83控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

1、3278.3 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性描述系統(tǒng)受到外界干擾，平衡工作狀態(tài)被破壞后，系統(tǒng)偏差調(diào)節(jié)過程的收斂性。它是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件。經(jīng)典控制理論用代數(shù)判據(jù)、奈氏判據(jù)、對數(shù)頻率判據(jù)、特征根判據(jù)來判斷線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用相平面法來判斷二階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這些穩(wěn)定判據(jù)無法滿足以多變量、非線性、時變?yōu)樘卣鞯默F(xiàn)代控制系統(tǒng)對穩(wěn)定性分析的要求。1892 年，俄國學(xué)者李雅普諾夫建立了基于狀態(tài)空間描述的穩(wěn)定性概念，提出了依賴于線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷穩(wěn)定性的第一方法（稱為間接法）和利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)借以判斷穩(wěn)定性的第二方法

2、（稱為直接法） 。李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的理論，不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時變系統(tǒng)，它有效地解決過一些用其它方法未能解決的非線性微分方程的穩(wěn)定性問題，在現(xiàn)代控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中，得到了廣泛的應(yīng)用與發(fā)展。8.3.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 忽略輸入后，非線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下 （8-70）),(txfx 式中，x 為 n 維狀態(tài)向量；t 為時間變量； 為 n 維函數(shù)，其展開式為),(txf 12(, )iinxf x xx tni, 1假定方程的解為 ，x0和 t0 分別為初始狀態(tài)向量和初始時刻，),;(00txtx。0000),;

3、(xtxtx平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 如果對于所有 t，滿足 （8-71）0),(txfxee的狀態(tài) xe稱為平衡狀態(tài)（又稱為平衡點） 。平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化。若已知狀態(tài)方程，令 所求得的解 x，便是平衡狀態(tài)。0 x 對于線性定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)滿足 ，如果 a 非奇異，系統(tǒng)只有axx 0eax惟一的零解，即存在一個位于狀態(tài)空間原點的平衡狀態(tài)。至于非線性系統(tǒng)，的0),(txfe解可能有多個，由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定。控制系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動態(tài)行為。鑒于實際線性系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整328個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于具有多

4、個平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來說，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不相同，故需逐個加以考慮，還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運動軌跡來考慮。本節(jié)主要研究平衡狀態(tài)位于狀態(tài)空間原點（即零狀態(tài)）的穩(wěn)定性問題，因為任何非零狀態(tài)均可以通過坐標(biāo)變換平移到坐標(biāo)原點，而坐標(biāo)變換又不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （a）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 （b）漸近穩(wěn)定性 （c） 不穩(wěn)定性圖 8-18 穩(wěn)定性的平面幾何表示2.李雅普諾夫穩(wěn)定性定義李雅普諾夫穩(wěn)定性定義（1）李雅普諾夫穩(wěn)定性：如果對于任意小的 0，均存在一個，當(dāng)初始0),(0t狀態(tài)滿足時，系統(tǒng)運動軌跡滿足，則稱該平衡狀態(tài)exx0limtextxtx),;(00 xe 是李雅普諾夫意

5、義下穩(wěn)定的，簡稱是穩(wěn)定的。該定義的平面幾何表示見圖 8-18（a） ，表示狀態(tài)空間中 x0點至 xe點之間的距離，其數(shù)學(xué)表達式為exx 0 （8-722021100)()(neneexxxxxx） 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài) x0位于平衡狀態(tài) xe為球心、半徑為 的閉球域內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn)( )s定，則狀態(tài)方程的解在的過程中，都位于以 xe為球心，半徑為 的閉),;(00txtxt球域內(nèi)。( )s（2）一致穩(wěn)定性： 通常 與、t0 都有關(guān)。如果 與 t0 無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的 與 t0 無關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。（3）漸近穩(wěn)定性： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意

