二次根式的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典試題講義

1、 二次根式的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典試題知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的乘法法則：（，），即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開(kāi)方數(shù)相乘. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?（1）在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)； （2）該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：（3）若二次根式相乘的結(jié)果能化簡(jiǎn)必須化簡(jiǎn)，如.知識(shí)點(diǎn)二、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（，），即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足，才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿足這個(gè)條件，等式右邊就沒(méi)有意義，等式也就不能成立了；（2） 二次根式的化

2、簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的移到根號(hào)外面.（3）作用：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)（4）步驟：對(duì)被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，結(jié)果寫(xiě)成平方因式乘以非平方因式即： 利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)（，）； 利用（一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值）即被開(kāi)方數(shù)中的一些因式移到根號(hào)外； （5）被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式可用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的除法法則：（，），即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開(kāi)方數(shù)相除. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，其中，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法

3、法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).知識(shí)點(diǎn)四、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（，），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）利用：運(yùn)用次性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問(wèn)題. 對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，其中，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0. （2）步驟：利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（，） 分別對(duì)，利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn) 分母不能有根號(hào)，如果分母有根號(hào)要分母有理化，即（） （3） 被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式可用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)知識(shí)點(diǎn)五：最簡(jiǎn)二次根式1.定義：當(dāng)二次根式滿足

4、以下兩條：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式. 把符合這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.在二次根式的運(yùn)算中，最后的結(jié)果必須化為最簡(jiǎn)二次根式或有理式. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)最簡(jiǎn)二次根式中被開(kāi)方數(shù)不含分母； (2)最簡(jiǎn)二次根式被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的次數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個(gè)因數(shù)或因式從次數(shù)只能為1次.2.把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的一般步驟：(1)把根號(hào)下的帶分?jǐn)?shù)或絕對(duì)值大于1的數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把絕對(duì)值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)；(2)被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要進(jìn)行因式分解； (3)使被開(kāi)方數(shù)不含分母；(4)將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術(shù)平方根代替后移

5、到根號(hào)外；(5)化去分母中的根號(hào)； (6)約分. 3.把一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，應(yīng)根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的不同形式，采取不同的變形方法.實(shí)際上只是做兩件事：一是化去被開(kāi)方數(shù)中的分母或小數(shù)；二是使被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.知識(shí)點(diǎn)六、同類(lèi)二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開(kāi)方數(shù)是否相同；(2)幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，只與被開(kāi)方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān).2.合并同類(lèi)二次根式合并同類(lèi)二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)

6、不變.(合并同類(lèi)二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)似) 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)； (2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式；(3)不是同類(lèi)二次根式，不能合并知識(shí)點(diǎn)七、二次根式的加減二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其中的同類(lèi)二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式，仍要寫(xiě)到結(jié)果中.在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用.二次根式加減運(yùn)算的步驟：(1)將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；(2)判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)的二次根式結(jié)合為一組；(3

7、)合并同類(lèi)二次根式.知識(shí)點(diǎn)八、二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的； (2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用； (3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式，這個(gè)形式應(yīng)是最簡(jiǎn)二次根式，或幾個(gè)非同類(lèi)最簡(jiǎn)二次 式之和或差，或是有理 式.規(guī)律方法指導(dǎo)二次根式的運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除和加減.(1)二次根式的乘除，只需將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行乘除，其依據(jù)是：；(2)二次根式的加減類(lèi)似于整式的加減，關(guān)鍵是合并同類(lèi)二次根式.

8、通常應(yīng)先將二次根式化簡(jiǎn)，再把同類(lèi)二次根式合并.二次根式運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)盡可能化簡(jiǎn).經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、二次根式的乘除運(yùn)算1、計(jì)算(1)； (2)； (3)； (4).解：(1)=； (2)=； (3)=9；(4)=.2、計(jì)算：(1)； (2)； (3)； (4).思路點(diǎn)撥：直接利用便可直接得出答案解：(1)=2； (2)=2=2； (3)=2； (4)=2.3、化簡(jiǎn)(1)； (2)； (3)； (4)； (5).思路點(diǎn)撥：利用直接化簡(jiǎn)即可解：(1)=34=12； (2)=49=36；(3)=910=90； (4)=3xy (5)=3.舉一反三【變式1】判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：(1

9、)； (2)=4=4=4=8.解：(1)不正確改正：=23=6；(2)不正確改正：=4.4、化簡(jiǎn)：(1)； (2)； (3)； (4).思路點(diǎn)撥：直接利用就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的解：(1)=(2)=(3)=； (4)=.舉一反三【變式1】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值思路點(diǎn)撥：式子=，只有a0，b0時(shí)才能成立 因此得到9-x0且x-60，即6x9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8解：由題意得，即6x9，x為偶數(shù)，x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=65、計(jì)算(1)(-)(m0，n0)； (2)-3() (a0).解：(1)原式=-=-=-；(2)原式=-2=-2=-

10、a.類(lèi)型二、最簡(jiǎn)二次根式的判別6、下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路點(diǎn)撥：判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式，就看它是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；不滿足其中任何一條的二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式.解：和都是最簡(jiǎn)二次根式，其余的都不是，理由如下：的被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)，能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，含有分母；和的被開(kāi)方數(shù)中都含有分母；和的被開(kāi)方數(shù)中分別含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)和因式.總結(jié)升華：對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的判斷，一定要把握其實(shí)質(zhì)，既要注意其中的“似是而非”，還要注意其中的“

