第五章2數(shù)學問題與數(shù)學考試

1、第五章第五章2 2 數(shù)學問題與數(shù)學考試數(shù)學問題與數(shù)學考試u 數(shù)學問題的內(nèi)涵數(shù)學問題的內(nèi)涵u 問題解決的教學問題解決的教學u 數(shù)學考試中的命題探討數(shù)學考試中的命題探討 學學 習習 提提 要要一、數(shù)學問題是什么一、數(shù)學問題是什么 l一般的數(shù)學問題一般的數(shù)學問題l教學中的數(shù)學問題教學中的數(shù)學問題l數(shù)學問題的發(fā)展：數(shù)學問題的發(fā)展： 從傳統(tǒng)的問題到問題解決的提出從傳統(tǒng)的問題到問題解決的提出一般的數(shù)學問題一般的數(shù)學問題n廣義的數(shù)學問題是指在數(shù)量關(guān)系和空間形式中廣義的數(shù)學問題是指在數(shù)量關(guān)系和空間形式中出現(xiàn)的困難和矛盾。出現(xiàn)的困難和矛盾。 例如幾何問題，復數(shù)問題，例如幾何問題，復數(shù)問題，四色問題等等。四色問題

2、等等。 n狹義的數(shù)學問題則是已經(jīng)明顯地表示出來的題狹義的數(shù)學問題則是已經(jīng)明顯地表示出來的題目，用命題的形式加以表述，目，用命題的形式加以表述， 包括證明類問題，包括證明類問題，求解類問題等。求解類問題等。 教學中的數(shù)學問題教學中的數(shù)學問題l在數(shù)學教學中，把結(jié)論已知的題目也稱為問題。在數(shù)學教學中，把結(jié)論已知的題目也稱為問題。l這時候的數(shù)學題指：為實現(xiàn)教學目標而要求師生們進行解答這時候的數(shù)學題指：為實現(xiàn)教學目標而要求師生們進行解答的數(shù)學知識系統(tǒng)，包括一個待計算的答案，一個待證明的結(jié)的數(shù)學知識系統(tǒng)，包括一個待計算的答案，一個待證明的結(jié)論，一個待作出的圖形，一個待判斷的命題，一個待建立的論，一個待作出

3、的圖形，一個待判斷的命題，一個待建立的概念，一個待解決的實際問題等。概念，一個待解決的實際問題等。l它們的表現(xiàn)形式可以是課堂上的提問、范例、課堂練習、課它們的表現(xiàn)形式可以是課堂上的提問、范例、課堂練習、課外作業(yè)題和測驗考試題等。外作業(yè)題和測驗考試題等。l其內(nèi)容包括：需要建立的概念、求證的定理、待推導的公式，其內(nèi)容包括：需要建立的概念、求證的定理、待推導的公式， 以及師生共同進行探討的研究性課題。以及師生共同進行探討的研究性課題。 數(shù)學問題的發(fā)展數(shù)學問題的發(fā)展從傳統(tǒng)的問題到問題解決的提出從傳統(tǒng)的問題到問題解決的提出 1 1、傳統(tǒng)的數(shù)學題的特征：、傳統(tǒng)的數(shù)學題的特征：接受性、封閉性接受性、封閉性和

4、和確定性確定性； 2 2、2020世紀世紀8080年代以來，國際上倡導年代以來，國際上倡導“問題解決問題解決”數(shù)學教數(shù)學教學模式，這里的問題在學模式，這里的問題在障礙性和探究性障礙性和探究性上提出了較高上提出了較高的要求，波利亞的解釋為的要求，波利亞的解釋為“有意識地尋求某一適當?shù)挠幸庾R地尋求某一適當?shù)男袆?，以便達到一個被清楚地意識到但又不能立即達行動，以便達到一個被清楚地意識到但又不能立即達到的目的。解決問題是這種尋求的活動到的目的。解決問題是這種尋求的活動”，問題的產(chǎn)，問題的產(chǎn)生過程如下圖：生過程如下圖：體現(xiàn)體現(xiàn)“問題解決問題解決”的數(shù)學問題類型的數(shù)學問題類型1 1、可以構(gòu)建模型的非常規(guī)的

