楊輝三角的規(guī)律以及推導(dǎo)公式

1、. 楊輝三角的規(guī)律以及定理 李博洋 摘要 楊輝三角中的一些規(guī)律關(guān)鍵詞 楊輝三角 冪 二項(xiàng)式引言 楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他所著的詳解九章算法一書(shū)中，畫(huà)了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來(lái)對(duì)“楊輝三角” 的規(guī)律進(jìn)行探討和研究。 內(nèi)容1二項(xiàng)式定理與楊輝三角與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，即二項(xiàng)式定理。 楊輝三角我們首先從一個(gè)二次多項(xiàng)式(a+b)2的展開(kāi)式來(lái)探討。由上式得出： (a+b)2a2+2ab+b2 此代數(shù)式的系數(shù)為： 1 2 1則(a+b)3的展開(kāi)式是什么呢？答案為

2、：a3+3a2b+3ab2+b3 由此可發(fā)現(xiàn)，此代數(shù)式的系數(shù)為： 1 3 3 1 但似乎沒(méi)有什么規(guī)律，所以讓我們?cè)賮?lái)看看(a+b)4的展開(kāi)式。 展開(kāi)式為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 由此又可發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的系數(shù)為：1 4 6 4 1 似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列： 1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二項(xiàng)式定理的公式為：(a+b)n=C(n,0)an*b0+C(n,1)a(n-1)*b1+.+C(

3、n,r)a(n-r)*br.+C(n,n)a0*bn 因此，二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對(duì)天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)。求二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。用系數(shù)通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來(lái)計(jì)算，稱作“圖算”。2楊輝三角的冪的關(guān)系首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下： 1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+

4、20+15+6+1=64 )相加得到的數(shù)是1，2，4，8，16，32，64，剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，次冪，即楊輝三角第n行中n個(gè)數(shù)之和等于2的n-1次冪3 楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系 (1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的數(shù)字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的數(shù)字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的數(shù)字相加得1+3+6+10=20把斜行

5、(4)中第7行之前的數(shù)字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的數(shù)字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的數(shù)字相加得1將上面得到的數(shù)字與楊輝三角中的第7行中的數(shù)字對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)它們是完全相同的。 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可得：楊輝三角中n行中的第i個(gè)數(shù)是i-1中前n-1個(gè)數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、(n-3)中第n行之前的數(shù)字之和、1?？偨Y(jié)楊輝三角對(duì)于我們好理解的規(guī)律，如下六點(diǎn)：1、每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。 2、每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開(kāi)始逐漸變大。 3、第n行的數(shù)字有n+1項(xiàng)。 4、第n行數(shù)字和為2(n-1)。（2的(n-1)次方） 5(a+b)n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對(duì)應(yīng)楊輝三角的第(n+1)行中的每一項(xiàng)。1 6、第n行的第m個(gè)數(shù)和第n-m個(gè)數(shù)相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，這是組合數(shù)性質(zhì) 上面的式子是什么意思？首先cin1中的n+1，i的意思是從n+1個(gè)相同物體中選出i個(gè)物體有多少種選法。 楊輝，字謙光，南宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的詳解九章算法一書(shū)中，輯錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開(kāi)方作法本