教學(xué)隨筆用數(shù)形結(jié)合解零點(diǎn)問題

1、數(shù)形結(jié)合解零點(diǎn)問題小議 “數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”（華羅庚語）.數(shù)形結(jié)合指的是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，使數(shù)的問題，借助形更直觀，而形的問題，借助數(shù)更理性.函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合能給零點(diǎn)問題的解決帶來極大的方便.一、零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(圖1)例1函數(shù)的零點(diǎn)有 個(gè).解析： 的零點(diǎn)就是方程的解,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象(如圖1) ,可見函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.評(píng)注：函數(shù)的圖象不容易畫,所以轉(zhuǎn)化為容易畫的和的圖象的交點(diǎn)問題加以觀察.(圖2)例2.討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解析： 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象(如圖2) ,可見：當(dāng)時(shí), 和沒有公共點(diǎn), 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;

2、當(dāng)或時(shí), 和有2個(gè)公共點(diǎn), 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2;當(dāng)時(shí), 和有3個(gè)公共點(diǎn), 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3;當(dāng)時(shí), 和有4個(gè)公共點(diǎn), 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.(圖3)例3.若存有區(qū)間,使函數(shù)的值域是,求實(shí)數(shù)的范圍.解析： 因?yàn)樵谏线f增,若存有區(qū)間,使在上的值域是,必有.問題轉(zhuǎn)化為“求的范圍,使關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根”.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象(如圖3),可見當(dāng)時(shí), 和的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).由得： ,.所以當(dāng)時(shí),直線與曲線相切.結(jié)合圖形觀察得,當(dāng)時(shí), 和的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),此時(shí)關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根.所以的范圍是.評(píng)注： 因?yàn)楫媹D精確性的限制,直線與曲線相切時(shí)的的值,并不能通過圖象觀察

3、得出,這時(shí)要以數(shù)助形,運(yùn)算求解.二、零點(diǎn)所在區(qū)間問題(圖4)例4函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）a(0，1) b(1，2) c(2，3) d(3，+)解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y =lgx與的圖象(如圖4).它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo),顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此排除a、d.至于選b還是選c,單憑直觀比較困難了,這時(shí)要比較與2的大小.當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3x=1.因?yàn)閘g21，所以2，從而判定(2，3)，故本題應(yīng)選c.評(píng)注：數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫.本題不但要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小實(shí)行判斷.例5.已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍(圖5)解析：當(dāng)時(shí), 函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).當(dāng)時(shí), 的零點(diǎn)就是關(guān)于的方程的根.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象(如圖5). 若過定點(diǎn)a(0,)的直線與拋物線相切于軸下方,由中的,解得(當(dāng)時(shí),切點(diǎn)在軸上方).設(shè)直線與交于b點(diǎn),直線ab的斜率.所以使與有公共點(diǎn)的的范圍是.解不等式得, 實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-, 1, +).評(píng)注:此題是一元二次方程根的分布問題，涉及到在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根、兩個(gè)根等情況.此題有多種解題方法，此處數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可以減少分類討論.三、零點(diǎn)值的問題(圖6)例6.若函數(shù)的零點(diǎn)是,的零點(diǎn)是,求的值.解析: 在同一平面直角坐標(biāo)系中，