材料力學(xué)-3軸向拉壓變形

1、 1 1、桿的縱（軸）向總變形：、桿的縱（軸）向總變形： 3 3、平均線應(yīng)變：、平均線應(yīng)變：1LLLLL 2 2、線應(yīng)變：單位長度的線變形。、線應(yīng)變：單位長度的線變形。一、拉壓桿的變形及應(yīng)變一、拉壓桿的變形及應(yīng)變1LLL3 31 1 拉壓桿的變形拉壓桿的變形與疊加原理與疊加原理abcdxL4 4、x點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變：點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變：xxxdlim 06 6、x點(diǎn)處的橫向線應(yīng)變：點(diǎn)處的橫向線應(yīng)變：5 5、桿的橫向變形：、桿的橫向變形：accaacacacPP d ac bxxdL1二、拉壓桿的胡克（彈性）定律二、拉壓桿的胡克（彈性）定律FLLANF LFLLEAEA1 1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定

2、律、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。稱為桿的抗拉壓剛度。PP 1)()(1)d(ExAxNEdxx2 2、單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律、單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律 1:E即3 3、泊松比（或橫向變形系數(shù)）、泊松比（或橫向變形系數(shù)） = E: = 或或三、是誰首先提出彈性定律三、是誰首先提出彈性定律 彈性定律是材料力學(xué)等固體力學(xué)一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)。一般認(rèn)為它是由英國科學(xué)家胡克(1635一1703)首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實(shí)，在胡克之前1500年，我國早就有了關(guān)于力和變形成正比關(guān)系的記載?！啊焙赫垎枺?弛其弦，以繩緩援之是什么意思? 鄭：這是講測量弓力時(shí)，先將弓的弦 松

3、開，另外用繩子松松地套住弓的兩端，然后加重物，測量。 胡：我明白了。這樣弓體就沒有初始應(yīng)力，處于自然狀態(tài)。 東漢經(jīng)學(xué)家鄭玄(127200)對(duì)考工記弓人中“量其力，有三均”作了 這樣的注釋：“假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石，則張一尺?！?(圖) 鄭：后來，到了唐代初期，賈公彥對(duì)我的注釋又作了注疏，他說：鄭又云假令弓力勝三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，當(dāng)弛其弦以繩緩擐之者，謂不張之，別以繩系兩蕭，乃加物一石張一尺、二石張二尺、三石張三尺。 其中”“兩蕭 就是指弓的兩端。一條“胡：鄭老先生講“每加物一石，則張一尺”。和我講的完全是同一個(gè)意思。您比我早

4、1500中就記錄下這種正比關(guān)系，的確了不起，和推測一文中早就推崇過貴國的古代文化： 目前我們還只是剛剛走到這個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的邊緣，然而一旦對(duì)它有了充分的認(rèn)識(shí)，就將會(huì)在我們面 前展現(xiàn)出一個(gè)迄今為止只被人們神話般地加以描述的知識(shí)王國”。1686年關(guān)于中國文字和語言的研究真是令人佩服之至我在L1L2L32PP332211321EAPlEAPlEAPlllll 332211EAPlEAPlEAPllP2211222EAPlEAPllP 3322112EAPlEAPlEAPllllPP例：例： 解解2： 四、多力桿的變形與疊加原理四、多力桿的變形與疊加原理 由此可見：兩解相同，即幾個(gè)載荷同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效

5、果，由此可見：兩解相同，即幾個(gè)載荷同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果， 等于各載荷單獨(dú)作用所產(chǎn)生的效果的總和。等于各載荷單獨(dú)作用所產(chǎn)生的效果的總和。 力的疊加原理力的疊加原理(線代數(shù)方程線代數(shù)方程)適用范圍：適用范圍：(物理線性、幾何線性、小變形物理線性、幾何線性、小變形)。疊加原理：將復(fù)雜問題可化為許多簡單問題疊加。疊加原理：將復(fù)雜問題可化為許多簡單問題疊加。 例例1： 受拉空心圓桿內(nèi)周長是變大還是變小，改變量多少？受拉空心圓桿內(nèi)周長是變大還是變小，改變量多少？ PEdDPAEPE224EdDP224EdDPddsEdDPdsudd22022044解：解：設(shè)設(shè)ds弧長改變量為弧長改變量為du，則，則du

