創(chuàng)新設計高中數學第一章基本初等函數1.1.1角的概念的推廣學案新人教B版必修4

1、11任意角的概念與弧度制 11.1角的概念的推廣學習目標1.了解角的概念.2.掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義. 3.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角知識鏈接1手表慢了5分鐘，如何校準？手表快了1.5小時，又如何校準？當時間校準后，時針旋轉了多少度？當時間校準后，分針旋轉了多少度？答可將分針順時針方向旋轉30；可將時針逆時針方向旋轉45.2在初中角是如何定義的？答定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角定義2：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角3初中所學角的范圍是什么？答角的范圍0360.預習導引1角的概念(1)角的

2、概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形(2)角的表示方法：常用大寫字母a，b，c等表示；也可以用希臘字母，等表示；特別是當角作為變量時，常用字母表示(3)角的分類：按旋轉方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉形成的角負角按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角(4)角的旋轉：旋轉生成的角，又常叫做轉角各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和2終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合s|k360，kz，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和3象限角角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸

3、的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限要點一任意角概念的辨析例1在下列說法中：090的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；鈍角都是第二象限角；小于90的角都是銳角其中說法錯誤的序號為_答案解析0角不屬于任何象限，所以不正確120是第二象限角，390是第一象限角，顯然390120，所以不正確鈍角的范圍是90180，顯然是第二象限角，所以正確銳角的集合是|090，小于90的角也可以是零角或負角，所以不正確規(guī)律方法判斷說法錯誤，只需舉一個反例即可解決本題關鍵在于正確理解各類角的定義隨著角的概念的推廣，對

4、角的認識不能再停留在初中階段，否則判斷容易錯誤跟蹤演練1設a小于90的角，b銳角，c第一象限角，d小于90而不小于0的角，那么有()abca bbaccd(ac) dcdb答案d解析銳角、090的角、小于90的角及第一象限角的范圍，如下表所示.角集合表示銳角b|090090的角d|090小于90的角a|90第一象限角c|k360k36090，kz要點二終邊相同的角的應用例2在與角10 030終邊相同的角中，求滿足下列條件的角(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360720的角解(1)與10 030終邊相同的角的一般形式為k36010 030(kz)，由360k36010 0300，得10

5、 390k36010 030，解得k28，故所求的最大負角為50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角為310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角為670.規(guī)律方法求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值跟蹤演練2寫出與1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720360的元素寫出來解由終邊相同的角的表示知，與角1 910終邊相同的角的集合為|k3601 910，kz720360，即720

6、k3601 910360(kz)，3k6(kz)故取k4,5,6.k4時，43601 910470；k5時，53601 910110；k6時，63601 910250.要點三象限角的判定例3在0360范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因為150360210，所以在0360范圍內，與150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角(2)因為650360290，所以在0360范圍內，與650角終邊相同的角是290角，它是第四象限角(3)因為95015336012945，所以在0360范圍內，與95015角終邊相同的角是12

7、945角，它是第二象限角規(guī)律方法本題要求在0360范圍內，找出與已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角，這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數的值打基礎跟蹤演練3給出下列四個說法：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315是第一象限角其中正確的有()a1個 b2個 c3個 d4個答案d解析對于：如圖1所示，75角是第四象限角；對于：如圖2所示，225角是第三象限角；對于：如圖3所示，475角是第二象限角；對于：如圖4所示，315角是第一象限角要點四區(qū)域角的表示例4寫出終邊落在陰影部分的角的集合解設終邊落在陰影部分的角為，角的集合由兩部分組成|k3603

8、0k360105，kz|k360210k360285，kz角的集合應當是集合與的并集：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz|2k180302k180105，kz|(2k1)18030(2k1)180105，kz|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kz|n18030n180105，nz規(guī)律方法解答此類題目應先在0360上寫出角的集合，再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡本題還要注意實線邊界與虛線邊界的差異跟蹤演練4已知集合a|k18030k18090，kz，集合b|k36045k36

9、045，kz求：(1)ab；(2)ab.解在直角坐標系中，分別畫出集合a，b所包含的區(qū)域，結合圖形可知，ab|30k36045k360，kz，ab|k36045k36090或k360210k360270，kz.1361的終邊落在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案d2集合a|k9036，kz，b|180180，則ab等于()a36，54 b126，144c126，36，54，144 d126，54答案c解析令180k9036180，則144k90216，當k1,0,1,2時，不等式均成立，所對應的角分別為126，36，54，144，故選c.3若角滿足180360，角5與有相同的

