線性代數(shù)15行列式習(xí)題課

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 線性代數(shù)線性代數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.5 習(xí)題課習(xí)題課機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 行列式計(jì)算方法小結(jié) 利用行列式的定義利用行列式的定義 化三角形法化三角形法 拆行拆行( (列列) )法法 按某一行按某一行( (列列) )或某或某k k行行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi) 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 遞推法遞推法 加邊法加邊法( (升階法升階法) ) 利用已知行列式的結(jié)論利用已知行列式的結(jié)論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0000000000000000 xyxydxyyx例例1.1.計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式 分析分析 0 0 較多較多, ,

2、用行列用行列式定義或展開(kāi)定理式定義或展開(kāi)定理. .解解( (一一) )由行列式定義由行列式定義 (231)1( 1)( 1)nnnnnndxyxy ( (二二) )按第一列展開(kāi)按第一列展開(kāi)此行列式此行列式, , 得得1 110000000000( 1)( 1)0000000000nxyyxydxyxyxxy 1( 1)nnnxy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2412371459272512d 213141( 1)2,1422035601930140rrrr rr 131422173429571522ccd 241422014001930356rr 化上三角形化上三角形例例2.2.計(jì)算（

3、計(jì)算（1 1） 方法一方法一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2412371459272512d 3242( 1)31422014000530076rrrr 241422014001930356rr 437()51422014000530009 5rr 9化上三角形化上三角形機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2412371459272512d 213141( 1)2,2412530691034100rrrr rr 12( 1)2350913410rr 536913410 23541 9展開(kāi)降階展開(kāi)降階方法二方法二 3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1111123414916182764

4、d =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12范德蒙行列式范德蒙行列式(2)1234422221234333312341111xxxxvxxxxxxxx14()jiijxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1234234134124123d 10234011300440004 10234103411041210123d (3)10234011302220111 =160解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.3.證明證明證明證明: :法一法一: : 左左1111111112222222223333333332bccaababcbccaababcbccaab

5、abc111111112222222233333112233333bcabccabbcabccabbcabccaaaaaaba111111222222333333bcacabbcacabbcacab右右機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法二法二: : 左左1323cccc1112223332abcabcabc1121111122223322333332bccabbccaaaaaaabbccab1111122222333332bcaabbcaabbcaab12312cccc3123cccc1112223332bcabcabca12cc右右機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 121212nnna

6、baaaabadaaab解解: :12,3,iccin212121ninininininiabaaababaabaab d每行元素之和相同，每行元素之和相同，2n列加至首列列加至首列例例4.4.計(jì)算計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1212,3,0000ininirrinabaabb 11()()nniibab注注: :本題首行乘以本題首行乘以(-1)(-1)加至加至2 2至至n行可得箭形行列式行可得箭形行列式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 121212123nnnxaaaaxaadaaxaaaax例例5 5 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 分析分析每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后無(wú)法

7、通過(guò)2至末行減首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.112222,3,112311() 11innnrrininiaaaxaadxaaxaaax解：解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 111()2122,3,1121321000100() 101iincaciininxaxaaaxaaaaaxa121()()()()ninixaxaxaxa11()()nniiiixaxa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解: :分析分析首行乘以(1)加至2至n行可得箭形行列式1231111111111(0,1,2, )1111111111inaada

8、inaa11112()22,3,311111000000000000iiniiaccainnaaaaaa 11213111111000000000naaadaaaa 123112211(1)(1)nnnniiiiaa aaaa aaaa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 121121121123123111011nnnnxaaaaxaaaaxaaaaxaaaa例例7. 7. 解方程解方程解法解法( (一一) )末列末列(-ai)加至第加至第i列列(i=1,2,n)得上三角形得上三角形. . (二二)末行末行(-1)加至加至1 1至至n行行, , 再由行列式定義或按末列展開(kāi)再由行列式定義或按末列

9、展開(kāi). (三三)末行起末行起, ,每行減其上行每行減其上行, ,再由行列式定義或按末列展開(kāi)再由行列式定義或按末列展開(kāi). . (四四)方程為一元方程為一元n次方程次方程, ,最多有最多有n個(gè)實(shí)根個(gè)實(shí)根, ,而當(dāng)而當(dāng)x =a1,a2,an時(shí)時(shí), ,方程左邊行列式兩行相同方程左邊行列式兩行相同, ,值為值為0,0,方程成立方程成立, ,故為根故為根. .1231112311223112321123110nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaax 1.2例解方程例解方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8 8 計(jì)算計(jì)算 (p23)2 nababab

10、dcdcdcd特點(diǎn)特點(diǎn): :“0 0”多多方法方法: : 降階找遞推公式降階找遞推公式0000機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：法解：法( (一一) ) 按第按第1 1行展開(kāi)行展開(kāi), , 再再20000nababdacdcdd 210( 1)000nababbcdcdc 遞推公式遞推公式: :add2(n-1)bcd2(n-1) ( (adbc) )d2(n-1) d2n( (adbc) )d2(n-1) ( (adbc) )2d2(n-2) ( (adbc) )n-1d2( (adbc) )n按末行展開(kāi)按末行展開(kāi)，有：，有：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法( (二二) )按中間

