(完整word版)《運籌學》_第六章排隊論習題及_答案

1、運籌學第六章排隊論習題轉(zhuǎn)載請注明1. 思考題（ 1）排隊論主要研究的問題是什么；（2）試述排隊模型的種類及各部分的特征；（3） Kendall 符號 X /Y/Z/ A/ B / C中各字母的分別代表什么意義；（4）理解平均到達率、平均服務率、平均服務時間和顧客到達間隔時間等概念；（5）分別寫出普阿松分布、負指數(shù)分布、愛爾朗分布的密度函數(shù)，說明這些分 布的主要性質(zhì)；（6）試述隊長和排隊長；等待時間和逗留時間；忙期和閑期等概念及他們之間的聯(lián)系 與區(qū)別。2判斷下列說法是否正確（ 1）若到達排隊系統(tǒng)的顧客為普阿松流，則依次到達的兩名顧客之間的間隔時間 服從負指數(shù)分布；（ 2）假如到達排隊系統(tǒng)的顧客來

2、自兩個方面，分別服從普阿松分布，則這兩部分 顧客合起來的顧客流仍為普阿松分布；（ 3）若兩兩顧客依次到達的間隔時間服從負指數(shù)分布，又將顧客按到達先后排序， 則第 1、 3、 5、7，名顧客到達的間隔時間也服從負指數(shù)分布；（4）對 M /M /1或M /M /C 的排隊系統(tǒng)， 服務完畢離開系統(tǒng)的顧客流也為普阿松流； （ 5）在排隊系統(tǒng)中，一般假定對顧客服務時間的分布為負指數(shù)分布，這是因為通過對大 量實際系統(tǒng)的統(tǒng)計研究，這樣的假定比較合理；（ 6）一個排隊系統(tǒng)中， 不管顧客到達和服務時間的情況如何， 只要運行足夠長的時間后， 系統(tǒng)將進入穩(wěn)定狀態(tài)；（ 7）排隊系統(tǒng)中，顧客等待時間的分布不受排隊服務規(guī)

3、則的影響；（ 8）在顧客到達及機構服務時間的分布相同的情況下，對容量有限的排隊系統(tǒng)，顧客的 平均等待時間少于允許隊長無限的系統(tǒng)；（ 9）在顧客到達分布相同的情況下，顧客的平均等待時間同服務時間分布的方差大小有 關，當服務時間分布的方差越大時，顧客的平均等待時間就越長；（ 10 ）在機器發(fā)生故障的概率及工人修復一臺機器的時間分布不變的條件下，由 1 名工人看管 5臺機器，或由 3 名工人聯(lián)合看管 15臺機器時，機器因故障等待工人維修的平 均時間不變。3某店有一個修理工人，顧客到達過程為Poisson 流，平均每小時 3 人，修理時間服從負指數(shù)分布，平均需 19 分鐘，求：（1）店內(nèi)空閑的時間；（

4、 2）有 4 個顧客的概率；（3）至少有一個顧客的概率；（4）店內(nèi)顧客的平均數(shù)；（5）等待服務的顧客數(shù)；（6）平均等待修理的時間；（7）一個顧客在店內(nèi)逗留時間超過15 分鐘的概率。4設有一個醫(yī)院門診，只有一個值班醫(yī)生。病人的到達過程為Poisson 流，平均到達時間間隔為 20 分鐘，診斷時間服從負指數(shù)分布，平均需 12 分鐘，求：（1）病人到來不用等待的概率；（2）門診部內(nèi)顧客的平均數(shù)；（3）病人在門診部的平均逗留時間；（4）若病人在門診部內(nèi)的平均逗留時間超過1 小時，則醫(yī)院方將考慮增加值班醫(yī)生。 問病人平均到達率為多少時，醫(yī)院才會增加醫(yī)生？5某排隊系統(tǒng)只有 1名服務員， 平均每小時有 4

