極限存在法則兩重要極限

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則 i i ( (夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則) ) 如果如果 ， 及及 滿足下列條件：滿足下列條件：nxnynz（1 1）nnnzxy )(0nn （2 2）aynn limaznn lim則數(shù)列則數(shù)列 的極限存在的極限存在, , 且且nxaxnn lim例例1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn準(zhǔn)則準(zhǔn)則 ii( (函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則函

2、數(shù)的夾逼準(zhǔn)則) ) 如果如果（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時時 , ,有有 )()()(xhxfxg （2 2）axgxx )(lim0則則 存在存在, , 且且),(0rxuxo axhxx )(lim0)(lim0 xfxx axfxx )(lim0兩個兩個重要極限重要極限1sinlim0 xxxac)20(, xxaobo 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xoab的圓心角為的圓心角為扇形扇形,bdoab的高為的高為 ,tansinxxx 1sincos xxx即即 2sin2cos102xx 22

3、222xx 因為因為所以所以 即即 0)cos1 (lim0 xx1coslim0 xx因而因而1sinlim0 xxx證證 因為因為 是偶函數(shù)，所以只討論是偶函數(shù)，所以只討論 當(dāng)當(dāng) 時時, ,有有20 xxxxtansin0 xxsin所以所以1sinlim0 xxx 重要極限 的適用范圍:1sinlim0 xxx;00) 1.,)2反反三三角角函函數(shù)數(shù)等等含含三三角角函函數(shù)數(shù)例例5 求求 .xxxtanlim0解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 1 例例6 求求 .20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx 2

4、202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx21 xxxarctanlim0例例7 求求 .2coslim2 xxx數(shù)列數(shù)列 nx單調(diào)增加單調(diào)增加 , ,若若 nxxx21單調(diào)減少單調(diào)減少 , ,若若 nxxx21準(zhǔn)則準(zhǔn)則( (單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則) )單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .x1x2x3x1 nxnx幾何解釋幾何解釋: :am例例8.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 313

5、3 , 3 ;是有界的是有界的nxaxnn設(shè)為存在.lim,32aa 2131,2131 aa解解得得( (舍去舍去) ).2131lim nnxnnn)11 (lim先證數(shù)列單調(diào)增先證數(shù)列單調(diào)增: :設(shè)設(shè) , ,nnnx 11則則nnnnnnnnnnnnnx1!)1()1(1! 2)1(1! 112 nnnnnn112111!111!2111所以所以 111121111!1111! 2111nnnnnn 1nx 11121111!11nnnnn比較得比較得: ,: ,1 nnxx即即 為單調(diào)遞增數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列. . nx又注意到又注意到: :!1! 31! 2111nxn 2112111

6、 n32131 n所以所以 為單調(diào)遞增有界數(shù)列為單調(diào)遞增有界數(shù)列. . nxnnn 11lim存在存在. .1212111 nennn )11(lim記記為為)71828. 2( e同理同理: :.)11(limnnnn, 4)(limnnanan. annn4)31 (lim .)11 (limexxx 重要極限 的適用范圍:.1 exxx 10)1(lim 1:., 1:,lim:記記為為其其中中求求問問題題xvxuxuxv例例10.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例11.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()2

7、11(lim xxxx原原式式.2e 公式公式 類類求求問問題題 1,lim:xvxu axuxvxuxvxuxvaxveexuxuexuaxuxv 1)()(lim1)()(1)(1)()(1)(1lim)(lim.)(lim,1)()(lim:則則設(shè)設(shè) xxxx193lim xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e解：解：例例12 求求xt._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題: :._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim3