畫(huà)法幾何第七章平面體及回轉(zhuǎn)體的截切

1、 第七章平面體及回轉(zhuǎn)體的截切平面體及回轉(zhuǎn)體的截切平面體及回轉(zhuǎn)體的截切截切：截切： 用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一用一個(gè)平面與立體相交，截去立體的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物體的平面。用以截切物體的平面。 截交線截交線 截平面與物體表面的交線。截平面與物體表面的交線。 截?cái)嗝娼財(cái)嗝?因截平面的截切，在物體上形因截平面的截切，在物體上形 成的平面。成的平面。7.1 7.1 平面體的截切平面體的截切一、平面截切的基本形式一、平面截切的基本形式 截交線是一個(gè)由直線組成的截交線是一個(gè)由直線組成的封閉的平面多邊形封閉的平面多邊形，其，其 形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切形狀取決

2、于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切 位置。位置。 截交線的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。求求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：二、平面截切體的畫(huà)圖二、平面截切體的畫(huà)圖 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點(diǎn)求各棱線與截平面的交點(diǎn)棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。關(guān)鍵是正確地畫(huà)出截交線的投影關(guān)鍵是正確地畫(huà)出截交線的投影。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置 截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置確定

3、截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影 分別求出截平面與棱面分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。的交線，并連接成多邊形。截交線的形狀 1.分析截平面與立體的相對(duì)位置以決定截交線形狀：多邊形，其邊數(shù)取決于截平面截到的棱面數(shù)。 2. 分析截平面與投影面的相對(duì)位置以決定截交線的投影形狀。例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？3

4、 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與體的截平面與體的幾個(gè)棱面相交？幾個(gè)棱面相交？截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。我們采用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )、兩點(diǎn)分別兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面同時(shí)位于三個(gè)面上。上。三面共點(diǎn)：三面共點(diǎn)：2 2

5、 1 1 注意：注意：要逐個(gè)截平面分析和繪制要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后體被截切，求出截交線后再取局部。再取局部。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面p截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。p p 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15

6、54 47 76 63 32 28 8分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面p截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。7.2 7.2 回轉(zhuǎn)體的截切回轉(zhuǎn)體的截切一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)： 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。截交線都是截交線都是封閉的平面圖形（封閉曲線或由封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線圍成）直線和曲線圍成

7、）。二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，以便的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確明確截交截交 線的投影特性線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。找出找出 截交線的截交線的已知已知投影，投影，予見(jiàn)未知予見(jiàn)未知投影。投影。 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為： 將各點(diǎn)

8、光滑地連接起來(lái)，并判斷截交線的可將各點(diǎn)光滑地連接起來(lái)，并判斷截交線的可 見(jiàn)性。見(jiàn)性。 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。 圓柱體的截切圓柱體的截切 截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜p pv vp pp pv vp pp pv vp p例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置

9、解題步驟：解題步驟： 同一立體被多同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置解題步驟：解題步驟：例例2 2：求左視圖：求左視圖例例2 2：求左視圖：求左視圖例例3 3：求俯視圖：求俯視圖例例3 3：求俯視圖：求俯視圖截交線的已知投影？截交線的已知投影？例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)光滑連

10、接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投截交線的側(cè)面投影是什么形狀？影是什么形狀？截交線的截交線的空間形狀？空間形狀？ 例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)找中間點(diǎn)找中間點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 橢圓的長(zhǎng)、橢圓的長(zhǎng)、短軸隨截平面與短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。4545什么情況下什么情況下投影為圓呢？投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時(shí)。時(shí)。例例5 5：求左視圖：求左視圖例例5 5：求左視圖：求左視圖虛實(shí)分界點(diǎn)虛實(shí)分界點(diǎn) 圓錐體的截切圓錐體的截切 根據(jù)截平面與圓錐

11、軸線的相根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀。對(duì)位置不同，截交線有五種形狀。過(guò)錐頂過(guò)錐頂兩相交直線兩相交直線p pv v圓圓p pv v= 90= 90p pv v橢圓橢圓拋物線拋物線p pv v=雙曲線雙曲線p pv v= 0= 0例例: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。截交線截交線的空間的空間形狀？形狀？截交線截交線的投影的投影特性？特性？找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn)如何找橢圓另如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)？一根軸的端點(diǎn)？補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn)分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影例例: 圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂

12、面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。 球體的截切球體的截切 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形截交線的形狀都是圓狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面，但根據(jù)截平面與投影面的相對(duì)位置不同，的相對(duì)位置不同，其其截交線的投影截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。積聚為直線。兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖交線的投影

13、，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。 復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，以及它們的連接關(guān)系，然后然后分別求出這些基本回分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。例：求作頂尖的俯視圖例：求作頂尖的俯視圖 當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要要先先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接，最后光滑連接各點(diǎn)。各點(diǎn)。 注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。素線的投影。 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì) 位置，以位置，以確定截交線的投影特性確定截交線的投影特性。 求截交線求截交線三、解題方法與步驟三、解題方法與步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以 確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)逐個(gè)截截 平面平面進(jìn)行