數(shù)值計(jì)算實(shí)習(xí)報(bào)告-牛頓插值算法(高分)

1、安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院數(shù)值計(jì)算實(shí)習(xí) -牛頓插值算法姓 名： 班 級(jí)： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)老師: 2014年6月23日星期一安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院-數(shù)值計(jì)算實(shí)習(xí)目 錄1.提出問(wèn)題22.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?23.基礎(chǔ)概念：23.1牛頓插值多項(xiàng)式的原理23.2均差（差商）及其性質(zhì)43.3牛頓插值公式及其余項(xiàng)的公式：54.算法設(shè)計(jì)55. Matlab程序?qū)崿F(xiàn)及應(yīng)用65.1舉例應(yīng)用65.2命令執(zhí)行圖：86.結(jié)果分析9參考文獻(xiàn)9附錄一：牛頓插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)10附錄二：誤差的Matlab實(shí)現(xiàn)10附錄三:生成圖像101.提出問(wèn)題上學(xué)期通過(guò)對(duì)數(shù)值分析的學(xué)習(xí)，我們知道可以用插值法求一個(gè)待定函數(shù)來(lái)近似反映函

2、數(shù)的特性，使得待定函數(shù)在給定點(diǎn)上等于函數(shù)值，在其它點(diǎn)上的函數(shù)的值作為函數(shù)的近似值。利用差值函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便。而由Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)：可知其公式中的每一項(xiàng)與所有的插值結(jié)點(diǎn)有關(guān).因此，Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù) 都需重新算過(guò)，計(jì)算量太大，在實(shí)際計(jì)算中十分不利，為了克服這一缺點(diǎn)，于是產(chǎn)生了Newton插值法。2.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?通過(guò)對(duì)牛頓插值多項(xiàng)式的Matlab程序?qū)崿F(xiàn),深入了解牛頓插值多項(xiàng)式的原理及編程解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3.基礎(chǔ)概念： 3.1牛頓插值多項(xiàng)式的原理我們知道兩點(diǎn)直線公式有：

3、我們考慮點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)為(（x，y）（x，y）)，則直線方程為：那么，在此基礎(chǔ)上增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)(x2,y2)，則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式就是：c(x)應(yīng)該是一個(gè)二次多項(xiàng)式。根據(jù)插值條件有根據(jù)插值條件：可以求出：重新寫(xiě)P2（x）：有3.2均差（差商）及其性質(zhì)定義：一階均差二階均差n+1階均差均差均有如下的基本性質(zhì)：(2) k 階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)是對(duì)稱的，或者說(shuō)均差與節(jié)點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，即均差表一階差商二階差商三階差商四階差商3.3牛頓插值公式及其余項(xiàng)的公式：newton插值多項(xiàng)式的表達(dá)式如下：其中每一項(xiàng)的系數(shù)ci的表達(dá)式如下：即為f (x)在點(diǎn)處的i階差商，（，），由差商的性質(zhì)可知：則有： 其中4.算法設(shè)計(jì)：牛

4、頓插值法利用函數(shù)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出牛頓插值多項(xiàng)式，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用牛頓插值多項(xiàng)式的值作為函數(shù)的近似值。1 輸入值及（；要計(jì)算的函數(shù)點(diǎn)。2 對(duì)給定的由計(jì)算的值。3輸出。4. 利用輸出誤差的表達(dá)式。5. Matlab程序?qū)崿F(xiàn)及應(yīng)用利用Matlab可以實(shí)現(xiàn)牛頓插值的求解、均差、誤差，多項(xiàng)式系數(shù)，并可以通過(guò)生成Matlab圖像直觀地描述原函數(shù)圖像與牛頓插值的比較，具體源代碼見(jiàn)附錄。5.1舉例應(yīng)用（改自于數(shù)值分析教材P48第2題）例：給出f(x)=lnx的數(shù)值如表所示， x0.40.5 0.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.

5、356675-0.223144(1) 列出差商表，構(gòu)造牛頓插值多項(xiàng)式并求ln0.54的值。(2) 估計(jì)ln0.54誤差分析：由牛頓插值的算法，運(yùn)用Matlab建立newtoncz.m和wucha.m文件，具體代碼分別見(jiàn)附錄一（牛頓插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)）和附錄二（誤差的Matlab實(shí)現(xiàn)）由表可知：x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.8，函數(shù)值：y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826,y3=-0.356675,y4=-0.223144所以運(yùn)用Matlab求解過(guò)程如下：（1）在matlab中輸入如下命令: clearX=0

6、.4,0.5,0.6,0.7,0.8;Y= -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.356675, -0.223144;A,C,P=newtoncz(X,Y)f=polyval(C,0.54)得出運(yùn)行結(jié)果：A = -0.9163 0 0 0 0 -0.6931 2.2314 0 0 0 -0.5108 1.8232 -2.0412 0 0 -0.3567 1.5415 -1.4085 2.1088 0 -0.2231 1.3353 -1.0310 1.2583 -2.1263C = -2.1263 6.7866 -9.0104 6.9856 -2.6488P =

7、-(1196972338462113*x4)/562949953421312+(1910253385694983*x3)/281474976710656-(5072397223433071*x2)/562949953421312+(3932520207496857*x)/562949953421312-2982240889048293/1125899906842624 f = -0.6161所以，由程序運(yùn)行結(jié)果得：差商表A如下： 差商表一階差商二階差商三階差商四階差商0,4-0.91630.5-0.69312.23140.6-0.51081.8232-2.04120.7-0.35671.541

