復變函數課件第3章基本定理的推廣復合閉路定理

1、dc1c2c3cdc1c1daa bb ee ff 第三節(jié) 基本定理的推廣復合閉路定理問題的提出問題的提出1復合閉路定理復合閉路定理2小結與思考小結與思考4典型例題典型例題3一、問題的提出 2.d11 , zzz計算計算實例實例 , 1 2 在內的閉曲線在內的閉曲線是包含是包含因為因為 zz根據本章第一節(jié)例根據本章第一節(jié)例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望將基本定理推廣到多連域中由此希望將基本定理推廣到多連域中.二、復合閉路定理1. 閉路變形原理閉路變形原理 , )( 在多連通域內解析在多連通域內解析設函數設函數zf ),( 1正向為逆時針方向正向為逆時針方向單閉曲線單閉曲線內的任意

2、兩條簡內的任意兩條簡為為及及dcc. 11ddcc全含于全含于為邊界的區(qū)域為邊界的區(qū)域及及dc1c1daa bb , bbaa 和和作兩段不相交的弧段作兩段不相交的弧段dc1c1daa bb ee ff , aebb e a a 顯顯然然曲曲線線 bfabfaa , , , , , e ef f為為了了討討論論方方便便 添添加加字字符符 . 均均為為封封閉閉曲曲線線 , d因因為為它它們們的的內內部部全全含含于于 ( )d0,aebb e a af zz 故故( )d0.aa f b bfaf zz ,aaaebbbaebaaebaeb ,bfabbbfaaabfabfaa aaebaebzz

3、fd)( 由由, 0d)( bfabfaazzf得得dc1c1daa bb ee ff czzfd)( 1d)(czzf aazzfd)( aazzfd)(, 0d)( bbzzf bbzzfd)(, 0d)(d)( 1 cczzfzzf即即.d)(d)( 1 cczzfzzf或或dc1c1daa bb ee ff , 1 成一條復合閉路成一條復合閉路看看及及閉曲線閉曲線如果我們把這兩條簡單如果我們把這兩條簡單cc : 的正方向為的正方向為 , c外外面面的的閉閉曲曲線線按按逆逆時時針針進進行行1 , c內內部部的的閉閉曲曲線線按按順順時時針針進進行行 ), , (的左手邊的左手邊內部總在內部

4、總在的的的正向進行時的正向進行時即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值域內作連續(xù)變形而改變它的值. .閉路變形原理閉路變形原理說明說明: : 在變形過程中曲線不經在變形過程中曲線不經過函數過函數 f(z) 的不解析的點的不解析的點. .2. 復合閉路定理復合閉路定理1212 , , , , , , , , , , , nncdccccc cccd設設為為 多多連連通通域域內內的的一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線是是在在內內部部的的簡簡單單閉閉曲曲線線 它它們們互互不不包包含含也也互互不不相相交交

5、 并并且且以以為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域全全含含于于 ( ) , f zd如如果果在在內內解解析析dc1c2c3c那末那末,d)(d)()1(1 nkcckzzfzzf ; kcc其其中中及及均均取取正正方方向向dc1c2c3c. 0d)()2( zzf1212 , , , , (: , , , , ).nnc ccccccc 這這里里為為由由組組成成的的復復合合閉閉路路其其方方向向是是按按逆逆時時針針進進行行按按順順時時針針進進行行 . 1 ,d12 2曲線曲線在內的任何正向簡單閉在內的任何正向簡單閉為包含圓周為包含圓周計算積分計算積分 zzzzz三、典型例題例例1 1解解, 1 0 12 2

6、 zzzzz和和內有兩個奇點內有兩個奇點在復平面在復平面因為函數因為函數依題意知依題意知, xyo 1 也包含這兩個奇點，也包含這兩個奇點， 12 ,cc 在在內內作作兩兩個個互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的正正向向圓圓周周和和xyo 1 , 0 1 zc 只包含奇點只包含奇點2 1, cz 只只包包含含奇奇點點1c2c根據復合閉路定理根據復合閉路定理, , zzzzd122 21d12d1222cczzzzzzzz 2211d1d11d1d11cccczzzzzzzz0220 ii.4 i d , 2 1 . zezzzz 計計算算積積分分為為正正向向圓圓周周和和負負向向圓圓周周所所

7、組組成成例例2 2 xyo121c2c解解12 , cc和和圍圍成成一一個個圓圓環(huán)環(huán)域域 ,zez函函數數在在此此圓圓環(huán)環(huán)域域和和其其邊邊界界上上處處處處解解析析圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路, ,根據閉路復合定理根據閉路復合定理, ,. 0d zzez11 d , () .nzazan 求求為為含含的的任任一一簡簡單單閉閉路路，為為整整數數例例3 3解解 , 內部內部在曲線在曲線因為因為 a a , 故故可可取取很很小小的的正正數數1 : , za 使使含含在在內內部部1 111 (),nza 在在以以為為邊邊界界的的復復連連通通域域內內處處處處解解析析由復合閉路定

8、理由復合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結論非常重要此結論非常重要, 用起來很方用起來很方便便, 因為因為不必是圓不必是圓, a也不必也不必是圓的圓心是圓的圓心, 只要只要a在簡單閉曲在簡單閉曲線線內即可內即可.例例4 40011 d , 2(), .nzzizzn 求求為為含含的的任任意意正正向向閉閉曲曲線線為為自自然然數數解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn0 , az 此此處處不不妨妨設設01,111 d2()0,1.nnzizzn 則則有有四、小結與思考 本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理理是復積分中的重要定理, 掌握并能靈活應用它掌握并能靈活應用它是本章的難點是本章的難點.常用結論常用結論: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn思考題思考題 復合閉路定理在積分計算中有什么用復合閉路定理在積