5、名顧客到達， 到達過程為 Poisson 流，服 務時間服從負指數(shù)分布， 平均需 6分鐘，由于場地限制， 系統(tǒng)內(nèi)最多不超過 3 名顧客，求：（1）系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的概率；（2）系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)；（3）排隊等待服務的顧客數(shù)；（4）顧客在系統(tǒng)中的平均花費時間；（5）顧客平均排隊時間。6某街區(qū)醫(yī)院門診部只有一個醫(yī)生值班，此門診部備有6 張椅子供患者等候應診。當椅子坐滿時，后來的患者就自動離去， 不在進來。已知每小時有 4 名患者按 Poisson 分布到達， 每名患者的診斷時間服從負指數(shù)分布，平均 12 分鐘，求：（1）患者無須等待的概率；（2）門診部內(nèi)患者平均數(shù)；（3）需要等待的患者平均數(shù)；（4）

6、有效到達率；（5）患者在門診部逗留時間的平均值；（6）患者等待就診的平均時間；（ 7）有多少患者因坐滿而自動離去？7.某加油站有四臺加油機，來加油的汽車按 Poisson 分布到達，平均每小時到達 20 輛。四 臺加油機的加油時間服從負指數(shù)分布，每臺加油機平均每小時可給 10 輛汽車加油。求：（1）前來加油的汽車平均等待的時間；（2）汽車來加油時 ,4 臺油泵都在工作 , 這時汽車平均等待的時間 .8某售票處有 3 個售票口，顧客的到達服從 Poisson 分布，平均每分鐘到達 0.9 （人），3 個窗口售票的時間都服從負指數(shù)分布，平均每分鐘賣給0.4 （人），設可以歸納為 / /3 模型，試

7、求：（1）整個售票處空閑的概率；（2）平均對長；（3）平均逗留時間；（4）平均等待時間；（5）顧客到達后的等待概率。9一個美容院有 3張服務臺，顧客平均到達率為每小時5人，美容時間平均 30 分鐘，求：（1）美容院中沒有顧客的概率；（2）只有一個服務臺被占用的概率。10某系統(tǒng)有 3名服務員 ,每小時平均到達 240名顧客 , 且到達服從 Poisson 分布，服務時間 服從負指數(shù)分布，平均需 0.5 分鐘，求 :（1） 整個系統(tǒng)內(nèi)空閑的概率；（2） 顧客等待服務的概率；（3）系統(tǒng)內(nèi)等待服務的平均顧客數(shù)；（4）平均等待服務時間；（5）系統(tǒng)平均利用率；（6）若每小時顧客到達的顧客增至480名，服務

8、員增至 6 名，分別計算上面的（ 1）（ 5）的值。11某服務系統(tǒng)有兩個服務員， 顧客到達服從 Poisson 分布，平均每小時到達兩個。 服務時 間服從負指數(shù)分布， 平均服務時間為 30 分鐘，又知系統(tǒng)內(nèi)最多只能有 3 名顧客等待服務， 當顧客到達時，若系統(tǒng)已滿，則自動離開，不再進入系統(tǒng)。求：（1）系統(tǒng)空閑時間；（2）顧客損失率；（3）服務系統(tǒng)內(nèi)等待服務的平均顧客數(shù)；（4）在服務系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)；（5）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間；（6）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均等待時間；（7）被占用的服務員的平均數(shù)。12某車站售票口， 已知顧客到達率為每小時 200 人，售票員的服務率為每小時 40 人，求：（1

9、）工時利用率平均不能低于 60；（2）若要顧客等待平均時間不超過 2分鐘，設幾個窗口合適？13某律師事物所咨詢中心，前來咨詢的顧客服從Poisson 分布，平均天到達 50 個。各位被咨詢律師回答顧客問題的時間是隨機變量， 服從負指數(shù)分布，每天平均接待 10人。 每位律師工作 1 天需支付 100 元，而每回答一名顧客的問題的咨詢費為 20 元，試為該咨 詢中心確定每天工作的律師人數(shù)，以保證純收入最多。14某廠的原料倉庫，平均每天有 20 車原料入庫，原料車到達服從 Poisson 分布，卸貨率 服從負指數(shù)分布，平均每人每天卸貨 5 車，每個裝卸工每天總費用 50 元，由于人手不 夠而影響當天