11、似非而是”，特別象這樣的式子，帶有很大的隱蔽性，更應(yīng)格外小心.7、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式.(1)； (2)； (3)； (4)； (5)思路點(diǎn)撥：把被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及進(jìn)行化簡(jiǎn).解：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) .類(lèi)型三、同類(lèi)二次根式8、如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式和是同類(lèi)二次根式，那么a、b的值是( )a.a=2，b=1 b.a=1，b=2 c.a=1，b=-1 d.a=1，b=1思路點(diǎn)撥：根據(jù)同類(lèi)二次根式的識(shí)別方法，在最簡(jiǎn)二次根式的前提下，被開(kāi)方數(shù)相同.解：根據(jù)題意，得 解之，得，故選d.總結(jié)升華：同類(lèi)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)根指

12、數(shù)是2；(2)被開(kāi)方數(shù)相同；由此可以得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，此類(lèi)問(wèn)題都可如此.舉一反三【變式1】下列根式中，能夠與合并的是( )a. b. c. d.思路點(diǎn)撥：首先要把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式，然后比較它們的被開(kāi)方數(shù)是否相同，如果相同，就能進(jìn)行合并，反之，則不能合并.解：合并，故選b.總結(jié)升華：同類(lèi)二次根式的判斷，關(guān)鍵是能夠熟練準(zhǔn)確地化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式.【變式2】若最簡(jiǎn)根式與根式是同類(lèi)二次根式，求a、b的值思路點(diǎn)撥：同類(lèi)二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同； 事實(shí)上，根式不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把化簡(jiǎn)成 |b|，才由同類(lèi)二次根式的定義得3a-b=2，2

13、a-b+6=4a+3b解：首先把根式化為最簡(jiǎn)二次根式：=|b|由題意得，a=1，b=1.類(lèi)型四、二次根式的加減運(yùn)算9、計(jì)算(1)+ (2)-思路點(diǎn)撥：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并解：(1)+=2+3=(2+3)=5 (2)-=4-8=(4-8)=-4總結(jié)升華：一定要注意二次根式的加減要做到先化簡(jiǎn)，再合并.舉一反三【變式1】計(jì)算(1)3-9+3； (2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=+-=4+2+2-=6+；(3) (4) 【變式2】已知2.236，求(-)

14、-(+)的值(結(jié)果精確到0.01)解：原式=4-=2.2360.45.類(lèi)型五、二次根式的混合運(yùn)算10、計(jì)算:(1)(+) (2)(4-3)2.思路點(diǎn)撥：二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律解：(1)(+)=+=+=3+2；(2)(4-3)2=42-32=2-.11、計(jì)算(1)(+6)(3-)； (2)(+)(-).（3） 思路點(diǎn)撥：二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3. （3）略類(lèi)型六、化簡(jiǎn)求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y

15、2)-(x2-5x)的值思路點(diǎn)撥：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式，最后代入求值解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 (2x-1)2+(y-3)2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當(dāng)x=，y=3時(shí)，原式=+6=+3.舉一反三【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，當(dāng)x=，y=27時(shí)，原式=-=-.【

16、變式2】.已知x=+1，求（）的值類(lèi)型七、二次根式的應(yīng)用與探究13、一個(gè)底面為30cm30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？解：設(shè)底面正方形鐵桶的底面邊長(zhǎng)為x， 則x210=303020，x2=30302， x=30 答：鐵桶的底面邊長(zhǎng)是30厘米.14、如圖所示的rtabc中，b=90，點(diǎn)p從點(diǎn)b開(kāi)始沿ba邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)a移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)q也從點(diǎn)b開(kāi)始沿bc邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)c移動(dòng)問(wèn)：幾秒后pbq的面積為35平方厘米？pq的距離是多少厘米？(結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示

17、) 15、探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程(1)2=驗(yàn)證：2= =(2)3=驗(yàn)證：3=同理可得：45，通過(guò)上述探究你能猜測(cè)出： a=_(a0)，并驗(yàn)證你的結(jié)論解：a=驗(yàn)證：a=.總結(jié)升華：解答此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是根據(jù)題目給出的條件，尋找內(nèi)在聯(lián)系和一般規(guī)律，然后猜想所求問(wèn)題的結(jié)果，有利于提高綜合分析能力.【變式1】對(duì)于題目“化簡(jiǎn)求值：+，其中a=”，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的解答不同 甲的解答是：+=+=+a= 乙的解答是：+=+=+a=a= 誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的？為什么？跟蹤練習(xí)21.1 二次根式：1. 使式子有意義的條件是 。 2. 當(dāng)時(shí)，有意義。3. 若有意義，則的取值范圍是 。 4. 當(dāng)時(shí)，是二次根式。

18、5. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。6. 若，則的取值范圍是 。 7. 已知，則的取值范圍是 。8. 化簡(jiǎn)：的結(jié)果是 。 9. 當(dāng)時(shí)，。10. 把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于 。 11. 使等式成立的條件是 。12. 若與互為相反數(shù)，則。13. 在式子中，二次根式有（ ）a. 2個(gè) b. 3個(gè) c. 4個(gè) d. 5個(gè)14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） a. b. c. d. 15. 若，則等于（ ）a. b. c. d. 16. 若，則（ ） a. b. c. d. 17. 若，則化簡(jiǎn)后為（ ）a. b. c. d. 18. 能使等式成立的的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 19. 計(jì)算

19、：的值是（ ） a. 0 b. c. d. 或20. 下面的推導(dǎo)中開(kāi)始出錯(cuò)的步驟是（ ）a. b. c. d. 21. 若，求的值。22. 當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。23. 化簡(jiǎn)：（1）； （2）； （3）； （4）（5） ； （6）； （7）； （8）； 21.2 二次根式的乘除1. 當(dāng)，時(shí)，。2. 若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。3. 計(jì)算：。4. 計(jì)算：。5. 長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為 （精確到0.01）。6. 下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） a. b. c. d. 7. 已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（ ） a. b. c. d. 8. 對(duì)于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是（ ） a. b.