8、5-1.40852.10880.8-0.22311.3353-1.03101.2583-2.1263牛頓插值多項(xiàng)式P為：P(x)=-2.1263x4+6.7866x3-9.0104x2+6.9856x-2.6488ln0.54的值為：f(0.54)=ln0.54=f=-0.6161（2）在matlab中輸入如下命令: f=-0.6161;x=0.54;X=0.4,0.5,0.6,0.7,0.8;R=wucha(f,x,X)得出運(yùn)行結(jié)果：R = -7.1763e-08所以，由程序運(yùn)行結(jié)果可知：估計(jì)ln0.54誤差為：R(x)=-R=7.176310-8可見(jiàn)誤差非常的小，在允許的范圍之內(nèi)一般不影響

9、結(jié)果。5.2命令執(zhí)行圖：通過(guò)Matlab程序?qū)崿F(xiàn)牛頓插值多項(xiàng)式和f(x)=lnx的圖像，便于直觀地表示出來(lái)。在Matlab中輸入附錄三程序得如下圖形：圖像對(duì)照牛頓插值多項(xiàng)式由上述圖像可見(jiàn)：兩條曲線慢慢逼近，當(dāng)x0.4時(shí)，兩條曲線基本重合，說(shuō)明Matlab求出的牛頓插值多項(xiàng)式準(zhǔn)確無(wú)誤，且誤差非常的小。6.結(jié)果分析本程序給出了計(jì)算牛頓插值多項(xiàng)式的函數(shù)，通過(guò)調(diào)用函數(shù)可以求得牛頓多項(xiàng)式與待估算點(diǎn)的值，作出了節(jié)點(diǎn)及待求多項(xiàng)式的函數(shù)圖像，能夠比較清晰的通過(guò)圖像顯示出來(lái)，總體來(lái)說(shuō)，計(jì)算結(jié)果是比較理想的，達(dá)到了我們的目的。通過(guò)Matlab程序求解上述例題，得出的牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)C與答案一致。同時(shí)求出插值多

10、項(xiàng)式的表示P，即:P(x)=-2.1263x4+6.7866x3-9.0104x2+6.9856x-2.6488的表示結(jié)果一樣。求出ln0.54的值即：f=-0.6161 。誤差的求解遵循了牛頓插值多項(xiàng)式的誤差公式，把f值代入即可求出誤差R的值。由命令執(zhí)行圖可以直觀看出，由Matlab生成的牛頓插值多項(xiàng)式是正確無(wú)誤的，達(dá)到了理想效果。多項(xiàng)式在區(qū)間0.4,0.8周圍與原函數(shù)逼近的較好. 兩條曲線基本重合，離這個(gè)區(qū)間越遠(yuǎn)與原函數(shù)的誤差越大，該圖像就越背離圖像。同時(shí)我們可以得出若節(jié)點(diǎn)越多，函數(shù)逼近的則相對(duì)較好。在節(jié)點(diǎn)附近逼近的越好，越遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)誤差越大，所以公式適用于計(jì)算節(jié)點(diǎn)附近的值于是為了減小誤差。

11、本實(shí)驗(yàn)通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)求解牛頓K次插值多項(xiàng)式，能加深對(duì)牛頓插值法的基本思路和步驟的理解。同時(shí)也加深了對(duì)均差的概念及其性質(zhì)的理解。牛頓插值法正是應(yīng)用均差的性質(zhì)，克服了拉格朗日插值法的主要缺點(diǎn)。參考文獻(xiàn)數(shù)值分析（第五版） 李慶揚(yáng)、王能超、易大義編 清華大學(xué)出版社數(shù)值分析（第七版 影印版） Richard L. Burden、J.Douglas Faires 高等教育出版社 MATLAB程序設(shè)計(jì) 王建衛(wèi) 取中水 凌賓MATLAB數(shù)值分析與應(yīng)用 張德豐數(shù)值分析 黃明游 劉播 徐濤附錄一：牛頓插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)求解插值多項(xiàng)式，返回均差、多項(xiàng)式的系數(shù)function A,C,P=newtonc

12、z(X,Y)%牛頓插值的MATLAB實(shí)現(xiàn) %這里 A為均值。C為牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成的向量。P為牛頓插值多項(xiàng)式表示。 %這里 X為n個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)所組成的向量，Y為縱坐標(biāo)所組成的向量。n=length(X); %取X得個(gè)數(shù)A=zeros(n,n); %構(gòu)成nn空數(shù)組A(:,1)=Y;for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1); endendC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k); % conv求積，poly(x)將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦給向量。 d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);endP=poly2sym(C);附錄二：誤差的Matlab實(shí)現(xiàn)求解牛頓插值多項(xiàng)式誤差function R=wucha(f,x,X)n=length(X);r=1;q=1;for i=1:n; r=i*r; q=(x-X(i)*q;endR=f*abs(q)/r;附錄三:生成圖像在同一個(gè)面框內(nèi)顯示ln(x)與牛頓插值多項(xiàng)式的圖像x=0:1/10000:1;y=log(x);plot(x,y,b)gtext(ln(x)的圖像);h