6、=ds例例2：桿件受力如圖所示。桿件受力如圖所示。（1）計(jì)算桿件各段的變形即全桿的總變形；）計(jì)算桿件各段的變形即全桿的總變形；（2）計(jì)算）計(jì)算B,C,D,E,F諸截面的相對(duì)于諸截面的相對(duì)于A截面的位移，并繪制截面的位移，并繪制 全桿各截面相對(duì)于全桿各截面相對(duì)于A截面的位移沿桿軸的變化規(guī)律圖。截面的位移沿桿軸的變化規(guī)律圖。4PABCDEF1.5EA1.5EA2EA2EAEAEAEAEA剛體剛體aaaaa5P2P解：解：C1、怎樣畫小變形放大圖？變形圖嚴(yán)格畫法，圖中弧線；求各桿的變形量Li ，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。一、一、 小變形放大圖與位移的求法。ABCL1L2P1L2LC3 32

7、 2 桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架的節(jié)點(diǎn)位移 2、寫出圖2中B點(diǎn)位移與兩桿變形間的關(guān)系A(chǔ)BCL1L21L2LBuBvB1LuB解：變形圖如圖2， B點(diǎn)位移至B點(diǎn)，由圖知：sinctg21LLvBF例例3：試定性畫出圖示結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)試定性畫出圖示結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)B的位移圖。的位移圖。BP12PN1N2B12BB2BL2060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例4 設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設(shè) P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和 C點(diǎn)的垂直位移。設(shè)剛索的 E =177GPa。解

8、：方法1：小變形放大圖法 1）求鋼索內(nèi)力：以ABCD為對(duì)象2) 鋼索的應(yīng)力和伸長分別為：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）變形圖如左圖 , C點(diǎn)的垂直位移為：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL3 33 3 拉壓與剪切應(yīng)變能拉壓與剪切應(yīng)變能一一、應(yīng)變能：應(yīng)變能：桿件發(fā)生彈性變形，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)樽冃文苜A存 于桿內(nèi)，這種能成為應(yīng)變能（Strain Energy）用“ ”表示。二、二、 拉

9、壓桿的應(yīng)變能計(jì)算：拉壓桿的應(yīng)變能計(jì)算： 不計(jì)能量損耗時(shí)，外力功等于應(yīng)變能。NF (x)(EA dd ) N1VWF (x)2ddd 2NF(x)Vx2EAddN22NNLF LF(x)FLVx2EA22EA dVVVBFfAOd應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 ： 單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。dxxxddN(x)N(x)xd)(xN三、拉壓與剪切應(yīng)變能密度三、拉壓與剪切應(yīng)變能密度dVdVdV 單元體單元體dxdydzdV 2.純剪純剪 dxdzdydVdxdydz22 222G 1.軸向拉壓軸向拉壓dF ddxdz dydVdxdydz222 222E dxdydzdydxdzkN55.113

10、/PT解：方法2：能量法： （外力功等于變形能） （1）求鋼索內(nèi)力：以ABD為對(duì)象：060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTm例例5 設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設(shè) P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和 C點(diǎn)的垂直位移。設(shè)剛索的 E =177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXAEALTPC222mm79. 0 36.76177206 . 155.11 22PEALTCMPa1511036.7655.119AT（2) 鋼索的應(yīng)力為：（3) C點(diǎn)位移為：800400400CPAB60 60能量法能量法

11、：利用應(yīng)變能的概念解決與結(jié)構(gòu)物：利用應(yīng)變能的概念解決與結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題，這種方法或構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題，這種方法稱為能量法。稱為能量法。例例6：已知各桿拉壓剛度均為：已知各桿拉壓剛度均為EA ，試求節(jié)點(diǎn)，試求節(jié)點(diǎn)B的垂直位移的垂直位移fB。CBAL312F45BCFN1N2N3N14545解：1.軸力分析(由節(jié)點(diǎn)B、C平衡) PN21(拉) PN2(壓),PN 3(壓) 2.應(yīng)變能計(jì)算2222331122P L2 1N LN LN LV2EA2EA2EAEA 3.位移計(jì)算 外力功： BFfW2 由能量守恒： WV2BBF L2 12FL2 1Fff2EAEA4.對(duì)比：用幾何

