(完整版)數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想和方法

1、數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓 , 是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力橋梁 . 能否有意識(shí)地正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方 法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，下 面我們一起來看一看吧！一、方程思想方程思想就是通過設(shè)元建立方程 ,研究方程解決問題的方法 .在解數(shù)列問題時(shí) ,利用等差、 等比數(shù) 列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程(組) ，是解數(shù)列問題基本方法 . 例1 已知等差數(shù)列 an的公差 d是正數(shù)，且 a3a7 12,a4 a64，求其前 n項(xiàng)和 Sn 。解：由等差數(shù)列an 知： a3a7 a4a6 ，從而 a3a712,a3 a74，故 a3,a7

2、是方程x2 4x120 的兩根，又 d 0 ，解之，得： a36,a7 2 。再解方程組：a1 2d6a110a1 6d2d2所以 Sn10nn(n1)。法一法二、基本量法，建立首項(xiàng)和公差的二元方程 知三求二點(diǎn)評(píng)：本題利用了 a3 a7 a4 a6這一性質(zhì)構(gòu)造了二次方程巧妙的解出了a3 6,a7 2 ，再利用方程求得了首項(xiàng)與公差的值，從而使問題得到解決，由此可知在數(shù)列解題時(shí)往往可借助方程的思想 與 an am ap aq(或 an am ap aq )找出解題的捷徑。 關(guān)注未知數(shù)的個(gè)數(shù)，關(guān)注獨(dú)立方程的個(gè) 數(shù)。點(diǎn)評(píng)基本量法：性質(zhì)法 技巧備用：設(shè) an是公比大于 1的等比數(shù)列， Sn為數(shù)列 an的

3、前 n項(xiàng)和 已知 S3 7，且 a1 3,3a2， a34 構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)；(2)令 bnln a3n1，n1,2，求數(shù)列 bn的前 n項(xiàng)和 Tn.a1 a2 a3 7，解 (1)由已知得 a1 3 a3 4解得 a2 2.2 3a2，2設(shè)數(shù)列 an 的公比為 q，由 a2 2，可得 a1 q， a3 2q， q 22又 S3 7，可知 q22q 7，即 2q25q 20.q1解得 q12， q2 2.由題意得 q1，q2， a11.故數(shù)列 an 的通項(xiàng)為 an 2n1.(2)由于 bnln a3n 1， n1,2， ， 由(1)得 a3n123n，bnln 2 3n 3

4、nln 2.又 bn1bn3ln 2，bn 是等差數(shù)列， Tn b1b2 bnn b1 bn3n n 12ln 2.2ln 2.13n n 1 故 Tn 小結(jié)：方程思想是數(shù)學(xué)解題中常用的基本思想方法之一， 注意到方程思想在數(shù)列間題中的應(yīng)用 . 常可 以簡(jiǎn)潔處理一些其他思想方法難以解決的數(shù)列問題。 在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式an 和前 n項(xiàng)和公式 Sn 共涉及五個(gè)量： a1，an，n，q(d)，Sn，其中首項(xiàng) a1和公比 q(公差 d)為基本量， “知三求 二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于 a1，an，n，q(d)，Sn 的方程組，通過方程的思想解出需要的量二、函數(shù)思想 函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化

5、的觀點(diǎn)考察數(shù)學(xué)對(duì)象 . 數(shù)列是一類特殊的函數(shù) , 以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)理 解數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法 .a20a11例 2、已知等差數(shù)列 an 中， a1 29， S10 S20 ，則該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？ 尋求通項(xiàng) ，借助數(shù)列的單調(diào)性解決10 920 19解：Q S10S20,10a1d 20a1d，22又 a129，d2an29(n 1) (2)2n 31令 an0,Qn 15,nN，所以數(shù)列首項(xiàng)為正，公差為負(fù)，前 15 項(xiàng)為正，從第 16 項(xiàng)開始為負(fù)，所以前15項(xiàng)的和最大15 14S1515a1d225 。2巧用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，關(guān)注數(shù)列的單調(diào)性解：Q S10S20,a11 a12

6、a13L a19 a200，由等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)可得：5(a15 a16 ) 0 ，又Q a1 29 0， a15 0,a16 0當(dāng) n 15時(shí)， Sn 取得最大值。又 a1 29 ， d 2an 29 (n 1) ( 2) 2n 31令 an 0,Q n 15,n N ，所以數(shù)列首項(xiàng)為正， 公差為負(fù)， 前15項(xiàng)為正， 從第 16項(xiàng)開始為負(fù)， 15 14所以前 15項(xiàng)的和最大，且 S15 15a1 15 14 d 225 。思路 2：從函數(shù)的代數(shù)角度來分析數(shù)列問題20 19d210 9解： Q S10 S20 , 10a1d 20a12又 a1 29 ， d 2S na n (n 1)dn2

