數(shù)值計算實習報告-牛頓插值算法(高分)

1、安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院數(shù)值計算實習 -牛頓插值算法姓 名： 班 級： 學 號： 指導老師: 2014年6月23日星期一安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院-數(shù)值計算實習目 錄1.提出問題22.實驗目的:23.基礎概念：23.1牛頓插值多項式的原理23.2均差（差商）及其性質43.3牛頓插值公式及其余項的公式：54.算法設計55. Matlab程序實現(xiàn)及應用65.1舉例應用65.2命令執(zhí)行圖：86.結果分析9參考文獻9附錄一：牛頓插值的MATLAB實現(xiàn)10附錄二：誤差的Matlab實現(xiàn)10附錄三:生成圖像101.提出問題上學期通過對數(shù)值分析的學習，我們知道可以用插值法求一個待定函數(shù)來近似反映函

2、數(shù)的特性，使得待定函數(shù)在給定點上等于函數(shù)值，在其它點上的函數(shù)的值作為函數(shù)的近似值。利用差值函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項式，公式結構緊湊，在理論分析中甚為方便。而由Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)：可知其公式中的每一項與所有的插值結點有關.因此，Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù) 都需重新算過，計算量太大，在實際計算中十分不利，為了克服這一缺點，于是產生了Newton插值法。2.實驗目的:通過對牛頓插值多項式的Matlab程序實現(xiàn),深入了解牛頓插值多項式的原理及編程解決實際問題的能力。3.基礎概念： 3.1牛頓插值多項式的原理我們知道兩點直線公式有：

3、我們考慮點斜式，兩點為(（x，y）（x，y）)，則直線方程為：那么，在此基礎上增加一個節(jié)點(x2,y2)，則過這三個點的插值多項式就是：c(x)應該是一個二次多項式。根據(jù)插值條件有根據(jù)插值條件：可以求出：重新寫P2（x）：有3.2均差（差商）及其性質定義：一階均差二階均差n+1階均差均差均有如下的基本性質：(2) k 階差商關于節(jié)點是對稱的，或者說均差與節(jié)點順序無關，即均差表一階差商二階差商三階差商四階差商3.3牛頓插值公式及其余項的公式：newton插值多項式的表達式如下：其中每一項的系數(shù)ci的表達式如下：即為f (x)在點處的i階差商，（，），由差商的性質可知：則有： 其中4.算法設計：牛

4、頓插值法利用函數(shù)在某區(qū)間中若干點的函數(shù)值，作出牛頓插值多項式，在這些點上取已知值，在區(qū)間的其他點上用牛頓插值多項式的值作為函數(shù)的近似值。1 輸入值及（；要計算的函數(shù)點。2 對給定的由計算的值。3輸出。4. 利用輸出誤差的表達式。5. Matlab程序實現(xiàn)及應用利用Matlab可以實現(xiàn)牛頓插值的求解、均差、誤差，多項式系數(shù)，并可以通過生成Matlab圖像直觀地描述原函數(shù)圖像與牛頓插值的比較，具體源代碼見附錄。5.1舉例應用（改自于數(shù)值分析教材P48第2題）例：給出f(x)=lnx的數(shù)值如表所示， x0.40.5 0.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.

5、356675-0.223144(1) 列出差商表，構造牛頓插值多項式并求ln0.54的值。(2) 估計ln0.54誤差分析：由牛頓插值的算法，運用Matlab建立newtoncz.m和wucha.m文件，具體代碼分別見附錄一（牛頓插值的MATLAB實現(xiàn)）和附錄二（誤差的Matlab實現(xiàn)）由表可知：x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.8，函數(shù)值：y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826,y3=-0.356675,y4=-0.223144所以運用Matlab求解過程如下：（1）在matlab中輸入如下命令: clearX=0

6、.4,0.5,0.6,0.7,0.8;Y= -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.356675, -0.223144;A,C,P=newtoncz(X,Y)f=polyval(C,0.54)得出運行結果：A = -0.9163 0 0 0 0 -0.6931 2.2314 0 0 0 -0.5108 1.8232 -2.0412 0 0 -0.3567 1.5415 -1.4085 2.1088 0 -0.2231 1.3353 -1.0310 1.2583 -2.1263C = -2.1263 6.7866 -9.0104 6.9856 -2.6488P =

