拉壓的應(yīng)力和變形PPT課件

1、1 41 工程實(shí)際中的軸向受拉和受壓桿工程實(shí)際中的軸向受拉和受壓桿 42軸向受拉和受壓桿的內(nèi)力軸向受拉和受壓桿的內(nèi)力 截面法截面法 43軸向受拉和受壓桿橫截面上的應(yīng)力軸向受拉和受壓桿橫截面上的應(yīng)力 44軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力 45軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形 胡克定理胡克定理第第4章章 軸向拉壓時(shí)桿件的應(yīng)力和軸向拉壓時(shí)桿件的應(yīng)力和變形計(jì)算變形計(jì)算21. 1. 工程實(shí)例工程實(shí)例41 工程實(shí)際中的軸向受拉和受壓桿工程實(shí)際中的軸向受拉和受壓桿工程中有大量的受拉和受壓的桿工程中有大量的受拉和受壓的桿件，例如件，例如（1）門柱因屋頂重量而）門柱因屋頂重量而受壓受

2、壓（圖（圖4.1-1）（2）吊桿因橋身重量而）吊桿因橋身重量而受受拉伸拉伸（圖（圖4.1-2）圖圖4.1-1圖圖4.1-23（3）簡化為）簡化為桁架的橋梁構(gòu)架桁架的橋梁構(gòu)架,各桿受拉或壓各桿受拉或壓（圖（圖4.1-3）圖圖4.1-34（4）起重機(jī)的吊纜起重機(jī)的吊纜5（5）內(nèi)燃機(jī)的推拉桿）內(nèi)燃機(jī)的推拉桿6圖圖4.1-43.3.外力特征外力特征： 外力合力作用線與桿軸重合外力合力作用線與桿軸重合4.4.變形特征變形特征：桿件受力后，桿件受力后，軸線軸線變長變長，稱為，稱為拉伸拉伸（圖（圖4.1-4a）軸線軸線變短變短，稱為，稱為壓縮壓縮（圖（圖4.1-4b）發(fā)生拉伸和壓縮的前提條件是發(fā)生拉伸和壓縮

3、的前提條件是: （1） 桿軸為直線桿軸為直線 （2） 外力合力作用線與桿軸重合外力合力作用線與桿軸重合2. 2. 桿件特征桿件特征：桿軸為直線桿軸為直線 7圖圖4.1-55.5.計(jì)算模型計(jì)算模型 圖圖4.1-54.1-5表示拉桿的計(jì)算模型表示拉桿的計(jì)算模型，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，桿軸表示實(shí)際的桿件桿軸表示實(shí)際的桿件8思考題思考題942軸向受拉和受壓桿的內(nèi)力軸向受拉和受壓桿的內(nèi)力 截面法截面法圖圖4.2-12. 2. 截面法求內(nèi)力（軸力截面法求內(nèi)力（軸力) )1.1.內(nèi)力內(nèi)力：因外力作用而引起的桿內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的改變因外力作用而引起的桿內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的改變一一. . 軸力軸力c

4、)c)取桿的左邊或右邊為脫離體取桿的左邊或右邊為脫離體體，由平衡方程得到相同的軸體，由平衡方程得到相同的軸力力 n n: : s s x = 0, x = 0, n = p n = pb)b)代以約束內(nèi)力（反力）代以約束內(nèi)力（反力）n n, ,因?yàn)榇艘驗(yàn)榇肆νㄟ^橫截面形心（力通過橫截面形心（centroidcentroid），），且沿桿的軸線方向，故稱且沿桿的軸線方向，故稱n n為為軸力軸力（axial forceaxial force）（）（圖圖4.2-14.2-1）。）。 a）解除內(nèi)部約束，即用假想橫截解除內(nèi)部約束，即用假想橫截 面面m-m將桿分為兩部份將桿分為兩部份10圖圖4.2-2軸力

