無窮限廣義積分課件

1、無窮限廣義積分第七章討論的定積分， 函數(shù)函數(shù)這類積分屬于通常意義下的積分. 的積分， 但在實際問題中， 還會遇到積分區(qū)間為無限積分區(qū)間為無限 或被積被積函數(shù)函數(shù)在積分區(qū)間上是無界無界的情況， 這就需將定積分的概念推廣， 推廣后的積分被稱為廣義積分廣義積分. 積分限被積函數(shù)推廣推廣無窮限無窮限的廣義積分無界函數(shù)無界函數(shù)的廣義積分無窮限廣義積分第一節(jié) 無窮限廣義積分二、二、無窮限積分的判別法無窮限積分的判別法一、無窮限積分的定義一、無窮限積分的定義無窮限廣義積分一、一、無窮限積分的定義無窮限積分的定義引例引例 曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積 可記作12dxxA其含義可

2、理解為 bbxxA12dlimbbx11limbb11lim1xOy121yxb無窮限廣義積分, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無窮限廣義積分廣義積分, 記作xxfxxfbabad)(limd)(這時稱廣義積分xxfad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在,就稱廣義積分xxfad)(發(fā)散發(fā)散 .類似地 , 若, ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(定義定義11.1 設(shè)無窮限廣義積分, ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個極限不存

3、在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無窮限的廣義積分也稱為第一類廣義積分第一類廣義積分. ,并非不定型 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn) 它表明該廣義積分發(fā)散 .無窮限廣義積分 . 1d 0 2 xx計算0 0 2 arctan1dxxx 0arctanarctanlimxx . 2 2 d . 1和xx arctan1d 2xxx arctanlimarctanlimxxxx ) 2 ( 2 . Oxy211xy1例例1解解無窮限廣義積分思考思考: ?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對廣義積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì),

4、否則會出現(xiàn)錯誤 . . d1 0 2xxx計算02 0 2 )1 ln(21d1xxxx 0)1 ln(21lim2xx , . d1 0 2發(fā)散故積分xxx例例解解無窮限廣義積分 )0( d 的斂散性，積分討論axxPap . 為任意常數(shù)其中P : 1 時當(dāng)P |lnd aaxxxaxxln |lnlim , . 1 積分發(fā)散時，故Pp : 1 時當(dāng)P1 d 1papaxxxp . 1 , 1 , 1 , 1 ppapp 發(fā)散 收斂例例2解解無窮限廣義積分 . dcos 0 xx計算0 0 sindcosxxx , 0sinsinlimxx . dcos sinlim 0 發(fā)散不存在，故原積

5、分由于xxxx例例3解解無窮限廣義積分無窮積分的基本運算性質(zhì)無窮積分的基本運算性質(zhì) 均存在，則設(shè)以下所有出現(xiàn)的積分 . d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxfccaa . d)( d)( d)()( )3( aaaxxgxxfxxgxf . d)()( )()(d)()( )4( aaaxxvxuxvxuxxvxu . )5(分的換元法進行計算無窮積分也可按照定積 . d)(d)( ) 1 ( aaxxfxxf . d)(d)( , )()( ) , )6( aaxxgxxfxgxfa則上若在其它類型的無窮積分的情形類似于此. 無窮限廣義積分二、二、 無窮積分斂散性的判別法無窮積分

6、斂散性的判別法 : , 定義式寫成下面的形式我們可以將無窮積分的實際上 ; d)(limd)( xaxattfxxf . d)(limd)( bxxbttfxxf . 函數(shù)來進行有關(guān)的討論這樣可以利用積分上限無窮限廣義積分定理定理11.1(柯西收斂原理柯西收斂原理)廣義積分xxfad)(收斂當(dāng)且僅當(dāng)對任給的0,存在A0,當(dāng)A，A”A時，有( ).AAf x dx定理定理11.2若廣義積分( ) daf xx收斂，且 在任意有限區(qū)間可積，則 收斂。( )f xxxfad)(無窮限廣義積分定理 . 0)( , ) ) , ()( xfaCxf且設(shè)函數(shù) ) , d)()( attfxFxa在若積分上

7、限函數(shù) . d)( , 收斂則無窮積分上有上界axxf無窮限廣義積分證 , , 0)( , ) ) , ()( 所以且因為xfaCxf . ) , )( 上單調(diào)增加在積分上限函數(shù)axF , ) , )( 從而上有上界在又已知函數(shù)axF d)()( xattfxF . ) , 由極限存在準(zhǔn)則上單調(diào)增加且有上界在a . d)(lim)(lim x存在可知極限xaxttfxF . d)( 收斂即無窮積分axxf無窮限廣義積分定理（ 比較判別法 ）, , , ) , )( , )( aARAaxgxf上有界在設(shè)函數(shù) 0)()(，xfxg . d)( d)( ) 1 ( 也收斂收斂時，積分當(dāng)則aaxxf

8、xxg . d)( d)( )2( 也發(fā)散發(fā)散時，積分當(dāng)aaxxgxxf , ) , ()( ),(且滿足AaRxgxf無窮限廣義積分證 )()(0 , 得時由xgxfxa d)( ) 1 ( ，則下列極限存在收斂若積分axxg , d)(d)(0 xaxattgttf , 積分上限函數(shù)從而 . ) , d)( )( 上有上界在attgxGxa , ) , d)()( 上有上界在attfxFxa . d)( 收斂故積分axxf . d)(lim Ittfxax , 故可知限過程中必有界由于有極限的量在該極無窮限廣義積分 . )2(運用反證法 , d)( , d)( 收斂積分發(fā)散時如果aaxxg