5、實際問題、可以構(gòu)建模型的非常規(guī)的實際問題例例1 1 某企業(yè)有某企業(yè)有5 5個股東，個股東，100100名工人，年底公布經(jīng)營業(yè)績，名工人，年底公布經(jīng)營業(yè)績，如下表所示如下表所示 : : 1990 1990年年 19911991年年 19921992年年股東紅利股東紅利 5 5萬萬 7.5 107.5 10萬萬工資總額工資總額 1010萬萬 12.512.5萬萬 1515萬萬現(xiàn)在請大家分析根據(jù)此表的數(shù)據(jù)所畫的三種圖：現(xiàn)在請大家分析根據(jù)此表的數(shù)據(jù)所畫的三種圖： （2）（1）（3）圖12 2、探究性問題、探究性問題 通過數(shù)學活動獲得成功的體驗建立自信以完善人格通過數(shù)學活動獲得成功的體驗建立自信以完善人

6、格 例例1 1：學習完三角形內(nèi)角和定理，讓學生探索四邊形、五邊：學習完三角形內(nèi)角和定理，讓學生探索四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和并歸納形等多邊形的內(nèi)角和并歸納 3 3、開放性問題、開放性問題 旨在培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性以利于學生創(chuàng)新精旨在培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性以利于學生創(chuàng)新精神的養(yǎng)成神的養(yǎng)成例例2 2：在三角形：在三角形abcabc中三邊中三邊a a、b b、c c成等差數(shù)列，由此可得哪成等差數(shù)列，由此可得哪些結(jié)果些結(jié)果 4 4、情景性問題、情景性問題讓學生經(jīng)歷重要的、有價值的數(shù)學思維活動的過程讓學生經(jīng)歷重要的、有價值的數(shù)學思維活動的過程例例3 3 （掛歷問題）掛歷對于我們每個人都

7、不陌生，（掛歷問題）掛歷對于我們每個人都不陌生，你曾探究過其中的數(shù)學問題嗎？你曾探究過其中的數(shù)學問題嗎？ 數(shù)學問題解決的教學數(shù)學問題解決的教學n什么是什么是“數(shù)學問題解決數(shù)學問題解決”？ 問題解決是問題解決是指綜合地、創(chuàng)造性地運用各種數(shù)學知識去解指綜合地、創(chuàng)造性地運用各種數(shù)學知識去解決那種非單純練習題式的問題，包括實際問題和源于數(shù)決那種非單純練習題式的問題，包括實際問題和源于數(shù)學內(nèi)部的問題。學內(nèi)部的問題。n數(shù)學問題解決的教育意義數(shù)學問題解決的教育意義 學數(shù)學應(yīng)該是學數(shù)學應(yīng)該是“做數(shù)學做數(shù)學”，即讓學生通過問題解決來，即讓學生通過問題解決來學習數(shù)學。學習數(shù)學。 以以“問題解決問題解決”作為數(shù)學教

8、育的中心，則是應(yīng)當努力作為數(shù)學教育的中心，則是應(yīng)當努力幫助學生學會幫助學生學會“數(shù)學地思維數(shù)學地思維”。 問題解決教學的策略問題解決教學的策略1.1.創(chuàng)設(shè)問題情景，選擇好問題；創(chuàng)設(shè)問題情景，選擇好問題；2.2.形成知識組塊，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)；形成知識組塊，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)；3.3.加強數(shù)學思維解題策略訓練，注意及時反饋；加強數(shù)學思維解題策略訓練，注意及時反饋；4.4.引導學生開展探索活動。引導學生開展探索活動。 “以習題演練為基礎(chǔ)，以問題解決為主導以習題演練為基礎(chǔ)，以問題解決為主導”創(chuàng)新性數(shù)學問題欣賞創(chuàng)新性數(shù)學問題欣賞n例例1.1.（荷蘭）（荷蘭） a a離學校離學校1010千米，千米，b b離離a

9、a有有3 3千米，試問千米，試問b b離學校離學校幾千米？幾千米？n例例2.2.加工資問題（美國）加工資問題（美國） 某人在一公司工作，目前年薪為某人在一公司工作，目前年薪為1 1萬元。老板萬元。老板說，這里有兩種方案供你選擇。第一種：每一說，這里有兩種方案供你選擇。第一種：每一年加年加10001000元；第二種：每半年加元；第二種：每半年加300300元。試問，元。試問，如果你在該公司工作如果你在該公司工作5 5年，究竟用哪種方案得年，究竟用哪種方案得到的收入多？到的收入多？n例例3.3.門后的車（美國）門后的車（美國） 有三扇門，只有一扇門內(nèi)有一輛車，若猜中即有三扇門，只有一扇門內(nèi)有一輛車