5、軸力n的方向以的方向以箭頭背離橫截面者為正，稱為拉力箭頭背離橫截面者為正，稱為拉力（圖（圖4.2-1），），反之為負(fù)，稱為壓力反之為負(fù)，稱為壓力（圖（圖4.2-2）。3. 3. 符號規(guī)定：符號規(guī)定：11圖圖4.2-3二二. . 畫軸力圖畫軸力圖（axial force diagram）表示軸力沿桿軸的變化的圖形稱為軸力圖表示軸力沿桿軸的變化的圖形稱為軸力圖 。拉力表以正號，畫在坐標(biāo)軸正向；拉力表以正號，畫在坐標(biāo)軸正向；壓力表以負(fù)號。壓力表以負(fù)號。 平行桿軸的直線為坐標(biāo)平行桿軸的直線為坐標(biāo)x x，代表橫截面位置；代表橫截面位置；垂直桿的直線為坐標(biāo)垂直桿的直線為坐標(biāo)n n，表示軸力的大小與正負(fù)。表

6、示軸力的大小與正負(fù)。 為畫軸力圖方便，為畫軸力圖方便，求內(nèi)力時(shí)常設(shè)拉力求內(nèi)力時(shí)常設(shè)拉力，如求出為正值，則畫在坐標(biāo)軸正向；如求出為正值，則畫在坐標(biāo)軸正向；如求出為負(fù)值，則畫在坐標(biāo)軸負(fù)向如求出為負(fù)值，則畫在坐標(biāo)軸負(fù)向。12圖圖4.2-4圖示多力桿，在自由端圖示多力桿，在自由端a受載荷受載荷p，而在截面而在截面b受中間載荷受中間載荷2p，試求多力桿的軸力，并畫軸力圖。試求多力桿的軸力，并畫軸力圖。例題例題1 1解：解：1.分別使用截面法于第一段（圖分別使用截面法于第一段（圖b）和第二段（圖和第二段（圖c），），保留左邊為自由保留左邊為自由體，并體，并假定軸力均為拉力假定軸力均為拉力2.由平衡條件由平

7、衡條件 s s x = 0 x = 0 即：即： n n1 1-p=0 -p=0 及及 n n2 2-p+2p=0-p+2p=0，得得 n1=p 及及 n2=-p。 3.畫軸力圖，拉力畫在坐標(biāo)軸正向，畫軸力圖，拉力畫在坐標(biāo)軸正向，壓力畫在坐標(biāo)軸負(fù)向（圖壓力畫在坐標(biāo)軸負(fù)向（圖4.2-4d）13圖圖4.2-5圖示桿受自重，已知單位桿長圖示桿受自重，已知單位桿長l l，自重為自重為r r，試畫軸力圖。試畫軸力圖。 例題例題2 2解：（解：（1 1）由總體平衡方程：得支反由總體平衡方程：得支反 r =r =r rl l（2 2）由截面法無論保留自由體由截面法無論保留自由體或自由體平衡，均得相同的軸力或

8、自由體平衡，均得相同的軸力n n： 對自由體，可得對自由體，可得 s sx = 0,x = 0, n = - n = -r rx x 對自由體，可得對自由體，可得 s sx = 0,x = 0, n =n = (l-x)- r=-(l-x)- r=-r rx x （3 3）按比例畫軸力圖按比例畫軸力圖。14自由體的選取以方便為原則自由體的選取以方便為原則，用用截面法截面法將桿將桿截開后，無論截開后，無論保留桿的哪部份平衡，均可得到相同的結(jié)果保留桿的哪部份平衡，均可得到相同的結(jié)果。支反力屬于外力，沒有符號設(shè)定支反力屬于外力，沒有符號設(shè)定，其方向可以任設(shè)。如計(jì)，其方向可以任設(shè)。如計(jì)算結(jié)果為正，只說