10、裝卸貨物， 導致每車的平均損失為每天 200 元，試問，工廠應安排幾名裝 卸工，最節(jié)省開支？15某公司醫(yī)務室為職工檢查身體， 職工的到達服從 Poisson 分布，每小時平均到達 50人， 若職工不能按時體檢，造成的損失為每小時每人平均 60 元。體檢所花時間服從負指數(shù) 分布，平均每小時服務率為 ，每人的體檢費用為 30 元，試確定使公司總支出最少的 參數(shù) 。運籌學第六章排隊論習題解答L2）門診部內(nèi)顧客的平均數(shù)：1W 3）病人在門診部的平均逗留時間； 4）若病人在門診部內(nèi)的平均逗留時間超過0.61 0.61.5（人）0.5（小時）1小時，則有：2（ 1） （2） （3）X（4）（5）X（6）X

11、（7）X（8）（9）（10）X3解：單位時間為小時，3,6,360.5（1）店內(nèi)空閑的時間：p0 11120.5；4141144(1)10.03125（2）有 4 個顧客的概率：22 253）至少有一個顧客的概率： P N 1 1p00.5L1（4）店內(nèi)顧客的平均數(shù)：1；L0.5（5）等待服務的顧客的平均數(shù)：LqLq0.5W0.1667（6）平均等待修理的時間：3；（7）一個顧客在店內(nèi)逗留時間超過15 分鐘的概率。115(1)1P T 15 e ( )t e1020e 2 0.6074解:單位時間為小時， 3,60 125,0.6（1）病人到來不用等待的概率：p011 0.60.41 1 51

12、即當病人平均到達時間間隔小于等于15分鐘時，醫(yī)院將增加值班醫(yī)生。5解：單位時間為小時，4, 10, 0.4, K 3；p01）系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的概率：2）系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)：L1(K 1)1 K 13）排隊等待服務的顧客數(shù)： Lq（4）顧客在系統(tǒng)中的平均花費時間：0.562W (1 L 3p0)3.842Wq W1140.41 0.4L (11 0.41 0.444 0.441 0.44p0) 0.5628.8 (分鐘) 1 0.146 0.10.146（5）顧客平均排隊時間：6解：此問題可歸結為的模型，單位時間為小時，4, 5,p01）患者無須等待的概率：0.8,K 71 0.80.24031

13、 0.880.8 8 0.882）門診部內(nèi)患者平均數(shù)：0.8 13）需要等待的患者平均數(shù)：Lq2.3870.88(1 p0)0.6160.562（人）；0.384 0.178（人）；0.046 2.8（分鐘）。2.387（人）1.627（人）(1P7)4 (14）5）有效到達率： 患者在門診部逗留時間的平均值：W L 2.3873.81 0.81 0.880.87) 3.8；6）7）患者等待就診的平均時間：1718P7 有7. 解：此為一個/ /4 系統(tǒng)，0.628小時）Wq0.050320,2 0.5p04 ，所以=37.7( 分鐘 )37.7 12 25.7( 分鐘)5.03%的患者因坐滿

14、而自動離去10,2, 系統(tǒng)服務強度3 2kk 0 k!2k 14! 1 120.131）前來加油的汽車平均等待的時間即為1LWq：Wq因為2010L而 故： Wq .0085c!(1c p0)224 0.5 0.134! (1 0.5)2 22.17小時）=0.51 （分鐘）W則Wq，因為p1 p00.26 ， p2k c Pk3p3p0 0.183!，c4，k 4 pk1 3k0 pk0.17Wq0.51W3所以 ：0.170.17（分鐘）。8解：此為一個/ /3系統(tǒng)，0.9,0.4,2）汽車來加油時 ,4 臺油泵都在工作 , 設汽車平均等待的時間為 W3 0.752p0 0.262.25,

