數(shù)量積向量積最新課件

1、數(shù)量積向量積最新第二節(jié)第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 第七章第七章 數(shù)量積向量積最新1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為沿與力夾角為 W1. 定義定義設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 (點(diǎn)積點(diǎn)積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為位移為 s ,則力則力F 所做的功為所做的功為 cossFsFW 2Mba cosba的的與與為為baba,s機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,21M

2、M 移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)ab數(shù)量積向量積最新 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a上上的的投投影影為為在在ab記作記作故故,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)同同理理 babbjrP2. 性質(zhì)性質(zhì)bajrP cosb babaajrP ba aa)1(2a0 )2( baba ba0 ba則則2 ),(ba0,0 ba機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 cos|baba ( (零向量與任意向量垂直零向量與任意向量垂直, ,故其中之一為零向量故其中之一為零向量時(shí)時(shí)(2)也也成立成立.).)ABC數(shù)量積向量積最新3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(1) 交換律交換律abba (2) 分配律分配律cbcacba )(

3、事實(shí)上事實(shí)上, 當(dāng)當(dāng)0 c時(shí)時(shí), 顯然成立顯然成立 ;時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 c cba )(jrPbacc c )jrPjr(Pbacc accjrP bccjrP ca cb 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (3) 結(jié)合律結(jié)合律),(為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ba)( )(ba babaajrP數(shù)量積向量積最新ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理 cos2222abbac 證證:則則 cos2222abbac 如圖如圖 . 設(shè)設(shè),aBC ,bAC cBA bac 2c)()(baba aa bb ba 22a 2b cos2ba ccbbaa ,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄

4、 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè)則則,1 0 zzyyxxbabababa 當(dāng)當(dāng)為非零向量時(shí)為非零向量時(shí),baba cos zzyyxxbababa 222zyxaaa 222zyxbbb 由于由于,cos baba ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx ba )(kajaiazyx)(kbjbibzyx ii jj kk ji kj ik ba,兩向量的兩向量的夾角公式夾角公式 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新 cosPrj )3(aab )22()4(11222 .)3

5、(;)2(;)1(),2 , 2, 1(),4, 1 , 1(上的投影上的投影在在的夾角的夾角與與求求已知已知babababa 解解:2)4()2(111)1( ba222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,22 .43 cosaba例例2. 9 . 3 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新)12 , 11 , 12( MB)11 , 12 , 12( MA222222101011 100111 BM例例3. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )2,1,2(),1,2,2(, )1,1,1(BAM AMB . A解解:則則 AMBco

6、s21 .3 AMB求求MBMA MA MB故故機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ),0 , 1 , 1( ).1 ,0 , 1( 數(shù)量積向量積最新二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) , 有一個(gè)與杠桿夾角為有一個(gè)與杠桿夾角為 OQOLP Q符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則OQ FF sinOP sinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量矩是一個(gè)向量 M :的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點(diǎn)上點(diǎn)上 ,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力FoPFMFM 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束

7、數(shù)量積向量積最新1. 定義定義定義定義向量向量方向方向 :(叉積叉積)記作記作且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則模模 :向量積向量積 ,，的的夾夾角角為為設(shè)設(shè) ba,c,ac bc c sinba稱稱c的的與與為向量為向量babac ba引例中的力矩引例中的力矩FOPM 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 cba 數(shù)量積向量積最新2. 性質(zhì)性質(zhì)，0sin 或或0 . 0)1( aa0 )2( ba./ba,0,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) baba0 ba0sin ba3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律分配律(3) 結(jié)合律結(jié)合律.ab cba )(. cbca ba )( )( ba ).(ba

8、 ba )1(證明證明:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( (零向量與任意向量平行零向量與任意向量平行, ,故其故其中之一若為零向量中之一若為零向量(2)也也成立成立.).) sinbaba 數(shù)量積向量積最新則則設(shè)設(shè),kbjbibbkajaiaazyxzyx )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()()()()()()()()(kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazzyzxzzyyyxyzxyxxx 0 kkjjii,jikikjkji ,jkiijkkij kbabajbabaibababaxyyxzxxzyzz

9、y)()()( 4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式ijk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù)量積向量積最新向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法kji xayazaxbybzbzyzybbaai zxzxbbaaj yxyxbbaak baibabayzzy)( jbabazxxz)( kbabaxyyx)( kajaiaazyx kbjbibbzyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù)量積向量積最新.35kji . ),2 , 1, 1(),1, 1 , 2(baba 計(jì)計(jì)算算已已知知解解:例例4.2112 j1112 k211112 kjiba2111 i數(shù)量積向量積最新向

10、量積的幾何意義向量積的幾何意義:)1(的的模模ba sinbaba , ABCDSba :)2(的的方方向向ba .baba又又垂垂直直于于既既垂垂直直于于 )sin( bhha ab sinbh ABCD. 21baSABD 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù)量積向量積最新例例5. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2,1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積. 解解: 如圖所示如圖所示, CBASABC21 kji222124)(21 ,4,6 22222)6(421 14 21ACAB 求三求三機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )4

11、,2,1( )2,2,2( ACAB數(shù)量積向量積最新22|)( baba .|)(2222bababa 證證明明,cos)( 2222 baba ,sin2222 baba .22ba 例例6. .證證)sin(cos2222 ba機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新一點(diǎn)一點(diǎn) M 的線速度的線速度例例7. 設(shè)剛體以等角速度設(shè)剛體以等角速度 繞繞 l 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), , 計(jì)算剛體上計(jì)算剛體上 Ml解解: 在軸在軸 l 上引進(jìn)一個(gè)角速度向量上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使使a其其在在 l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) O,O作作它與它與則則點(diǎn)點(diǎn) M離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離

12、且且符合右手法則符合右手法則的夾角為的夾角為 , ,sin ra , rOM av sinr , , vr . rv . vv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑向徑機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa zzyyxxbabababa . ),(, ),(zyxzyxbbbbaaaa 叉積叉積:zyxzyxbbbaaakjiba 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新

13、2. 向量關(guān)系向量關(guān)系:zzyyxxababab 0 zzyyxxbabababa/ba 0 ba機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0 ba數(shù)量積向量積最新思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsin ba,1baba,2jibkjia ,baba 及及BabcAC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新證證: 由三角形面積公式由三角形面積公式Acbsin

14、BacsinBbAasinsin所以所以CcsinCbasin因因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)量積向量積最新22200)2(211ABCD在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為三角形中三角形中, , )2,1,1( A)0,1,1(B的的和和)1,3,1( C求求 AC 邊上的高邊上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形三角形 ABC 的面積為的面積為 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD3.而而故有故有機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回