選修45絕對值不等式的解法

1、 絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修4-5第一講第一講 不等式和絕對值不等式不等式和絕對值不等式復習回顧復習回顧1.絕對值的定義：絕對值的定義：|a|=a ,a0a ,a00 ,a=02.絕對值的幾何意義：絕對值的幾何意義：實數(shù)實數(shù)a絕對值絕對值|a|表示表示數(shù)軸上坐標為數(shù)軸上坐標為a的點的點到原點的距離到原點的距離.a0|a|aba|ab|ab實數(shù)實數(shù)a,b之差的絕對值之差的絕對值|a-b|,表示它們在數(shù)軸上表示它們在數(shù)軸上對應(yīng)的對應(yīng)的a,b之間的距離之間的距離.3.3.絕對值的運算性質(zhì)：絕對值的運算性質(zhì)：2,aa aba b ，|aabb 形如形如|x|a|x|

2、a (a0)|x|a (a0)的不等式的解集的不等式的解集: :不等式不等式|x|a|x|a的解集為的解集為x|-axax|-axa|x|a的解集為的解集為x|x-ax|xa xa 0- -aa0- -aa解含絕對值不等式的四種常用思路：解含絕對值不等式的四種常用思路： 這四種思路將有助于我們有效地解決含絕這四種思路將有助于我們有效地解決含絕對值不等式的問題。對值不等式的問題。方法一：方法一： 利用絕對值的幾何意義觀察利用絕對值的幾何意義觀察方法二：方法二：利用絕對值的定義去掉絕對值符號，利用絕對值的定義去掉絕對值符號，需要分類討論需要分類討論方法三：方法三： 兩邊同時平方去掉絕對值符號兩邊同

3、時平方去掉絕對值符號方法四：方法四：利用函數(shù)圖象觀察利用函數(shù)圖象觀察探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。方法一：方法一：利用絕對值的幾何意義觀察利用絕對值的幾何意義觀察方法二：方法二： 利用絕對值的定義去掉絕對值符利用絕對值的定義去掉絕對值符號，需要分類討論號，需要分類討論方法三：方法三：兩邊同時平方去掉絕對值符號兩邊同時平方去掉絕對值符號方法四：方法四： 利用函數(shù)圖象觀察利用函數(shù)圖象觀察這是解含絕對值不等式的四種常用思路這是解含絕對值不等式的四種常用思路不等式不等式|x|1的解集表示到原點的距離小于的解集表示到原點的距離小于1的點的集合。的點的集合。0-11所以，不等式所以，不等

4、式|x|1的解集為的解集為x|-1x1探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。方法一：方法一： 利用絕對值的幾何意義觀察利用絕對值的幾何意義觀察探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。當當x0時，原不等式可化為時，原不等式可化為x1當當x0時，原不等式可化為時，原不等式可化為x1，即，即x1 0 x1 1x0綜合綜合得，原不等式的解集為得，原不等式的解集為x|1x1方法二：方法二： 利用絕對值的定義去掉絕對值符號，利用絕對值的定義去掉絕對值符號，需要分類討論需要分類討論探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。對原不等式兩邊平方得對原不等式兩邊平方得x21即即 x210即

5、即 (x+1)(x1)0即即1x1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集為的解集為x|-1x1方法三：方法三： 兩邊同時平方去掉絕對值符號兩邊同時平方去掉絕對值符號oxy111探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。從函數(shù)觀點看，不等式從函數(shù)觀點看，不等式|x|1的解集表示函數(shù)的解集表示函數(shù)y=|x|的圖象位于函數(shù)的圖象位于函數(shù)y=1的圖象下方的部分對的圖象下方的部分對應(yīng)的應(yīng)的x的取值范圍。的取值范圍。y=1所以，不等式所以，不等式|x|1的的解集為解集為x|-1x0)型不等式的解法型不等式的解法 只需將只需將axb看成一個整體，即化成看成一個整體，即化成|x|a，|x|a(a0)型型

6、不等式求解不等式求解 |axb|c(c0)型不等式的解法：先化為型不等式的解法：先化為 ，再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集 不等式不等式|axb|c(c0)的解法：先化為的解法：先化為 或或 ，再進一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集，再進一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集caxbcaxbcaxbcc=0? c0時，時，|axb|caxbc或或axbc，|axb|ccaxbc. 當當c0時，時，|axb|c的解集為的解集為r，|axb|c的解集為的解集為 . 當當c0時，時，|axb|c的解集為的解集為r，|axb|c的解集為的解集為 .|32 | 7.x