7、-(1196972338462113*x4)/562949953421312+(1910253385694983*x3)/281474976710656-(5072397223433071*x2)/562949953421312+(3932520207496857*x)/562949953421312-2982240889048293/1125899906842624 f = -0.6161所以，由程序運行結果得：差商表A如下： 差商表一階差商二階差商三階差商四階差商0,4-0.91630.5-0.69312.23140.6-0.51081.8232-2.04120.7-0.35671.541

8、5-1.40852.10880.8-0.22311.3353-1.03101.2583-2.1263牛頓插值多項式P為：P(x)=-2.1263x4+6.7866x3-9.0104x2+6.9856x-2.6488ln0.54的值為：f(0.54)=ln0.54=f=-0.6161（2）在matlab中輸入如下命令: f=-0.6161;x=0.54;X=0.4,0.5,0.6,0.7,0.8;R=wucha(f,x,X)得出運行結果：R = -7.1763e-08所以，由程序運行結果可知：估計ln0.54誤差為：R(x)=-R=7.176310-8可見誤差非常的小，在允許的范圍之內一般不影響

9、結果。5.2命令執(zhí)行圖：通過Matlab程序實現(xiàn)牛頓插值多項式和f(x)=lnx的圖像，便于直觀地表示出來。在Matlab中輸入附錄三程序得如下圖形：圖像對照牛頓插值多項式由上述圖像可見：兩條曲線慢慢逼近，當x0.4時，兩條曲線基本重合，說明Matlab求出的牛頓插值多項式準確無誤，且誤差非常的小。6.結果分析本程序給出了計算牛頓插值多項式的函數(shù)，通過調用函數(shù)可以求得牛頓多項式與待估算點的值，作出了節(jié)點及待求多項式的函數(shù)圖像，能夠比較清晰的通過圖像顯示出來，總體來說，計算結果是比較理想的，達到了我們的目的。通過Matlab程序求解上述例題，得出的牛頓插值多項式的系數(shù)C與答案一致。同時求出插值多

10、項式的表示P，即:P(x)=-2.1263x4+6.7866x3-9.0104x2+6.9856x-2.6488的表示結果一樣。求出ln0.54的值即：f=-0.6161 。誤差的求解遵循了牛頓插值多項式的誤差公式，把f值代入即可求出誤差R的值。由命令執(zhí)行圖可以直觀看出，由Matlab生成的牛頓插值多項式是正確無誤的，達到了理想效果。多項式在區(qū)間0.4,0.8周圍與原函數(shù)逼近的較好. 兩條曲線基本重合，離這個區(qū)間越遠與原函數(shù)的誤差越大，該圖像就越背離圖像。同時我們可以得出若節(jié)點越多，函數(shù)逼近的則相對較好。在節(jié)點附近逼近的越好，越遠離節(jié)點誤差越大，所以公式適用于計算節(jié)點附近的值于是為了減小誤差。

11、本實驗通過MATLAB編程實現(xiàn)求解牛頓K次插值多項式，能加深對牛頓插值法的基本思路和步驟的理解。同時也加深了對均差的概念及其性質的理解。牛頓插值法正是應用均差的性質，克服了拉格朗日插值法的主要缺點。參考文獻數(shù)值分析（第五版） 李慶揚、王能超、易大義編 清華大學出版社數(shù)值分析（第七版 影印版） Richard L. Burden、J.Douglas Faires 高等教育出版社 MATLAB程序設計 王建衛(wèi) 取中水 凌賓MATLAB數(shù)值分析與應用 張德豐數(shù)值分析 黃明游 劉播 徐濤附錄一：牛頓插值的MATLAB實現(xiàn)求解插值多項式，返回均差、多項式的系數(shù)function A,C,P=newtonc

12、z(X,Y)%牛頓插值的MATLAB實現(xiàn) %這里 A為均值。C為牛頓插值多項式的系數(shù)構成的向量。P為牛頓插值多項式表示。 %這里 X為n個節(jié)點的橫坐標所組成的向量，Y為縱坐標所組成的向量。n=length(X); %取X得個數(shù)A=zeros(n,n); %構成nn空數(shù)組A(:,1)=Y;for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1); endendC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k); % conv求積，poly(x)將該多項式的系數(shù)賦給向量。 d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);endP=poly2sym(C);附錄二：誤差的Matlab實現(xiàn)求解牛頓插值多項式誤差function R=wucha(f,x,X)n=length(X);r=1;q=1;for i=1:n; r=i*r; q=(x-X(i)*q;endR=f*abs(q)/r;附錄三:生成圖像在同一個面框內顯示ln(x)與牛頓插值多項式的圖像x=0:1/10000:1;y=log(x);plot(x,y,b)gtext(ln(x)的圖像);h