6、義下的穩(wěn)定性，且有329 （8-73）00lim( ;,)0etx t x tx稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這時，從 出發(fā)的軌跡不僅不會超出，且當(dāng)( )s( )s時收斂于 xe或其附近，其平面幾何表示見圖 8-18（b） 。t（4）大范圍穩(wěn)定性 當(dāng)初始條件擴展至整個狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。此時，。對于線性系)(sx統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍穩(wěn)定性，因為線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般與初始條件的大小密切相關(guān)，通常只能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定。（5）不穩(wěn)定性 不論 取得得多么小，只要在內(nèi)有一條從 x0 出發(fā)的軌跡跨出( )s，則稱此平

7、衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。其平面幾何表示見圖 8-18（c） 。( )s注意，按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運動時，將在平面描繪出一條封閉曲線，只要不超過 ，則認為是穩(wěn)定的，如線性系統(tǒng)的無阻尼自由振( )s蕩和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)，這同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。8.3.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法 李雅普諾夫第一法（間接法）是利用狀態(tài)方程的解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù) 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣 a 的全

8、axx 部特征值位于復(fù)平面左半部，即 （8-0)re(ini, 174）證明 假定 a 有相異特征值，根據(jù)線性代數(shù)理論，存在非奇異線性變換n,1（p 由特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成，為一常數(shù)矩陣） ，可使對角化，有xpx ia ),(11ndiagappa變換后狀態(tài)方程的解為 )0()()0()(1xeediagxetxtntat由于 ，xpx1)0()0(1xpx故原狀態(tài)方程的解為 )0()0()(1xexppetxatt a有 11)(diag1peepppeettatatn330將上式展開，的每一元素都是的線性組合，因而可寫成矩陣多項式atettnee,1 tnttniiatniererer

9、e111故可以顯式表出與i的關(guān)系)(tx)0()0()(11xererxetxtntatn當(dāng)式（8-74）成立時，對于任意 x（0） ，均有，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。只要有一個0)(ttx特征值的實部大于零，對于,便無限增長，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果只有一個（或0)0(x)(tx一對，且均不能是重根）特征值的實部等于零，其余特征值實部均小于零，便含有常)(tx數(shù)項或三角函數(shù)項，則系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。8.3.3 李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法 李雅普諾夫第二法（直接法）是利用李雅普諾夫函數(shù)直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性進行判斷，無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，它對各種控制系統(tǒng)均適用。根據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動能

10、與位能）隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會到達平衡狀態(tài)。實際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與及t 有關(guān)，是一個標(biāo)量函數(shù)，記以；nxx,1( , )v x t若不顯含t ，則記以?？紤]到能量總大于零，故為正定函數(shù)，能量衰減特性用( )v x表示。遺憾的是至今仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，需要憑經(jīng)驗與技巧。( , )v x t實踐表明，對于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。pxxt1.標(biāo)量函數(shù)定號性（1 1）正定性）正定性 標(biāo)量函數(shù)在域 s 中對所有非零狀態(tài)有且( )v x)0( x0)(xv，稱在域 s 內(nèi)正定。如是正

11、定的。0)0(v( )v x2221)(xxxv（2 2）負定性）負定性 標(biāo)量函數(shù)在域 s 中對所有非零 x 有且，稱( )v x0)(xv0)0(v在域 s 內(nèi)負定。如是負定的。如果是負定的，-則一定( )v x)()(2221xxxv( )v x( )v x是正定的。（3 3）負（正）半定性）負（正）半定性 ，且在域 s 內(nèi)某些狀態(tài)處有，而其它0)0(v( )v x0)(xv狀態(tài)處均有（） ，則稱在域 s 內(nèi)負（正）半定。設(shè)為負半定，0)(xv0)(xv( )v x( )v x則為正半定。如為正半定。( )v x221)2()(xxxv（4 4）不定性）不定性 在域 s 內(nèi)可正可負，則稱不