12、法求節(jié)點(diǎn)位移 例例7：精密儀器底板隔振器。鋼桿、鋼套視為剛體，：精密儀器底板隔振器。鋼桿、鋼套視為剛體， 橡皮切變模量橡皮切變模量G。求鋼桿位移。求鋼桿位移。 解：軸對(duì)稱問題解：軸對(duì)稱問題 1.應(yīng)力分析應(yīng)力分析 橡皮管中假想截取半徑為橡皮管中假想截取半徑為r的圓柱體，可假設(shè)剪應(yīng)力均布的圓柱體，可假設(shè)剪應(yīng)力均布 (剪應(yīng)變相等剪應(yīng)變相等) 020PrhFzrhP22.應(yīng)變能計(jì)算22222P18GhVr2G2h2D 2h2D 22200d 200d 2P1Vrdrd dzdrd dz8 Ghr dDhGPlnln423.變形分析 FW22P lnD lndF24 hGF lnD lnd2 hG4.討

13、論討論 (1)如不采用能量法，用材料力學(xué)方法難以求解。如不采用能量法，用材料力學(xué)方法難以求解。 (2)解的近似性解的近似性 圓管上、下端不受力，如果假定以外壁受均布剪應(yīng)力，圓管上、下端不受力，如果假定以外壁受均布剪應(yīng)力， 將將 不符合剪應(yīng)力互等定理。對(duì)于短而壁厚的橡皮墊管，誤差不符合剪應(yīng)力互等定理。對(duì)于短而壁厚的橡皮墊管，誤差 可能較大?？赡茌^大。 3 34 4 拉壓超靜定問題及其處理方法拉壓超靜定問題及其處理方法1、超靜定問題、超靜定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力 （外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法一、超靜定問題及其處理方法2、超靜定的處理方法、超靜定的處理方法

14、：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理 方程相結(jié)合，進(jìn)行求解。例例8 設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2， L3 =L ；各桿面積為A1=A2=A， A3 ；各桿彈性模量為：E1=E2=E，E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：物理方程彈性定律：補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得:cos31LLcos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ;

15、 cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L平衡方程；幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；物理方程彈性定律；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。3、超靜定問題的方法步驟：、超靜定問題的方法步驟：例例9：等截面直桿受力如圖所示。試?yán)L軸力圖和各截面相對(duì)等截面直桿受力如圖所示。試?yán)L軸力圖和各截面相對(duì) 固段固段A截面沿桿軸的相對(duì)位移變化規(guī)律圖。截面沿桿軸的相對(duì)位移變化規(guī)律圖。ABCDPPLLLRARDPPABCDP3P32P32P3+_ABBB AP3EAC AP3EAD A0P3P3例例1010木制短柱的四角用四個(gè)40404的等邊角鋼加固，角鋼

16、和木材的許用應(yīng)力分別為1=160M Pa和2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許可載荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL幾何方程物理方程及補(bǔ)充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 方法1:角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30

17、807. 0/111AP mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)，的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)， 即角鋼決定最大載荷。即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若將鋼的面積增大另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？倍，怎樣？ 若將木的面積變?yōu)槿魧⒛镜拿娣e變?yōu)?5mm，又又怎樣？怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。方法2:1LLBCDFLL2CD45CCC45FFN2FN1FByFBx例例11 如圖所示，桿如圖所示

18、，桿1，2的彈性模量均為的彈性模量均為E，橫截面面積均為，橫截面面積均為A, 梁梁BD為剛體，為剛體，F(xiàn)=50KN,t=160MPa， ,c=120MPa。 試確定各桿的橫截面積。試確定各桿的橫截面積。建立平衡方程建立平衡方程0 02 2L LF F2 2L LF FL Ls si in n4 45 5F F0 0, ,M MN N2 2N N1 1B B建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程2121N11N11N22N22N2N1L2CC2 2 LL2 2 LF L2F LLEAF LF LLEAF4FEA EA即即： 根根據(jù)據(jù)胡胡克克定定律律：得得：0F22F22F2N1N截面設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)N1059.4128F28F441NN2F24c2N225t1N1m1083. 3FAm1017. 7FA例例12 如圖所示，已知各桿各截面的抗拉剛度均為EA，桿1，2 的長度均為L。試求各桿的軸力。 231CFC45L1L2L34545FN2FFN3FN1C建立平衡方程建立平衡方程0F45cosFF, 0F045sinFF, 0F3N2Ny3N1Nx建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程2211CC CCCC,()202),)321N3N1N2N1N2N3 LLL 2FFFF(12 F2FFFF2(122(122(12