10、始邊，且又有相同的終邊，那么角_.答案270解析由于5與的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應是360的整數倍，即54k360，kz.又180360，所以k3，則270.4寫出終邊落在坐標軸上的角的集合s.解終邊落在x軸上的角的集合：s1|k180，kz；終邊落在y軸上的角的集合：s2|k18090，kz；終邊落在坐標軸上的角的集合：ss1s2|k180，kz|k18090，kz|2k90，kz|(2k1)90，kz|n90，nz1.對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉量”決定角的“絕對值大小”2關于

11、終邊相同角的認識(1)一般地，所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合s|k360，kz，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和注意：(1)為任意角；(2)k360與之間是“”號，k360可理解為k360()；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數多個，它們相差360的整數倍；(4)kz這一條件不能少一、基礎達標1設a|為銳角，b|為小于90的角，c|為第一象限的角，d|為小于90的正角，則下列等式中成立的是()aab bbccac dad答案d2與405角終邊相同的角是()ak36045，kz bk18045，kzck36045，kz

12、dk18045，kz答案c3.如圖，終邊落在直線yx上的角的集合是()a|k36045，kzb|k18045，kzc|k18045，kzd|k9045，kz答案d4若是第四象限角，則180是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角答案c解析可以給賦一特殊值60，則180240，故180是第三象限角5已知|0360，的終邊與60角的終邊關于x軸對稱，則_.答案606下列說法中，正確的是_(填序號)終邊落在第一象限的角為銳角；銳角是第一象限的角；第二象限的角為鈍角；小于90的角一定為銳角；角與的終邊關于x軸對稱答案解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400的角是第一象限的角，但

13、不是銳角，故的說法是錯誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故的說法也是錯誤的；小于90的角不一定為銳角，比如負角，故的說法是錯誤的7在與角2 013終邊相同的角中，求滿足下列條件的角(1)最小的正角；(2)最大的負角；(3)720720內的角解(1)2 0136360147，與角2 013終邊相同的最小正角是147.(2)2 0135360(213)，與角2 013終邊相同的最大負角是213.(3)2 0136360147，與2 013終邊相同也就是與147終邊相同由720k360147720，kz，解得：k2，1,0,1.代入k360147依次得：573，213，147，507.二、能力提

14、升8集合|k18045k18090，kz中，角所表示的范圍(陰影部分)正確的是()答案c9在180360范圍內，與2 000角終邊相同的角為_答案160，200解析2 0002005360，2 0001606360，在180360范圍內與2 000角終邊相同的角有160，200兩個10角，的終邊關于y軸對稱，若30，則_.答案150k360，kz解析30與150的終邊關于y軸對稱，的終邊與150角的終邊相同150k360，kz.11已知角x的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫出角x組成的集合解(1)x|k360135xk360135，kz(2)x|k36030xk36060，kzx|k360210x

15、k360240，kzx|2k18030x2k18060或(2k1)18030x(2k1)18060，kzx|n18030xn18060，nz12已知角的終邊在直線xy0上(1)寫出角的集合s；(2)寫出s中適合不等式360720的元素解(1)如圖，直線xy0過原點，傾斜角為60，在0360范圍內，終邊落在射線oa上的角是60，終邊落在射線ob上的角是240，所以以射線oa、ob為終邊的角的集合為：s1|60k360，kz，s2|240k360，kz，所以，角的集合ss1s2|60k360，kz|60180k360，kz|602k180，kz|60(2k1)180，kz|60n180，nz(2)由于360720，即36060n180720，nz.解得n，nz，所以n2，1,0,1,2,3.所以s中適合不等式360720的元素為602180300；601180120；60018060；601180240；602180420；603180600.三、探究與創(chuàng)新13若是第一象限角，問，2，是第幾象限角？解是第一象限角，k360k36090(kz)(1)k36090k360(kz)，所在區(qū)域與(90，0)范圍相同，故是第四象限角(2)2k36022k360180(kz)，2所在區(qū)域與(0，180)范圍相同，故2是第