12、定。如是不定的。( )v x( )v x21)(xxxv關(guān)于正定性的提法是：標(biāo)量函數(shù)在域 s 中，對于及所有非零狀態(tài)( , )v x t( , )v x t0tt 331有,且，則稱在域 s 內(nèi)正定。的其它定號性提法類同。0),(txv0), 0(tv),(txv),(txv二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記 （8-75）nnnnnntxxppppxxpxxxv111111)(其中，為對稱矩陣，有。顯然滿足，其定號性由賽爾維斯特準(zhǔn)則判pjiijpp 0)(xv定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r，即p （8-76）111111211212210,0,0nnnnppppppppp為正定矩陣，則正定

13、。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺截?、正相間時，即p( )v xp （8-77）111111211212210,0,( 1)0nnnnnppppppppp為負定矩陣，則負定。若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負半p( )v x( )v x定。不屬以上所有情況的不定。( )v x下面不打算對李雅普諾夫第二法中諸穩(wěn)定性定理在數(shù)學(xué)上作嚴(yán)格證明，而只著重于物理概念的闡述和應(yīng)用。2.李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)滿足,不失一般性，把狀態(tài)空),(txfx 0), 0(tf間原點作為平衡狀態(tài)，并設(shè)系統(tǒng)在原點鄰域存在對的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。( , )v x tx定理定理 1 1 若正定，

14、負定；則原點是漸近穩(wěn)定的。( , )v x t( , )v x t負定表示能量隨時間連續(xù)單調(diào)地衰減，故與漸近穩(wěn)定性定義敘述一致。( , )v x t定理定理 2 2 若正定；負半定，且在非零狀態(tài)不恒為零；則原點是漸近( , )v x t( , )v x t穩(wěn)定的。負半定表示在非零狀態(tài)存在，但在從初態(tài)出發(fā)的軌跡上，( , )v x t( , )0v x t ),;(00txtx不存在的情況，于是系統(tǒng)將繼續(xù)運行至原點。狀態(tài)軌跡僅是經(jīng)歷能量不變的狀0),(txv態(tài)，而不會維持在該狀態(tài)。定理定理 3 3 若正定；負半定，且在非零狀態(tài)恒為零；則原點是李雅普( , )v x t( , )v x t332諾

15、夫意義下穩(wěn)定的。沿狀態(tài)軌跡能維持，表示系統(tǒng)能維持等能量水平運行，使系統(tǒng)維持在非零0),(txv狀態(tài)而不運行至原點。定理定理 4 4 若正定；正定；則原點是不穩(wěn)定的。( , )v x t( , )v x t正定表示能量函數(shù)隨時間增大，故狀態(tài)軌跡在原點鄰域發(fā)散。( , )v x t參考定理 2 可推論：正定，當(dāng)正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時，則原( , )v x t( , )v x t點不穩(wěn)定。應(yīng)注意到，李雅普諾夫函數(shù)正定的的選取是不惟一的，但只要找到一個( , )v x t滿足定理所述條件，便可對原點的穩(wěn)定性作出判斷，并不因選取的不同而有( , )v x t( , )v x t所影響。不過至今尚

16、無構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，這是應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的主要障礙。如果選取不當(dāng)，會導(dǎo)致不定的結(jié)果，這時便作不出確定的判斷，( , )v x t( , )v x t需要重新選取。( , )v x t以上定理按照連續(xù)單調(diào)衰減的要求來確定系統(tǒng)穩(wěn)定性，并未考慮實際穩(wěn)定系統(tǒng)( , )v x t可能存在衰減振蕩的情況，因此其條件是偏于保守的，故借穩(wěn)定性定理判穩(wěn)定者必穩(wěn)定，李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件。具體分析時，先構(gòu)造一個李雅普諾夫函數(shù)，通常選二次型函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)( , )v x t，再將狀態(tài)方程代入，最后根據(jù)的定號性判別穩(wěn)定性。( , )v x t( , )v x t至于如何判