7、解不等式例例1 1. .237x原不等式解解: :237237xx 或25xx 或 |25.x xx 原不等式的解集為或|32| 1x變解不等式練習式式: :(,0)(1,)答答案案: :2|5 | 6xx解不等式例例2 2. .2656xx 原不等式解解: :225656xxxx 225602316560 xxxxxxx 或1236,xx 或1 |34|6x解不等式變練習式式: :1052,)( 1, 333答答案案: :( 1,2)(3,6).原不等式的解集為|ax+b|c(c0)型不等式比較：類型化去絕對值后集合上解的意義區(qū)別|ax+b|c-cax+b-c x|ax+bcax+bcx|a

8、x+bc, 并2|34|1.xxx解不等式例例3 3. .222234 034 0341(34)1xxxxxxxxxx 原不等式或解解1 1: :41141351xxxxxx 或或或1,513,xxx 或，或 |1,13,5.x xxx 原不等式的解集為或或2|34|1.xxx解不等式例例3 3. .2234(1)341xxxxxx 原不等式 或解解2 2: :22230450 xxxx或13,1,5,xxx 或或 |1,13,5.x xxx 原不等式的解集為或或(1)(3)0,(1)(5)0 xxxx或 (1)(0)fxa afxafxa 或或 (2)(0)f xa aaf xa (3)(

9、)( )( )f xg xf xg xf xg x 或或 (4)( )( )( )fxg xg xfxg x 22(5) fxg xfxg x 3.3.解不等式解不等式1|21|2x+1|3.+1|-1|x-3|.-3|. 答案答案: : x| |x2.2.4.4.解不等式解不等式|5|5x- - 6|6-6|6-x. .答案答案: :(0,2)(0,2)練習練習2.|2x2-x|532|xxx或6.|2x-1|11-(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 -2+2)-5 -2x1 1-(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 +2)-5 x-20)型不等式型不等式的三種解法：分區(qū)間的三種解

10、法：分區(qū)間(分類分類)討論法、圖像法和幾何法討論法、圖像法和幾何法分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖像法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況圖像法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況解不等式|x3|x1|x|的解集為_rx2521，21xx 例例3已知不等式已知不等式|x2|-|x3|m. (1)若不等式有解；若不等式有解； (2)若不等式解集為若不等式解集為r； (3)若不等式解集為若不等式解集為 . 分別求出分別求出m的范圍的范圍 思路點撥思路點撥解答本題可以先根據(jù)絕對值解答本題可以先根據(jù)絕對值|xa|的意義或的意義或絕對值不等式的性質(zhì)求

11、出絕對值不等式的性質(zhì)求出|x2|x3|的最大值和最小值，的最大值和最小值，再分別寫出三種情況下再分別寫出三種情況下m的范圍的范圍解：法一：解：法一：由由|x2|x3|(x2)(x3)|1， |x3|x2|(x3)(x2)|1， 可得可得1|x2|x3|1. (1)若不等式有解，則若不等式有解，則m(，1) (2)若不等式解集為若不等式解集為r，則，則m(，1) (3)若不等式解集為若不等式解集為 ，則，則m1，) 例例3已知不等式已知不等式|x2|-|x3|m. (1)若不等式有解；若不等式有解； (2)若不等式解集為若不等式解集為r； (3)若不等式解集為若不等式解集為 ，分別求出，分別求出

12、m的范圍的范圍 解解法二：法二：因因|x2|x3|的幾何意義為數(shù)軸上任的幾何意義為數(shù)軸上任意一點意一點p(x)與兩定點與兩定點a(2)，b(3)距離的差距離的差 即即|x2|x3|pa|pb|. 由圖像知由圖像知(|pa|pb|)max1， (|pa|pb|)min1. 即即1|x2|x3|1. (1)若不等式有解，若不等式有解，m只要比只要比|x2|x3|的最大值小的最大值小即可，即即可，即mm. (1)若不等式有解若不等式有解,求出求出m的的范圍范圍 (2)若不等式的解集為若不等式的解集為r，即不等式恒成立，即不等式恒成立，m只要比只要比|x2|x3|的最小值還小，即的最小值還小，即m1，

13、m的范圍為的范圍為(，1)； (3)若不等式的解集為若不等式的解集為 ，m只要不小于只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即的最大值即可，即m1，m的范圍為的范圍為1，) 例例3已知不等式已知不等式|x2|-|x3|m. (2)若不等式解集為若不等式解集為r； (3)若不等式解集為若不等式解集為 ，分別求出，分別求出m的范圍的范圍 1|x2|x3|1 問題問題(1)是存在性問題，只要求存在滿足條件的是存在性問題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式解集為即可；不等式解集為r或為空集時，不等式為絕對不或為空集時，不等式為絕對不等式或矛盾不等式，屬于恒成立問題，恒成立問題等式或矛盾不等式，屬于恒成立問題，恒成立問題f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa恒成立恒成立f(x)mina.2.2.若不等式若不等式| |