9、明假設(shè)方向與實(shí)際相同，如計(jì)算結(jié)果為算結(jié)果為正，只說明假設(shè)方向與實(shí)際相同，如計(jì)算結(jié)果為負(fù)，只說明假設(shè)方向與實(shí)際相反。負(fù)，只說明假設(shè)方向與實(shí)際相反。要點(diǎn)：要點(diǎn)：15例例3 3 圖示桿的圖示桿的a、b、c、d點(diǎn)分別作用著大小為點(diǎn)分別作用著大小為5p、8p、4p、 p 的力，方的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。向如圖，試畫出桿的軸力圖。1234abcdpapbpcpdo1234軸力圖nx2p3p5pp+16例例4 4 試求圖示的各桿試求圖示的各桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力，并作軸力圖。截面上的軸力，并作軸力圖。112332kn40kn20kn30(a)132(b)123ffff112233(c

10、)4ff17112332kn40kn20kn30kn40kn20kn30n(a)kn50(a1)kn50kn20kn10nfox-+解解 (a) 由截面法得桿由截面法得桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力分別為作軸力圖截面上的軸力分別為作軸力圖如圖(a1)所示。knfn5011knfn1022knfn2033,18132(b)123fffffppf(b1)nnfoxff+ (b) 由截面法得桿由截面法得桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力分別為截面上的軸力分別為作軸力圖如圖作軸力圖如圖(b1)所示所示。ffn11022nfffn33,19(c) 由截面法得桿由截面法得桿1-1、2-2、3-3截

11、面上的軸力分別為截面上的軸力分別為作軸力圖如圖作軸力圖如圖(c1)所示。所示。011nfffn422ffn333,112233(c)4ff4ff3fn(c1)nfox4f3f+20qq lxo201121d)(kxxkxxnx2max21)(klxn例例5 5 圖示桿長為圖示桿長為l，受分布力受分布力 q = kx 作用，方向如圖，試畫出作用，方向如圖，試畫出 桿的軸力圖。桿的軸力圖。lq(x)解：解：x 坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在 自由端。自由端。取左側(cè)取左側(cè)x x 段為對象，內(nèi)力段為對象，內(nèi)力n( (x) )為：為：nxxq(x)nxo22kl2143軸向受拉和受壓桿

12、橫截面上的應(yīng)力軸向受拉和受壓桿橫截面上的應(yīng)力1.1.橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 如何得出拉桿正應(yīng)力的計(jì)算公式？如何得出拉桿正應(yīng)力的計(jì)算公式？因因?yàn)閼?yīng)力組成內(nèi)力，所以首先要借助如下三為應(yīng)力組成內(nèi)力，所以首先要借助如下三個(gè)靜力學(xué)方程：個(gè)靜力學(xué)方程：桿的橫截面上有無限多個(gè)微面桿的橫截面上有無限多個(gè)微面da。每一微面每一微面da上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力 均為未知量均為未知量,因此有因此有無限多個(gè)未知量。然而目前只有三個(gè)靜力無限多個(gè)未知量。然而目前只有三個(gè)靜力學(xué)學(xué)方程，顧方程，顧應(yīng)力分布的性質(zhì)是靜不定應(yīng)力分布的性質(zhì)是靜不定的的。需要建立補(bǔ)充方程需要建立補(bǔ)充方程。因?yàn)樽冃闻c應(yīng)力密切相關(guān)，于是可首先因?yàn)樽冃闻c

13、應(yīng)力密切相關(guān)，于是可首先觀察觀察桿件表面桿件表面的變形規(guī)律，進(jìn)而對內(nèi)部的變形作出的變形規(guī)律，進(jìn)而對內(nèi)部的變形作出假設(shè)假設(shè)，得出正應(yīng)力均勻分布的，得出正應(yīng)力均勻分布的結(jié)論結(jié)論。圖圖4.31nydaycaadanzdazca4-3-14-3-24-3-3判斷桿在外力作用下是否會破壞，不但要知道內(nèi)力大小，還要知道內(nèi)力在橫截面上的分布規(guī)律和分布內(nèi)力的集度。內(nèi)力集度（應(yīng)力）的最大值是判斷桿是否破壞的重要因素。22 平面假設(shè)平面假設(shè) 研究一根研究一根均勻材料均勻材料的的受拉桿件受拉桿件, ,為了看清為了看清其變形規(guī)律，可用一根橡皮條演示。拉伸其變形規(guī)律，可用一根橡皮條演示。拉伸前在橡皮條上沿軸向和橫向劃出