17、斷在非零狀態(tài)下是否有恒為零的情況，可按如下方法進行：),;(00ttxtxv令，將狀態(tài)方程代入，若能導(dǎo)出非零解，表示對，的條件是0),(txv0 x0),(txv成立的；若導(dǎo)出的是全零解，表示只有原點滿足的條件。0),(txv例 8-13 試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 )(2221121xxxxx)(2221212xxxxx 解解 令及，可以解得原點（，）是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。01x 02x 02x01x取李雅普諾夫函數(shù)為，則)()(2221xxxv 221122)(xxxxxv將狀態(tài)方程代入有 22212( )2()v xxx 顯然負定，根據(jù)定理 1，原點是漸近穩(wěn)定的。因

18、為只有一個平衡狀態(tài)，該非線性系( , )v x t統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。又因為與t 無關(guān)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。( , )v x t例例 8-148-14 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 ，21xx 212xxx333解解 令，得知原點是惟一的平衡狀態(tài)。選，則021 xx22212)(xxxv，當(dāng)時，；當(dāng)時，故)(2)(212xxxxv021 xx0)(xv012 xx0)(xv不定，不能對穩(wěn)定性作出判斷，應(yīng)重選。)(xv( , )v x t選 ，則考慮狀態(tài)方程后得，對于非零狀態(tài)（如，2221)(xxxv222)(xxv02x）存在，對于其余非零狀態(tài)，故負半定。根據(jù)定理 2，01x0)

19、(xv0)(xv)(xv原點是漸近穩(wěn)定的，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。例例 8-158-15 下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性： ，)0(21kkxx 12xx解解 由，可知原點是惟一平衡狀態(tài)。選，考慮狀態(tài)方021 xx2221)(kxxxv程則有 1221( )220v xkx xkx x對所有狀態(tài)，故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。0)(xv例例 8-168-16 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 ，21xx 212xxx解 原點是惟一平衡狀態(tài)。選，則，與無關(guān)，故2212( )v xxx222)(xxv)(xv1x存在非零狀態(tài)（如，使，而對其余任意狀態(tài)有，故)0, 021xx0)(xv0)(xv

20、正半定。根據(jù)定理 4 的推論，系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(xv例例 8-178-17 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。，121zz2122zzz 解解 是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)，方程中的常數(shù)項可以看作是階躍輸入作用111zz的結(jié)果。作坐標(biāo)變換，。得到 ，。原狀態(tài)方111xz221xz21xx 212xxx程在狀態(tài)空間（1，1）處的穩(wěn)定性判別問題就變成變換后狀態(tài)方程在 x 狀態(tài)空間原點處z的穩(wěn)定性判別問題。選 ，對其求導(dǎo)，考慮狀態(tài)方程，得到，系統(tǒng)2212( )v xxx22222122)(xxxxv原點是大范圍一致漸近穩(wěn)定的，因而原系統(tǒng)在平衡狀態(tài)（1，1）處是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。注意：一般不能用李雅普諾夫

21、函數(shù)去直接判別非原點的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。例例 8-188-18 試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 2xaxx解解 這實際上是一個可線性化的非線性系統(tǒng)的典型例子。令，得知系統(tǒng)有兩個0 x 平衡狀態(tài)，和。0 x xa 334對位于原點的平衡狀態(tài)，選,有2( )v xx232( )222()v xaxxxax于是，當(dāng)時，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是局部一致漸近穩(wěn)定的；根據(jù)0a ()xa 定理 4，當(dāng)時，原點顯然是不穩(wěn)定的；時原點也是不穩(wěn)定的。0a 0a 0)(, 0 xvx上述結(jié)論也可以從狀態(tài)方程直接看出。對于平衡狀態(tài)，作坐標(biāo)變換，得到新的狀態(tài)方程xa zxa 2zazz 因此，通過與原狀態(tài)方程對比

