個數(shù)為 1；當 x1 時，

18、由 0y73，yz z，得 y 取值為 0，1，2，此時整數(shù)點個數(shù)為 3；當 x2 時，由32y83，yz z，得 y 取值為 2，此時整數(shù)點個數(shù)為 1；當 x3 時，y3，整數(shù)點個數(shù)為 1.綜上所述，平面區(qū)域內(nèi)有 6 個整數(shù)點答案6(2)(從“命題條件”視角)(2019高考全國卷)記不等式組xy6，2xy0表示的平面區(qū)域為 d.命題 p：(x，y)d，2xy9；命題 q：(x，y)d，2xy12.下面給出了四個命題pq綈 pqp綈 q綈 p綈 q這四個命題中，所有真命題的編號是()abcd解析法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示目標函數(shù) z2xy 是一條平行移動的直線， 且 z 的幾何意義是直線 z2xy 的縱截距 顯然，直線過點 a(2，4)時，zmin2248，即 z2