14、網(wǎng)格線前在橡皮條上沿軸向和橫向劃出網(wǎng)格線（圖（圖4.3-24.3-2），其拉伸過程），其拉伸過程及及拉伸后形狀拉伸后形狀見圖見圖動畫。動畫。圖圖4.32a）實(shí)驗(yàn)觀察：）實(shí)驗(yàn)觀察：橫向網(wǎng)格線保持直線，只有相對移動。橫向網(wǎng)格線保持直線，只有相對移動。 b）假設(shè)：）假設(shè)：根據(jù)表面變形情況，可以由表及里的做出假設(shè)，即根據(jù)表面變形情況，可以由表及里的做出假設(shè)，即橫截面間只有橫截面間只有 相對移動，相鄰橫截面間縱線伸長相同，橫截面保持平面，相對移動，相鄰橫截面間縱線伸長相同，橫截面保持平面，此假此假 設(shè)稱為設(shè)稱為平面假設(shè)平面假設(shè) c）推論：）推論：橫截面上正應(yīng)力均勻分布橫截面上正應(yīng)力均勻分布，其數(shù)學(xué)表達(dá)式

15、為：其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：常數(shù)23 應(yīng)力公式及其適用范圍應(yīng)力公式及其適用范圍 由于橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的由于橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的, ,故故: : aadadaan得得na4.3-4公式公式4.3-4即為拉壓桿橫截面的正應(yīng)力公式即為拉壓桿橫截面的正應(yīng)力公式 24 公式公式4.3-44.3-4的適用范圍的適用范圍：1） 等直桿等直桿2） 均勻材料均勻材料3） 軸向加載軸向加載 4） 桿上距力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處桿上距力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處應(yīng)力集中應(yīng)力集中圣維南原理圣維南原理252. 2. 應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的概念 在局部區(qū)域應(yīng)力突然增大的現(xiàn)象，稱為在局部區(qū)域應(yīng)力突然增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中應(yīng)力集中。m

16、 max橫截面上的最大應(yīng)力橫截面上的最大應(yīng)力 max與與平均應(yīng)力平均應(yīng)力 m 的比值稱為的比值稱為應(yīng)應(yīng)力集中系數(shù)力集中系數(shù)，以，以 表示。表示。26 3. 3. 圣維南原理圣維南原理 實(shí)踐證明：桿件在加力點(diǎn)附近，應(yīng)力實(shí)踐證明：桿件在加力點(diǎn)附近，應(yīng)力分布十分復(fù)雜，很大程度上受到加力分布十分復(fù)雜，很大程度上受到加力方式的影響，所以公式（方式的影響，所以公式（4.3-4）不能）不能使用，除非所加的外力是分布力，而使用，除非所加的外力是分布力，而且是且是均勻分布的。均勻分布的。如圖壓桿，其附近如圖壓桿，其附近的橫截面的橫截面1-1和和2-2，應(yīng)力是非均勻分布，應(yīng)力是非均勻分布的，但是，距離外力作用稍遠(yuǎn)

17、的橫截的，但是，距離外力作用稍遠(yuǎn)的橫截面面3-3，應(yīng)力很快趨于均勻（圖，應(yīng)力很快趨于均勻（圖4.3-4b），），公式（公式（4.3-4）即可使用，）即可使用，其影其影響范圍約等于截面高度響范圍約等于截面高度h。以上概念稱。以上概念稱之為之為圣維南原理（圣維南原理（saint_venants principle）。需要說明的是，在材料力需要說明的是，在材料力學(xué)中，一般假定外力均勻地施加在作學(xué)中，一般假定外力均勻地施加在作用處，所以公式（用處，所以公式（4.3-4）對整個(gè)桿件）對整個(gè)桿件都適用。都適用。圖圖4.3-4 圣維南原理圣維南原理27？思考題（1）圖示的曲桿，問）圖示的曲桿，問公式（公式（