7、30nSn na1 dn 30nn 1 22(n 15)2 225當(dāng) n 15時(shí)， Sn 取得最大值 225。思路 3：從函數(shù)圖象入手，數(shù)形結(jié)合2解：設(shè) Sn An2 Bn ，數(shù)列對(duì)應(yīng)的圖象是過原點(diǎn)的 拋物線上孤立的點(diǎn)，又 Q a1 29 0， S10 S20，對(duì)稱軸為 n10 2015 且開口向下，2當(dāng) n 15 時(shí)， Sn 取得最大值。四種方法的比較 設(shè)數(shù)列 an 的公差為 d， S10 S20，1092019 1029d2029d，22解得 d 2， an 2n 31，設(shè)這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和最大，an0， 則需an 1 0， 2n 31 0，即2 n 1 310，14.5 n15.5

8、， nN， n 15.方法二 設(shè)數(shù)列 an 的公差為 d， S10 S20，1092019 1029 2 d2029 2 d，解得 d 2.d 2 d等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 2n2(a12)n是關(guān)于 n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)， 根據(jù)其圖象的對(duì)稱 1020性，由 S10 S20，知 x 2 15 是其對(duì)稱軸，由 d 2 知二次函數(shù)的圖象開口向下，故 n15 時(shí) Sn 最大備用：數(shù)列 an 中， ann2 1 n,n N ，求數(shù)列 an 的最大項(xiàng)。 .小結(jié)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的最值問題，避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程 . 數(shù) 列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時(shí)，若涉及

9、參數(shù)取值范圍、最值問題或單調(diào)性時(shí)，均可考慮 采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導(dǎo)解題值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或1,2,3 ，n，這一特殊性對(duì)問題結(jié)果可能造成影響三、分類討論思想復(fù)雜問題無法一次性解決 ,常需分類研究 ,化整為零 ,各個(gè)擊破 . 數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的分類討論的 問題 . 分類討論是一種邏輯方法 ,同時(shí)又是一種重要的解題策略 , 在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用 . 所謂 分類討論 ,是在討論對(duì)象明確的條件下 ,按照同一的分類標(biāo)準(zhǔn) , 不重復(fù)、不遺漏、不越級(jí)的原則下進(jìn)行 的. 它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.例 3、已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的和 Sn 3 2n，求

10、an。解： (1)當(dāng) n 1時(shí)， a1 s1 5 ；(2)當(dāng)n 2時(shí)， an sn sn 1 2n 2n 1 2n 1；510綜合 (1) (2) 可知 an2n 1 n 2 點(diǎn)評(píng)：此例從分的體現(xiàn)了 an 與 sn 的關(guān)系中隱含了分類討論思想， 必須為正整數(shù)。2備用：已知數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 sn n2 18n ， 試求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn 的表達(dá)式 .分析 : 解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列 bn 對(duì)值 . 故需分類探討解: 當(dāng) n=1時(shí), b1 當(dāng) n2時(shí) , 2bn sn sn 1 n 當(dāng) 1n9時(shí), bn 當(dāng) 1n9時(shí) , Tn = = b1 b2bn當(dāng) n 10其理由是 an

11、 sn sn 1 中腳碼 n 1的通項(xiàng)公式 , 并弄清數(shù)列bn 中各項(xiàng)的符號(hào)以便化去 bn 的絕s112 181 17;22 18n 1918n n 10 , 當(dāng) n10時(shí),bn 0.從而bn18n ;b1 b2snn22n.時(shí) , Tn = b1 b2bn=b12nb9 b1018n 2( 92 18b29)bnsn 2s9n218n 162 .9)n2 18n, (12 n 18n 162,(n小結(jié)：數(shù)列中的分類討論多涉及對(duì)公差d、公比近幾年高考的熱點(diǎn) .Tn=10)q、項(xiàng)數(shù) n的討論 ,特別是對(duì)項(xiàng)數(shù) n 的討論成為四、整體的思想 整體思想就是從整體著眼 , 通過問題的整體形式、 整體結(jié)構(gòu)