10、，若猜中即開走。現(xiàn)我猜開走?，F(xiàn)我猜1 1號門，然后主持人將號門，然后主持人將2 2、3 3號門中號門中無車的打開，例如無車的打開，例如3 3號門內(nèi)無車?，F(xiàn)在請問：你號門內(nèi)無車?，F(xiàn)在請問：你是否要換選是否要換選2 2號門？號門？三、數(shù)學考試中的命題探討三、數(shù)學考試中的命題探討n確定試卷結(jié)構(gòu)確定試卷結(jié)構(gòu)n單題命題的方法單題命題的方法n試卷組拼的技術(shù)試卷組拼的技術(shù)n參考答案和評分標準的編制參考答案和評分標準的編制 確定試卷結(jié)構(gòu)主要考慮如下幾個方面：確定試卷結(jié)構(gòu)主要考慮如下幾個方面：（1 1）內(nèi)容覆蓋率，重點內(nèi)容，各章節(jié)內(nèi)容比例；）內(nèi)容覆蓋率，重點內(nèi)容，各章節(jié)內(nèi)容比例；（2 2）內(nèi)容要求及分數(shù)分布；）

11、內(nèi)容要求及分數(shù)分布；（3 3）學科能力要求，確定各項學科能力的考查力度和考察）學科能力要求，確定各項學科能力的考查力度和考察比例；比例；（4 4）題型比例，選定本次考試擬使用的各種題型，確定各）題型比例，選定本次考試擬使用的各種題型，確定各種題型試題的比例；種題型試題的比例；（5 5）整卷難度要求和難度結(jié)構(gòu)；）整卷難度要求和難度結(jié)構(gòu)；（6 6）考試時間及試卷滿分值；）考試時間及試卷滿分值；（7 7）各種題型中，同一知識范圍的試題一般不超過一個；）各種題型中，同一知識范圍的試題一般不超過一個；（8 8）制定雙向細目表；）制定雙向細目表；（9 9）各種題型前要科學、明確、簡潔、合理的指導語；）各種

12、題型前要科學、明確、簡潔、合理的指導語；（1010）試卷、參考答案及評分標準的總說明要置于卷首，表述）試卷、參考答案及評分標準的總說明要置于卷首，表述確切簡潔。確切簡潔。 編制選擇題、填空題和解答題的命題技術(shù)：編制選擇題、填空題和解答題的命題技術(shù)：1 1在編制選擇題時應(yīng)注意：題干表述明確，不提供答案信在編制選擇題時應(yīng)注意：題干表述明確，不提供答案信息，不出現(xiàn)與答案無關(guān)的線索；選項與題干內(nèi)容和諧協(xié)調(diào)，息，不出現(xiàn)與答案無關(guān)的線索；選項與題干內(nèi)容和諧協(xié)調(diào)，連接自然流暢；正確選項與干擾選項長度、結(jié)構(gòu)、屬性、連接自然流暢；正確選項與干擾選項長度、結(jié)構(gòu)、屬性、水平等盡量接近；干擾項能反映考生的典型錯誤；各

13、題正水平等盡量接近；干擾項能反映考生的典型錯誤；各題正確項的排列隨機，分布均勻。確項的排列隨機，分布均勻。2 2在編制填空題時應(yīng)注意：提問和限定詞準確，答案準確；在編制填空題時應(yīng)注意：提問和限定詞準確，答案準確；空位的數(shù)量、位置適當；題目的文字表述與空位的關(guān)系確空位的數(shù)量、位置適當；題目的文字表述與空位的關(guān)系確切、無歧義；求解的過程宜短。步驟不得太多，最好是切、無歧義；求解的過程宜短。步驟不得太多，最好是2 2至至3 3步；多數(shù)考生解答填空題有懼怕心理，因此，填空題步；多數(shù)考生解答填空題有懼怕心理，因此，填空題不宜太難。不宜太難。3 3解答題的設(shè)計步驟：（解答題的設(shè)計步驟：（1 1）立意與選材；（）立意與選材；（2 2）搭架與構(gòu)）搭架與構(gòu)題；（題；（3 3）加工與調(diào)整；）加工與調(diào)整； 將試題組成試卷的具體操作大致如下將試題組成試卷的具體操作大致如下：（1 1）首先篩選足夠數(shù)量的合乎要求的試題入卷，全面落）首先篩選足夠數(shù)量的合乎要求的試題入卷，全面落實各項要求，包括知識覆蓋面，重點的設(shè)置，涵蓋的實各項要求，包括知識覆蓋面，重點的設(shè)置，涵蓋的能力要求，各能力層次的試題比例，難度的分布，試能力要求，各能力層次的試題比例，難度的分布，試題的區(qū)分度