9、xxf . d)( : ) 1 ( 收斂立即可得出矛盾則由axxf . . , 之一積分是重要的比較標(biāo)準(zhǔn)斂散性的重要方法窮積分比較判別法也是判別無與級數(shù)的情形類似P無窮限廣義積分定理（比較判別法的極限形式法） , ) , , ) , )( , )( aAaxgxf上的非負函數(shù)為定義在設(shè) . ) A , ()( , )(aRxgxf d)( d)( , 0 ) 1 ( 同時與無窮積分時當(dāng)aaxxgxxf . , 或同時發(fā)散收斂 , , )( )(lim 那么若有極限xxfx . d)( , d)( , 0 )2( 收斂則收斂無窮積分時當(dāng)aaxxfxxg . d)( , d)( , )3( 發(fā)散則

10、發(fā)散無窮積分時當(dāng)aaxxfxxg無窮限廣義積分 . 1 d 1 34的斂散性判別無窮積分xx 由于 1 1 1 103/43434xxx , d1 134 1 3/4故收斂積分的而xxPp . 1 d 1 34收斂無窮積分xx讀者不妨自己用比較判別法的極限形式進行判別.例例4解解無窮限廣義積分定理（柯西極限判別法） 積分綜合而成由比較判別法與P . 0)( , )0( ) ) , ()( xfaaCxf且設(shè) , )(lim , 1 則存在使得若存在常數(shù)xfxppx ; d)( 收斂無窮積分axxf則或者若 , )(lim 0)(lim xfxIxfxxx . d)( 發(fā)散無窮積分axxf無窮限

11、廣義積分證 : , )(lim , 1 則由極限的定義存在時設(shè)bxfxppx , , 11有時當(dāng)xxax , 1 |)(|bxfxp , 1)(0 Mbxfxp故 ).( )(0 1xxxMxfp即有 , d 1 1故收斂積分的由于xpxxMPp . d)( 1收斂無窮積分xxxf . d)( d)(d)(d)( 11收斂可知由axxaaxxfxxfxxfxxf無窮限廣義積分則或者若 , )(lim 0)(lim xfxIxfxxx , 2 |)(| , , 11故有時當(dāng)IIxfxxxax , 2 )(1MIxfx ) . , )(lim (Ixfxx可取任意正數(shù)作為時 ).( )( 11xx

12、xMxf即有 , d 1 11故發(fā)散積分的由于xxxMPp . d)( 1發(fā)散無窮積分xxxf . d)( d)(d)(d)( 11發(fā)散可知由axxaaxxfxxfxxfxxf無窮限廣義積分 . d arctan 1 的斂散性判別無窮積分xxx 因為 , 2arctanlimarctanlimxxxxxx . d arctan 1 是發(fā)散的故無窮積分xxx例例5解解無窮限廣義積分 1 23 . 1d 的斂散性判別無窮積分xxx 因為 , 1lim1lim2223xxxxxxxx . 1 d 1 23是發(fā)散的故無窮積分 xxx例例6解解無窮限廣義積分 1 2 . 1 d 的斂散性判別無窮積分xx

13、x 因為) 12 ( , 11 lim1 1lim222pxxxxxxx . 1 d 1 2收斂故無窮積分 xxx例例7解解無窮限廣義積分下面介紹兩個有關(guān)函數(shù)乘積的 無窮積分斂散性的判別法無窮限廣義積分定理（阿貝爾判別法） . ) , )( , )( 上有定義在設(shè)axgxf ) , )( , d)( 上在函數(shù)收斂若積分axgxxfa . d)()( , , 收斂則積分有界單調(diào)axxgxf有關(guān)證明請參看 微積分學(xué)教程第二卷第三分冊 .M. 菲赫金哥爾茨 北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研組譯 人民教育出版社 1954 .無窮限廣義積分定理（狄利克雷判別法） . ) , )( , )( 上有定義在設(shè)axgxf，

14、存在有界的原函數(shù)上若在 d)( )( )( ) , xattfxFxfa . d)()( , 0)(lim )( x收斂則積分單調(diào)減少且axxgxfxgxg有關(guān)證明請參看 微積分學(xué)教程第二卷第三分冊 .M. 菲赫金哥爾茨 北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研組譯 人民教育出版社 1954 .無窮限廣義積分 d)( 時，收斂，則當(dāng)如果積分xxxfa 0)( 嗎？一定有xf . 不一定 . dsin 1 2xxI例如，考慮積分, 2dd , ttxtx則令 1 1 2 dsin21dsintttxxI，且顯然， 0 1lim)(lim , 1)() 1,ttgttgtt . )t(1 , 2 |cos1cos|

15、| cos| |dsin| | )(| 1 1 tuuutFtt . sinlim 2不存在原積分收斂，但由狄利克雷判別法可知xx例例8解解無窮限廣義積分4. 無窮積分的絕對收斂性 , d | )(| 則稱無窮積分收斂若積分axxf . d)( 為絕對收斂的axxf . d)( , 為條件收斂的則稱積分收斂axxf d)( , d | )(| aaxxfxxf而積分發(fā)散若積分 . ) , )( , d)( 上絕對可積在也稱為絕對收斂時axfxxfa無窮限廣義積分定理 , d | )(| , ) ) , ()( 收斂若設(shè)函數(shù)axxfaCxf . d)( 必收斂則axxf . 定收斂絕對收斂的無窮積分一無窮限廣義積分證 由于 , | )(| 2 | )(| )(0 xfxfxf , d| )(| 故無窮積分收斂又axxf . d) | )(|)( ( 收斂axxfxf , , | )(| ) | )(| )()( 從而但xfxfxfxf, d | )(|d) | )(| )(d)( aaaxxfxxfxfxxf . d)( 收斂故無窮積分axxf無窮限廣義積分定理（柯西判別法） , | )(|lim , ) , )( 則且上有定義在設(shè)Ixfxaxfpx . d | )(| , 0