15、 系統(tǒng)服務強度：p01)3 (2.25)kk0k!(2.25)313! 1 0.750.0743L2）因為：所以： Lq(2.25)3 0.753!(10.0743 2.250.75)23.953.95（人）WL 3.954.393）平均逗留時間：0.9（分鐘）4）平均等待時間：WqW14.391 0.4 1.89 (分鐘)L2.251.70人）31）p03 (2.5)k 1 k 0 k!2）p1p02.5 0.108（5）設顧客到達后的等待概率為P ，則PPkc! 1 P0(2.25)31 0.0743 0.57kcc! 1 03!1 0.759解：此為系統(tǒng)為M / M / n (n=3)損

16、失制無限源服務模型，5,60 30 2,2.5 ，1 2.5 3.125 2.604 1 0.1080.2710此為系統(tǒng)為 M / M / n （n=3） 服務模型，2（人 /分鐘）,2 ,n240240 4（人/ 分鐘）,60（ 1）整個系統(tǒng)內(nèi)空閑的概率：10.52 k 3n1p0(1 2 2 4) 10.111k 0 k! 3!n（2）顧客等待服務的概率：p W 0 3! n n p0 94 0.4443! n 93）系統(tǒng)內(nèi)等待服務的平均顧客數(shù)：n 1 8）2 p0 9Lq(n 1)!(n 4)平均等待服務時間： Wq Lq 8 1q 9 42 0.22290.888人）；（5）系統(tǒng)平均利

17、用率；（6）若每小時顧客到達的顧客增至（ 1）（ 5）的值。480 8（人 /分鐘）,60則：整個系統(tǒng)內(nèi)空閑的概率：23480 名，10.50.667；服務員增至 6 名，分別計算上面的2（人 /分鐘） ,4 ,n 62k p0k 0 k!顧客等待服務的概率：n!pWLq(42.866 17.067) 1 0.017n!n1p0 17.067 0.017 0.285系統(tǒng)內(nèi)等待服務的平均顧客數(shù)：Lq(n 1)!(n )2 p00.58（人）平均等待服務時間：Wq0.07系統(tǒng)平均利用率；11解：將此系統(tǒng)看成一個2, 0.5,4 6 0.667 。nM / M / 2 / 5 排隊系統(tǒng)，其中4 ,n

18、 2, K 5p0 1 41）系統(tǒng)空閑時間：42(1 (4 2)5 2 1)2(1 4 2)0.00845 0.008p5 顧客損失率： 服務系統(tǒng)內(nèi)等待服務的平均顧客數(shù)： 2 5 20.008 42 （4 2） 4 5 2Lq2 12!（1 4 2）22（4）在服務系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)： L Lq（1 p5 ） 2.18 4 （1（ 5）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間：2）3）2! 25 20.512(14 4 542)(5 2 1)(24)50.512) 4.13 (人)；2.18（人）4.134.23（1 p5） 2 （1 0.512） （分鐘）； 6）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均等待時間：Wq W 1

19、4.23 2 2.23 （分鐘） 7）被占用的服務員的平均數(shù)。n L Lq 4.1312解：將此系統(tǒng)看成一個140, 45,工時利用率平均不能低于2.18 1.95 （個） M / M / n 排隊系統(tǒng)，其中3.5 ，則60，即系統(tǒng)服務強度：3.50.6n n ，所以 n的要求，現(xiàn)在計算是否滿足等待時間的要求： （ 1）當 n4.17 ，設 n1,2,3,4 均滿足工時利用率4時，3k p0k!k 0 k! 平均等待時間： Wq Lqn!2.5 2.522.532.54 43!4! 0.50.07372.55200 6 1.52）當 n平均等待時間： 若 n 2 ，則 13解：這是50,p0則：f (n)(n 1)!(n )2 p00.01487.19727002kp00.0067小時）1=016（分）0.0453時，0k!n!Lq2 p0(n 1)!(n)2 00.0176(小時) =1.05( 分)，所以，應該設 3 個窗口符合要求。 M