11、兩行展開(kāi)按中間兩行展開(kāi)拉普拉斯定理拉普拉斯定理, ,重復(fù)此步驟重復(fù)此步驟. . 1122(1)( 1)nnnnnnababababdcdcdcdcd法法( (三三) )d0, ,用定義用定義；d0, 化下三角形行列式化下三角形行列式. .( (adbc) )d2(n-1) ( (adbc) )2d2(n-2) ( (adbc) )n-1d2( (adbc) )n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9111nd 1()nndd 1nndd 223()nndd221()ndd 解解: :按首行按首行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi), ,變形為變形為: :22()()n n 12()nndd 后一行列式

12、再按首列后一行列式再按首列( (行行) )展開(kāi)得展開(kāi)得dn-2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 112()nnnndddd n 、消去消去dn-1得得 11()nnnd 時(shí)時(shí)11()nnnd 1nnndd 12()nnnd 按另一種方式變形為按另一種方式變形為: :1nndd n 12()nnnddd 222nnd (1)nn 時(shí)時(shí)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 123123123123(2)(0)nnnnxaaaaaxaaandaaxaaxaaaxa例例10 10 計(jì)算計(jì)算 (p26)(一) 2至n列加至首列,再2至n行減首行得上三角形行列式 (二) 2至n行減首行得箭形行列式 (三)

13、 加邊(升階)法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 123123123123(2)(0)nnnnnxaaaaaxaaandaaxaaxaaaxa 123123112323123110000nnnnnnnxaaaaaxaaadaaxaaaaaaaaxaa 解：解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1123( 1)2,3,1111000100010001000inrrinnaaaaxxxx 箭形行列式箭形行列式112311()2,3,1110000000000000000jnjnjccxjnnaaaaaxxxxx 1(1)njnjaxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 211212212221

14、2111nnnnnxx xx xx xxx xdx xx xx 例例11主對(duì)角線上元素去掉1,則各行分別有公因子x1, x2,xn, 提取公因子后各行元素都是x1, x2, xn,故考慮“加邊法”1221121221222121010101nnnnnnxxxxx xx xx xxx xx xx xx 第2行減去第1行的x1倍,第3行減去第1行的x2倍,第n+1行減去第1行的xn倍.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12121100010001nnxxxxxx 21212110100100100001nininiixxxxx 箭形行列式箭形行列式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 naambb

15、oacbo (1 2) (12)( 1)( 1)nmmm nmncabab(1) mnab例例12 設(shè)設(shè)則則( (一一) )按前按前n行展開(kāi)得行展開(kāi)得 ( (二二) )b的第一行逐行向上交換經(jīng)n次至c的首行, b的原第二行逐行向上交換經(jīng)n次至c的第二行,直至b位于c的左上角, 得 ( 1)( 1)mnmnbocb aoa (92 考研 數(shù)四 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 100011000110001100011aaaadaaaaa1-a+a2-a3+a4-a5 (96(96考研數(shù)五考研數(shù)五 ) )(一) 25列加至首列, 按首列展開(kāi), 得同型四階行列式再24列加至首列, 按首列展開(kāi),

16、 三階行列式對(duì)角線法則展開(kāi)易得.(二) 從末列起, 每列加至前列, 所得行列式從首列起, 每列(-a)加至后列, 即得下三角形行列式.例例13 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0111110111110111110111110nd(1)n1(n1) (97(97考研數(shù)四考研數(shù)四 ) )ab 型行列式型行列式例例14 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2123222122230333245354435743xxxxxxxxxxxxxxxx (99(99考研數(shù)二考研數(shù)二) )2 24 4列減首列，再列減首列，再2 2列加至列加至4 4列：列： 根的個(gè)數(shù)為（根的個(gè)數(shù)為（ ） (a) 1 (b)

17、 2 (c) 3 (d) 4210022100331214376xxxxxxb212122176xxxx例例15 15 方程方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3040222207005322d28 (01(01考研數(shù)四考研數(shù)四 ) ) 若題為若題為“代數(shù)余子式之和代數(shù)余子式之和”, ,則為則為0 0，因?yàn)榈?，因?yàn)榈? 2行全為行全為2;2;本本題題“余子式之和余子式之和”可直接計(jì)算可直接計(jì)算, ,因?yàn)楹驗(yàn)楹? 0較多較多. . 若若0 0不多，技巧：不多，技巧： ，第四行各元素余子式之和的值為，第四行各元素余子式之和的值為 3040222207001111m41+m42+m43+m44

18、a41+a42a43+a44例例16 設(shè)設(shè)28 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1122334400000000ababbaba (96(96考研數(shù)一、二考研數(shù)一、二 ) )前例! 用定義. 可按2、3兩行展開(kāi). 四階行列式四階行列式 的值等于（的值等于（ ） d(a) a1a2a3a4b1b2b3b4(b) a1a2a3a4+b1b2b3b4(d) (a2a3b2b3)(a1a4b1b4)(c) (a1a2b1b2)(a3a4b3b4)例例1717機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè): p32-33 習(xí)題1.4 1, 2, 3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222200001

19、 2()0000123(2 )0000002(21)()000012(21)aaa ba bababdanba nbanb 備用題備用題1.1. 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 分析分析 n+2階的三對(duì)角行列式.其非0元特點(diǎn)!化下三角形：第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列的-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至將新的第n+1列-(a+nb)倍加到第n+2列。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解:第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,直至新第n1列-(a+nb)倍加到第n2列,得:000001000001200000001(1)aabdabanb a(a+b)(a+2b)a+(n+1)b機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 112200000000011111nnaaaadaa備用題備用題2 2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 解解( (一一) )12300000000000000001231naaadann分析分析第1列加到第2列,新的第2列加到第3列,直至新的第n列加到第n1列 12( 1) (1)nnna aa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)