12、或其它整體處理后， 達(dá)到簡(jiǎn)捷地解題 的目的 .例4、在等差數(shù)列 an 中，已知a1a4 a7 9 ，a2a5a815，求 a3a6a9 的值。解：Q a2a5a8(a1a4a7)3d ，d 2 ，a3a6a9(a2a5a8)3d21例 4、在等比數(shù)列 an 中， a9 a10 a(a0) ， a19 a20 b ，分析則 a99 a100 根據(jù)題設(shè)條件可知a19a20a9 a10q10b，a，a99 a100而 q90 ，故可整體代入求解a9 a10解析 設(shè)等比數(shù)列 an的公比為 q，9a19 a20則 qa9a10b a，a99 a100 又a9 a1090 10 9q90(q10)9b 9

13、 ， a，故 a99 a100答案 b8ab 9b9a (a9a10) a8.小結(jié)：解決此題如果不把它與整體思想聯(lián)系起來，那么直接解決要走很多彎路也不容易直接求出它的準(zhǔn)確答案，因此此題應(yīng)用了整體思想來解決了數(shù)列問題是非常重要的備用：已知數(shù)列 bn 為等差數(shù)列，前 12項(xiàng)和為 354，前 12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為 27:32 ,求公差 d. 分析: 此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解， 想去解決,解法十分簡(jiǎn)捷 .解:由題意令奇數(shù)項(xiàng)和為 27x ,偶數(shù)項(xiàng)和為 32x. 因?yàn)椋?s12 27x 32x 59x 354, 所以： x 6. 而 32x 27x 5x 30 6d, d 5.計(jì)

14、算量較大 , 注意考慮用整體思五、轉(zhuǎn)化與化歸的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象 , 使之成為大家熟悉的或 容易解決的問題 . 這是解決數(shù)列問題重要方法 .例 5已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn，且 Sn14an2(nN*)，求an的通項(xiàng)公式。分析與略解：當(dāng) n2時(shí)， Sn 1 4an 2，Sn 4an 1 2 。兩式相減，得an 1 Sn 1 Sn 4an 4an 1 ，an 12an2(an 2an 1) ?？梢?an 1 2an 是公比為 2 的等比數(shù)列。又 a1a2S2 4a1 2 ， a1 1 ，得 a2 5 ，則 a2 2a1 3 。因此 an

15、 1 2an 3 2n 1 兩邊同除以 2n 1 ，得an 12n 1an2n33 (常數(shù))，4可見 a2nn 是首項(xiàng)為 2113，公差為 的等差數(shù)列。因此24an2nn34(n 1)43 1 ， n44從而 an (3n 1)2n評(píng)析：本例通過兩次化歸，第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列，第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列，隨 著化歸的進(jìn)行。問題降低了難度。六、類比的思想方法 如：數(shù)列與函數(shù)、等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)以及等差數(shù)列與等比數(shù)列之間概念 和性質(zhì)的類比等。類比等差數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、前 n 項(xiàng)和，可以得出對(duì)等比數(shù)列相應(yīng)問題的研究； 類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式，可以得出對(duì)數(shù)列、等差數(shù)列、等

16、比數(shù)列相應(yīng)問題的研究。類比思想 的應(yīng)用是本章的主要特色。還有一些重要的思想方法，如遞推思想、從特殊到一般、 數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造模型等思想方法。數(shù)列問題應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法來解決非常重要，具體應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中靈活多變，如果我們掌握 了數(shù)學(xué)思想方法解題的一些常用技巧，在解決數(shù)列的時(shí)候認(rèn)真分析，巧妙地應(yīng)用八種數(shù)學(xué)思想方法 中的一種來解決，那么解題就變得簡(jiǎn)單多了在高中數(shù)學(xué)中，我們也可以應(yīng)用這些思想方法來解決 相關(guān)數(shù)學(xué)問題 .并且學(xué)好這些思想方法我們也可以來解決其它數(shù)學(xué)知識(shí)方面的難點(diǎn)問題.預(yù)習(xí)作業(yè)：1設(shè)數(shù)列 an是公差不為零的等差數(shù)列， Sn為其前 n項(xiàng)和 （n N ），2且 S12 9S2 ， S4 4S2 ，則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 答案 an 36（2n 1）解析 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，由前 n 項(xiàng)和的概念及已知條件得a21 9（2a1 d），4a16d4（2a1d ）由 得 d2a1，代入 有 a1236a1，解得 a10 或 a1 36.將 a10 舍去因此 a136，d72，故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an 36 （n 1