18、4.3-4） 是否適用？是否適用？（2）圖示桿由鋼的）圖示桿由鋼的和鋁牢固粘接和鋁牢固粘接 而成，問公式（而成，問公式（4.3-4）是否適用？）是否適用？（3）圖示有凹槽的桿，問）圖示有凹槽的桿，問公式公式 （4.3-4）對）對凹槽段凹槽段是否適用？是否適用？2844軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力前面分析了拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力，前面分析了拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力，由由平面假設(shè)可知，此應(yīng)力均勻分布平面假設(shè)可知，此應(yīng)力均勻分布。為了分。為了分析構(gòu)件的破壞規(guī)律以建立更為完善的強(qiáng)度析構(gòu)件的破壞規(guī)律以建立更為完善的強(qiáng)度理論，需要研究更為一般的情況，即分析理論，需要研究更為一般的情況，即

19、分析直桿任一斜截面上的應(yīng)力。直桿任一斜截面上的應(yīng)力。圖圖4.4-1（a）所示拉桿，仿照分析橫截所示拉桿，仿照分析橫截面上應(yīng)力均勻分布的過程，同樣可以得面上應(yīng)力均勻分布的過程，同樣可以得出出任一斜截面上的應(yīng)力任一斜截面上的應(yīng)力 也是均勻分布的也是均勻分布的結(jié)論結(jié)論（圖（圖4.4-1b）。一般來說，。一般來說， 可分解可分解為垂直于斜截面的正應(yīng)力為垂直于斜截面的正應(yīng)力 和平行于斜和平行于斜截面的剪應(yīng)力截面的剪應(yīng)力（圖（圖4.4-1c）圖圖4.4-129圖圖4.4-21）采用截面法）采用截面法由平衡方程：由平衡方程：n =p則：則：anp a ：斜截面面積；斜截面面積；n ：斜截面上內(nèi)力。斜截面上內(nèi)

20、力。由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系：cos cosaaaa代入上式，得：代入上式，得：coscos0apanp斜截面上全應(yīng)力斜截面上全應(yīng)力：cos0p式中式中0是橫截面上得正應(yīng)力是橫截面上得正應(yīng)力20coscos p2sin2sincossin00p30圖圖4.4-3ppmmpmmp 20coscos p2sin2sincossin00p反映：通過構(gòu)件上一點(diǎn)不同截反映：通過構(gòu)件上一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力變化情況。面上應(yīng)力變化情況。當(dāng) = 90時(shí)，0)(min當(dāng) = 0,90時(shí)，0| min當(dāng) = 0時(shí)， )(0max當(dāng) = 45時(shí)，2|0max31圖圖4.4-3ppmmpmmp 2）剪應(yīng)力的符號規(guī)定）剪應(yīng)力的

21、符號規(guī)定:使脫離體順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎姑撾x體順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?使脫離體逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)使脫離體逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù);321.概述概述 4-5 軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形研究直桿的軸向變形，目的有：研究直桿的軸向變形，目的有：（1）分析桿件的）分析桿件的拉壓剛度問題拉壓剛度問題。以限制其變形或位移不得超過規(guī)定以限制其變形或位移不得超過規(guī)定的數(shù)值，即：的數(shù)值，即： 。 為變?yōu)樽冃位蛭灰频脑试S值，它由設(shè)計(jì)要求形或位移的允許值，它由設(shè)計(jì)要求而定。而定。 （2）為解決）為解決靜不定問題靜不定問題準(zhǔn)備必要準(zhǔn)備必要的知識的知識。因?yàn)殪o不定問題必須借助。因?yàn)殪o不定問題必須借助于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系才能求出全

