復(fù)變函數(shù)課件第3章基本定理的推廣復(fù)合閉路定理

1、dc1c2c3cdc1c1daa bb ee ff 第三節(jié) 基本定理的推廣復(fù)合閉路定理問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出1復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理2小結(jié)與思考小結(jié)與思考4典型例題典型例題3一、問(wèn)題的提出 2.d11 , zzz計(jì)算計(jì)算實(shí)例實(shí)例 , 1 2 在內(nèi)的閉曲線在內(nèi)的閉曲線是包含是包含因?yàn)橐驗(yàn)?zz根據(jù)本章第一節(jié)例根據(jù)本章第一節(jié)例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望將基本定理推廣到多連域中由此希望將基本定理推廣到多連域中.二、復(fù)合閉路定理1. 閉路變形原理閉路變形原理 , )( 在多連通域內(nèi)解析在多連通域內(nèi)解析設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zf ),( 1正向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛘驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较騿伍]曲線單閉曲線內(nèi)的任意

2、兩條簡(jiǎn)內(nèi)的任意兩條簡(jiǎn)為為及及dcc. 11ddcc全含于全含于為邊界的區(qū)域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域及及dc1c1daa bb , bbaa 和和作兩段不相交的弧段作兩段不相交的弧段dc1c1daa bb ee ff , aebb e a a 顯顯然然曲曲線線 bfabfaa , , , , , e ef f為為了了討討論論方方便便 添添加加字字符符 . 均均為為封封閉閉曲曲線線 , d因因?yàn)闉樗鼈儌兊牡膬?nèi)內(nèi)部部全全含含于于 ( )d0,aebb e a af zz 故故( )d0.aa f b bfaf zz ,aaaebbbaebaaebaeb ,bfabbbfaaabfabfaa aaebaebzz

3、fd)( 由由, 0d)( bfabfaazzf得得dc1c1daa bb ee ff czzfd)( 1d)(czzf aazzfd)( aazzfd)(, 0d)( bbzzf bbzzfd)(, 0d)(d)( 1 cczzfzzf即即.d)(d)( 1 cczzfzzf或或dc1c1daa bb ee ff , 1 成一條復(fù)合閉路成一條復(fù)合閉路看看及及閉曲線閉曲線如果我們把這兩條簡(jiǎn)單如果我們把這兩條簡(jiǎn)單cc : 的正方向?yàn)榈恼较驗(yàn)?, c外外面面的的閉閉曲曲線線按按逆逆時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行1 , c內(nèi)內(nèi)部部的的閉閉曲曲線線按按順順時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行 ), , (的左手邊的左手邊內(nèi)部總在內(nèi)部

4、總在的的的正向進(jìn)行時(shí)的正向進(jìn)行時(shí)即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說(shuō)明說(shuō)明: : 在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)過(guò)函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .2. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理1212 , , , , , , , , , , , nncdccccc cccd設(shè)設(shè)為為 多多連連通通域域內(nèi)內(nèi)的的一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線是是在在內(nèi)內(nèi)部部的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線 它它們們互互不不包包含含也也互互不不相相交交

5、 并并且且以以為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域全全含含于于 ( ) , f zd如如果果在在內(nèi)內(nèi)解解析析dc1c2c3c那末那末,d)(d)()1(1 nkcckzzfzzf ; kcc其其中中及及均均取取正正方方向向dc1c2c3c. 0d)()2( zzf1212 , , , , (: , , , , ).nnc ccccccc 這這里里為為由由組組成成的的復(fù)復(fù)合合閉閉路路其其方方向向是是按按逆逆時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行按按順順時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行 . 1 ,d12 2曲線曲線在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉為包含圓周為包含圓周計(jì)算積分計(jì)算積分 zzzzz三、典型例題例例1 1解解, 1 0 12 2

6、 zzzzz和和內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面在復(fù)平面因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)依題意知依題意知, xyo 1 也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)，也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)， 12 ,cc 在在內(nèi)內(nèi)作作兩兩個(gè)個(gè)互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的正正向向圓圓周周和和xyo 1 , 0 1 zc 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)2 1, cz 只只包包含含奇奇點(diǎn)點(diǎn)1c2c根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, , zzzzd122 21d12d1222cczzzzzzzz 2211d1d11d1d11cccczzzzzzzz0220 ii.4 i d , 2 1 . zezzzz 計(jì)計(jì)算算積積分分為為正正向向圓圓周周和和負(fù)負(fù)向向圓圓周周所所

7、組組成成例例2 2 xyo121c2c解解12 , cc和和圍圍成成一一個(gè)個(gè)圓圓環(huán)環(huán)域域 ,zez函函數(shù)數(shù)在在此此圓圓環(huán)環(huán)域域和和其其邊邊界界上上處處處處解解析析圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路, ,根據(jù)閉路復(fù)合定理根據(jù)閉路復(fù)合定理, ,. 0d zzez11 d , () .nzazan 求求為為含含的的任任一一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉路路，為為整整數(shù)數(shù)例例3 3解解 , 內(nèi)部?jī)?nèi)部在曲線在曲線因?yàn)橐驗(yàn)?a a , 故故可可取取很很小小的的正正數(shù)數(shù)1 : , za 使使含含在在內(nèi)內(nèi)部部1 111 (),nza 在在以以為為邊邊界界的的復(fù)復(fù)連連通通域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析由復(fù)合閉路定

8、理由復(fù)合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起來(lái)很方用起來(lái)很方便便, 因?yàn)橐驗(yàn)椴槐厥菆A不必是圓, a也不必也不必是圓的圓心是圓的圓心, 只要只要a在簡(jiǎn)單閉曲在簡(jiǎn)單閉曲線線內(nèi)即可內(nèi)即可.例例4 40011 d , 2(), .nzzizzn 求求為為含含的的任任意意正正向向閉閉曲曲線線為為自自然然數(shù)數(shù)解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn0 , az 此此處處不不妨妨設(shè)設(shè)01,111 d2()0,1.nnzizzn 則則有有四、小結(jié)與思考 本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn)是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論常用結(jié)論: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn思考題思考題 復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用復(fù)合閉路定理在積