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1、13.23.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 21、兩條直線的夾角:、兩條直線的夾角:lamlamb 3所以 與 所成角的余弦值為A1AB1BC1C1D1Fxyz解:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo) 系 ,如圖所示,設(shè) 則: Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以:11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010.,111111111111所成的角的余弦值和求,、的中點(diǎn)、取中,在直三棱柱AFBDFDCABACCCAB

2、CACBCCBAABC例:例:4直直線線l與與平平面面 所所成成的的角角為為( (02 ) ), ,sina ua u ; 2、直線與平面的夾角:、直線與平面的夾角: ua ula 5ABCD1A1B1C1DMNxyz.24, 851111111111的夾角的正弦值與平面求上,在線段,上,在,中,在長(zhǎng)方體AMNADANDADANMBCBMAAADABDCBAABCD例:例:6lcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA3、二面角:、二面角:方向向量法:方向向量法:二面角的范圍:0, 7ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ,12n n ,12n n ,12n n

3、 ,cos12cos, n ncos12cos, n n法向量的方向:一進(jìn)一出,二面角等于法向量夾角;法向量的方向:一進(jìn)一出,二面角等于法向量夾角;同進(jìn)同出,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角同進(jìn)同出,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角8ABCDSxzyA- xyz解: 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得:設(shè)平面設(shè)平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取12

4、12126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值與面求面,平面是直角梯形,如圖所示,SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例:例:1. 三棱錐三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為為PC中點(diǎn)中點(diǎn) ,則則PA與與BE所成角的余弦值為所成角的余弦值為_ . 2. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 則則AC1與截面與截面BB1CC1所成所成角的余弦值為角的余弦值為_ . 3.正方體中正方體中ABCD-A1B1C1D1中中E為為A1D1的的中點(diǎn)中點(diǎn), 則二面角則二面角E-BC-

5、A的大小是的大小是_090BAC090BAC663 10100459;.10 利用利用“方向向量方向向量”與與“法向量法向量”來(lái)解決來(lái)解決距離問(wèn)題距離問(wèn)題.第三問(wèn)題:第三問(wèn)題:111、點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)與點(diǎn)的距離:221221221)()()(zzyyxxAB122、點(diǎn)與直線的距離、點(diǎn)與直線的距離:A P O ),cos(sinaAPAPd先求al13A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn),求中點(diǎn),求:點(diǎn)點(diǎn)F到直線到直線AE的距離的距離.1111DCBAABCD 例:在正方體例:在正方體中,中,E、F分別是分別是BB1,1,,14 n A P O 3、點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離:15 n

6、 A P O 3、點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離:nnPAd16DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ,|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ B(2,0,0)E ),3 , 1 , 1 (n17APDCBMN18 nabCDABCD為為a,b的公垂線的公垂線,A,B分別在直線分別在直線a,b上上已知已知a,b是異面直線是異面直線,4. 異面直線間的距離異面直線間的距離 的方向向量,是直線CDnnABnCDd19111101.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知:直三棱柱的側(cè)棱底面中為的中點(diǎn)。求

7、與的距離。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解:如圖建立坐標(biāo)系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 2(,ACAC在兩直線上各取點(diǎn).332|1nACndBAEC的距離與EA1B1205. 其它距離問(wèn)題:其它距離問(wèn)題:(1)平行線的距離)平行線的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離)(2)直線與

8、平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離)直線與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離)(3)平面與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離)平面與平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離)21練習(xí)練習(xí)1:如圖,四面體:如圖,四面體ABCD中,中,O、E分別是分別是BD、BC的中點(diǎn),的中點(diǎn),(I)求證:)求證:AO平面平面BCD;(II)求異面直線)求異面直線AB與與CD所成角的大?。凰山堑拇笮。唬↖II)求點(diǎn))求點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離的距離.2BDCDCBCA2 ADAB C A D B O E22 x C A B O D y z E解:(解:(I)略)略 (II)解:以)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

9、為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,(1,0,0),( 1,0,0),BD 則13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以異面直線所以異面直線AB與與CD所成角的所成角的余弦值為余弦值為 2.423(III)解:設(shè)平面)解:設(shè)平面ACD的法向量為的法向量為( , , ),nx y z則則.( , , ).( 1,0, 1)0,.( , , ).(0, 3, 1)0,n ADx y zn ACx y z 0,30.xzyz1,y (3,1, 3)n 13(,0),22EC 令令得得是平面是

10、平面ACD的一個(gè)法向量,又的一個(gè)法向量,又.321.77EC nhn 所以點(diǎn)所以點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離的距離 x C A B O D y z E24如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值; (2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz練習(xí)練習(xí)2 2: 25OABCSxyz(1)OAOC OS 解:以, , 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系如圖。(0

11、0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB則, , , , ,(2 01)(110)SAOB , , , ,20010cos552SAOB ,如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值; 26OABCSxyz如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,AOC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; (2)

12、(2 01)(111)SASB解:, , , ,()SABnxyz設(shè)平面的一個(gè)法向量為, ,201120 xzxyzxyz 取,則,(112)(0 01)SABnOS 故平面的一個(gè)法向量為, ,又, ,0026cos316nOS ,所以所以O(shè)S與面與面SAB所成角的余弦值為所成角的余弦值為3327OABCSxyz(112)SABn 解:由(2)知平面的一個(gè)法向量為, ,OCSAOOCSAO又由平面知是平面的法向量(010)OC 且, ,0 1 06cos66 1n OC ,所以二面角所以二面角BASO的余弦值為的余弦值為66如圖,已知:直角梯形如圖,已知:直角梯形OABC中,中, OABC,A

13、OC=90,SO面面OABC, 且且OS=OC=BC=1,OA=2.求:求:(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.28練習(xí)練習(xí)3:如圖所示,在四棱錐:如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱是正方形,側(cè)棱PD 底面底面ABCD,PD=DC,E是是PC的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)證明:證明:PA/平面平面EDB;(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyz29ABCDPEGxyz(1)證明:設(shè)正方形邊長(zhǎng)為證明:設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則,則PD=DC=DA=1.連連AC、BD交于交于G點(diǎn)點(diǎn)DADC DP 以, , 為正交基底建立空間

14、直角坐標(biāo)系。如圖所示。則(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB, , , , , ,(101)PA , ,1 1(0)2 2EPCE又 為中點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為 ,1 1(0)2 2GBDG 為中點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,11(0)22EG, ,2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因?yàn)榕c不共線,所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面,平面平面30(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知, , , , ,PDABCDPDABCD 解:因?yàn)槠矫?,所以是平面的法向量?1(0 01)(1)22PDEB , , ,10062cos6312PD EB ,所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正弦值為所成的

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