22、于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系才能求出全部未知力部未知力 332.2.縱向變形與橫向變形縱向變形與橫向變形 圖圖4.5-1圖圖4.5-1所示的拉桿所示的拉桿,變形前長為變形前長為l,直徑為直徑為d；變形后長為變形后長為l ，直徑為直徑為d ，定義定義如下符號：如下符號：lll 2）橫向變形）橫向變形 ddd 縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變都是正應(yīng)變縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變都是正應(yīng)變（normal strain），），僅度量方向不同，僅度量方向不同，前者沿軸力方向，后者垂直于軸力方向前者沿軸力方向，后者垂直于軸力方向。lle 4.5-1dde 4.5-2縱向應(yīng)變（longitudinal strain）橫向應(yīng)變（trans

23、verse strain）1）縱向變形343.3.虎克定律和泊松比虎克定律和泊松比 實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。這就是虎克定律虎克定律 （hookes law）。其中其中 e - 彈性彈性模量或楊氏模量（模量或楊氏模量（youngs modulus），），量綱是量綱是力力/長度長度2， 國際單位制中用國際單位制中用gpa表示，表示，gpa=103mpa=109pa實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變成正比。實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變成正比。 比例常數(shù)比例常數(shù) 稱稱 為為泊松比。彈性泊松

24、比。彈性模量模量 e與泊松比與泊松比 都是材料的都是材料的彈性彈性常數(shù)，常數(shù)，對于對于各向同性材料，各向同性材料， e和和 之值均與方向無關(guān)之值均與方向無關(guān)。eep , eme .4.5-34.5-435如用如用n 代表?xiàng)U中軸力，代表?xiàng)U中軸力，a 代表?xiàng)U的截面面積，并將式（代表?xiàng)U的截面面積，并將式（4.5-1）和式（）和式（4.5-3）聯(lián)合，則有聯(lián)合，則有上式為上式為虎克定律虎克定律的又一表達(dá)式。它表明桿的軸向變形與軸力和的又一表達(dá)式。它表明桿的軸向變形與軸力和桿長成正比，而與乘積桿長成正比，而與乘積eaea成反比，成反比，eaea稱為桿截面的抗拉壓剛度稱為桿截面的抗拉壓剛度。顯然，在一定的軸

25、向載荷下，截面剛度愈大，軸向變形愈小。顯然，在一定的軸向載荷下，截面剛度愈大，軸向變形愈小。nllea 4.5-5364.4.計(jì)算多力桿變形的方法計(jì)算多力桿變形的方法 （1）變形累加法）變形累加法（method of deformation accumulation）根據(jù)各段的軸力，先分段計(jì)算變形，然后再求代數(shù)和根據(jù)各段的軸力，先分段計(jì)算變形，然后再求代數(shù)和（設(shè)定伸長為正，縮（設(shè)定伸長為正，縮短為負(fù)）短為負(fù)）。如圖。如圖4.5-2的桿同時(shí)受到的桿同時(shí)受到p1和和p2的作用，試求總變形。的作用，試求總變形。第一段：圖圖4.5-211n lplleaea第二段：222n lplleaea伸長伸長總

26、變形：1223plplplllleaeaea 伸長37（2）疊加法（疊加法（ superposition method）如圖如圖4.5-2所示的桿件，現(xiàn)分別計(jì)算所示的桿件，現(xiàn)分別計(jì)算p1和和p2單個(gè)作用時(shí)桿的軸向變形單個(gè)作用時(shí)桿的軸向變形 ，然后，然后疊加（圖疊加（圖4.5-3a,b）。）。在2p的作用下：圖圖4.5-32224nlplplleaeaea在p的作用下：縮短總變形：43plplplllleaeaea 伸長伸長nlplleaea 若干載荷同時(shí)作用時(shí)產(chǎn)生的變形，等于單個(gè)載荷分別作用時(shí)產(chǎn)生的變形之和，若干載荷同時(shí)作用時(shí)產(chǎn)生的變形，等于單個(gè)載荷分別作用時(shí)產(chǎn)生的變形之和，這就是疊加原理。這