22、可以斷定：對于原系統(tǒng)在狀態(tài)空間處的平衡狀態(tài)，xa 當(dāng)時是局部一致漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時是不穩(wěn)定的。0a 0a 8.3.4 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析1. 連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，為非奇異矩陣，故原點是惟一平衡狀態(tài)。可以取下列axx a正定二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，即( )v x （8-78）pxxxvt)(求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程 （8-79）xappaxxpxpxxxvtttt)()(令 （8-qappat80）得到 （8-qxxxvt)(81）根據(jù)定理 1，只要正定（即負定） ，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。于是線q)(xv性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判定條件可表示為：給定

23、一正定矩陣，存在滿足式（8-81）p的正定矩陣。q可以先給定一個正定的矩陣，然后驗證矩陣是否正定的步驟去分析穩(wěn)定性。但若pq選取不當(dāng)，往往會導(dǎo)致矩陣不定，使得判別過程多次重復(fù)進行。因此，也可以先指定pq正定的矩陣，然后驗證矩陣是否正定。qp定理定理 5 5 （證明從略）系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定正定實對稱矩陣，xaxq存在正定實對稱矩陣使式（8-80）成立。p 是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。該定理為系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性判斷帶來實用上的pxxt335極大方便，這時是先給定矩陣，采用單位矩陣最為簡單，再按式（8-80）計算并校驗qp其定號性，當(dāng)矩陣正定時，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；當(dāng)矩陣負定時，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；

24、當(dāng)矩ppp陣不定時，可斷定為非漸近穩(wěn)定，至于具體的穩(wěn)定性質(zhì)，尚須結(jié)合其它方法去判斷，既有可能不穩(wěn)定，也有可能是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定?？傊瑢τ谙到y(tǒng)是否漸近穩(wěn)定，只需進行一次計算。由定理 2 可以推知，若系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在恒為零時，矩陣可給)(xvq定為正半定的，即允許單位矩陣中主對角線上部分元素為零（取法不是唯一的，只要既簡單又能導(dǎo)出確定的平衡狀態(tài)的解即可） ，而解得的矩陣仍應(yīng)是正定的。p例例 8-198-19 試用李雅普諾夫方程確定使圖 8-19 所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的值范圍。k 圖 8-19 例 8-29 的系統(tǒng)框圖解解 由圖示狀態(tài)變量列寫狀態(tài)方程為 0100021001xxukk

25、穩(wěn)定性與輸入無關(guān)，可令。由于，非奇異，原點為惟一的平衡狀0u0detkaa態(tài)。取為正半定矩陣q 100000000q則，負半定。令，有，考慮狀態(tài)方程中 23)(xqxxxvt)(xv0)(xv03x，解得；考慮到，解得，表明唯有原點存在。313xkxx 01x21xx 02x0)(xv令 qpapat3361112131112131222231222231323331323330001000012002100001101001kppppppppppppppppppk展開的代數(shù)方程為 6 個，即 ，1320kp23111220kppp3312130kppp，0422212pp03222313pp

26、p0223323pp解得 2126012 121226312212212260122122kkkkkkkkpkkkkkkk使矩陣正定的條件為：及。故時，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。由于是線p1220k0k 06k性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。2. 離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，原點是平衡狀態(tài)。取正定二次型函數(shù)(1)( )x kx k （8-82）)()()(kpxkxkxvt以代替，有)(kxv)(xv （8-)()1()(kxvkxvkxv83）考慮狀態(tài)方程，有 （8-84） ( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( ) ( )ttttttv x kxkpx kxk px

27、 kx kp x kxk px kxkpp x k 令 （8-85）tppq 式（8-85）稱為李雅普諾夫代數(shù)方程。是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)，于是)()(kpxkxt有 （8-86）)()()(kqxkxkxvt337定理定理 6 6 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定任一正定實對稱矩陣(1)( )x kx k （常取i） ，存在正定對稱矩陣，使式（8-85）成立。 qqpas of microsoft internet explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your web pages using visual filter

28、s and transitions. you can apply visual filters and transitions to standard html controls, such as text containers, images, and other windowless objects. transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. by combining filters and transitions with basic scripting, you can create visually engaging and interactive documents.internet explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. click the following button to see