27、就是疊加原理。只有當(dāng)因變量與自變量成線性關(guān)系時(shí)只有當(dāng)因變量與自變量成線性關(guān)系時(shí)，疊加原理才成立。，疊加原理才成立。由于由于 本課程主要研究的問題是屬于線彈性問題，即桿的內(nèi)力、應(yīng)力及變形均本課程主要研究的問題是屬于線彈性問題，即桿的內(nèi)力、應(yīng)力及變形均與外載荷成線性關(guān)系，通常均可使用疊加原理進(jìn)行分析計(jì)算與外載荷成線性關(guān)系，通常均可使用疊加原理進(jìn)行分析計(jì)算 ，此方法稱為疊，此方法稱為疊加法。加法。38例題例題1 1 圖示空心圓管，在軸力圖示空心圓管，在軸力p作用下，測得縱向應(yīng)變?yōu)樽饔孟?，測得縱向應(yīng)變?yōu)?,已知材料已知材料的彈性模量和泊松比，試求圓管截面面積以及壁厚的彈性模量和泊松比，試求圓管截面面積

28、以及壁厚t和外徑和外徑d的的改變量。改變量。e解：解：（1）用應(yīng)力公式和虎克定律：用應(yīng)力公式和虎克定律：peae則paee(2)(2)壁厚方向的改變（即橫向應(yīng)變）為壁厚方向的改變（即橫向應(yīng)變）為圖圖4.5-4ttttemem e ，得：（3 3）外徑改變量可由周向應(yīng)變（即橫向應(yīng)變），求得：）外徑改變量可由周向應(yīng)變（即橫向應(yīng)變），求得：1dddddeme ，得：ddme 1 （d 為變形后的外徑）39圖示桿受均布載荷圖示桿受均布載荷p，試求桿的變形。試求桿的變形。例題例題2 2解：由于每一截面的軸力均不相同，故將桿件分解：由于每一截面的軸力均不相同，故將桿件分為無限多個(gè)無限短的桿元，計(jì)算每一桿元

29、變形，為無限多個(gè)無限短的桿元，計(jì)算每一桿元變形，然后利用定積分法確定桿件的總伸長。然后利用定積分法確定桿件的總伸長。軸力軸力 n xpx桿元的伸長桿元的伸長圖圖4.5-5 n xdxdxea總伸長總伸長 20012lln xp lldxn x dxeaeaea 40切線代圓弧方法切線代圓弧方法-切線法切線法 附附: : 桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架變形通常用節(jié)點(diǎn)的位移表示，我們以桁架變形通常用節(jié)點(diǎn)的位移表示，我們以圖圖4.5-6a所示的桁架為例，介紹用切線代所示的桁架為例，介紹用切線代圓弧的方法求節(jié)點(diǎn)位移。圓弧的方法求節(jié)點(diǎn)位移。解：（解：（1）繪制受力圖（圖）繪制受力圖（圖4.5-6b），），求求出各桿軸力出各桿軸力（2）計(jì)算各桿變形）計(jì)算各桿變形（3）繪制變形圖（想一想變形后的節(jié)點(diǎn)）繪制變形圖（想一想變形后的節(jié)點(diǎn)a應(yīng)在何處？）應(yīng)在何處？）圖圖4.5-641a就是變形后節(jié)點(diǎn)就是變形后節(jié)點(diǎn)a的新位置。事的新位置。事實(shí)上，由于實(shí)上，由于a位置的確定是一個(gè)位置的確定是一個(gè)復(fù)雜的非線性問題，加之桿件變形復(fù)雜的非線性問題，加之桿件變形很小，只是原長的千分之幾，所以很小，只是原長的千分之幾，所以工程上往往不需要計(jì)算上述