橢圓難題(包括答案)35182

1、-作者xxxx-日期xxxx橢圓難題(包括答案)35182【精品文檔】關(guān)于焦點三角形與焦點弦（1）橢圓上一點與兩個焦點所構(gòu)成的稱為焦點三角形。設(shè)，則有：P ，當(dāng)（即為短軸頂點）時，最大，此時 的面積當(dāng)（即為短軸頂點）時，最大，且 AB（2）經(jīng)過焦點或的橢圓的弦，稱為焦點弦。設(shè)，的中點為，則弦長 （左焦點取“+”，右焦點取“-”）當(dāng)軸時，最短，且關(guān)于直線與橢圓的位置關(guān)系問題常用處理方法1 聯(lián)立方程法：聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)交點坐標為，則有，以及，還可進一步求出。在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法2 點差法：設(shè)交點坐標為代入橢圓方程，并將兩式相減，可得，在

2、涉及斜率、中點、范圍等問題時，常用此法典例剖析1 求橢圓的標準方程【例2】設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為，過點作的垂線分別交橢圓于，交軸于，且（1）求橢圓的離心率。（2）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程?！窘狻浚?）由已知可得： 由可得：，將點坐標代入橢圓方程可得：。 即 （2）由（1）得：，圓心為，半徑于是有：(圓心到直線距離)， 所以 。故橢圓方程為：【例4】已知橢圓的中心在原點，短軸長為，右準線交軸于點，右焦點為，且，過點的直線交橢圓于兩點（1）求橢圓的方程（2）若，求直線的方程（4）求的最大面積【解】（1） 橢圓方程為：（2）設(shè)直線的方程為：，且設(shè)聯(lián)立 消去，得：則 從而求得：由

3、得 ： ，求得 所以的方程為：（4）由（1）得：令 ， 則 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“”所以的最大面積為2 橢圓的性質(zhì)【例6】已知橢圓的兩個焦點分別為，在橢圓上存在一點，使得（1）求橢圓離心率的取值范圍（2）當(dāng)離心率取最小值時，的面積為，設(shè)是橢圓上兩動點，若線段的垂直平分線恒過定點。求橢圓的方程；求直線的斜率的取值范圍。【解】（1）設(shè)橢圓短軸的端點為B,由已知及橢圓的性質(zhì)得： 所以，從而 ，即，又， 所以，得：，所以 。（2）當(dāng)取得最小值時，在短軸頂點，所以， 又， 故求得：。 所以橢圓方程為：設(shè)，設(shè)直線的方程為，的垂直平分線方程為：聯(lián)立消去得：則有 即 又有: 從而所以的中點為 。又在的垂直平分線

4、上，所以， 即 將代人求得：求取值范圍問題通常要建立不等式，關(guān)于不等式的來源有以下幾種情況：（1）已知不等式；（2）橢圓上的點的橫坐標滿足；（3）；（4）橢圓內(nèi)部的點滿足； 【例7】橢圓的中心在原點，焦點在軸上，斜率為的直線過橢圓的右焦點與橢圓交于兩點，與向量共線。（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)為橢圓上任一點，若，求證：為定值【解】（1）設(shè)橢圓方程為 ，設(shè)， 由已知：直線AB的方程為：，代入橢圓方程，得： ， 由韋達定理得：，易知： 因為與向量共線，所以 ， 而，所以， 即 ，于是有： 又 ，所以，故有：。（2）由（1）得：，所以橢圓方程為：，即，直線AB的方程為：，于是有：，從而，。于是。設(shè)，

5、由已知：，將M的坐標代入橢圓方程得：， 即， 于是有：。 故為定值?！纠?】已知為橢圓上一動點，弦分別過焦點，當(dāng)軸時，恰有. （1）橢圓的離心率（2）設(shè)，判斷是否為定值？【解】（1）當(dāng)軸時，從而 依定義有，所以 而，所以 ，即 。（2）由（1）可知橢圓方程為：， 設(shè)若的斜率都存在，則直線的方程為 代入橢圓方程，并整理得：由韋達定理有由已知：；同理可得： 所以若有一個斜率不存在，不妨設(shè)軸則 所以 綜上所述為定值。3. 最值問題【例11】已知橢圓，是垂直于軸的弦，直線交軸于點， 為橢圓的右焦點，直線與交于點（1）證明：點在橢圓上（2）求面積的最大值【解】（1）由已知。設(shè)，則且，與的方程分別為：聯(lián)立

6、兩直線的方程求得： 即 因為， 所以點在橢圓上（2）設(shè)直線的方程為（過焦點）且聯(lián)立則由：所以 所以令，函數(shù)遞增， 所以當(dāng)時，取得最小值，故當(dāng)時，取得最大值【例14】已知橢圓的左，右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點（1）求的面積的最大值（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大值時，求的值【解】（1）由已知得： 設(shè)直線的方程為，且設(shè)聯(lián)立則有：由已知可得：令易證函數(shù)在上遞增（*），所以當(dāng)時，取得最小值，故當(dāng)時，取得最小值， 故的最大值為。（2）當(dāng)最大值時，從而，而所以4 直線與橢圓的位置關(guān)系【例16】已知是橢圓的左，右焦點，直線與橢圓相切。（1）分別過作切線的垂線，垂足分別為，求的值（3）設(shè)直線與軸，軸分別交于兩點，求

7、的最小值?！窘狻浚?）設(shè)直線的方程為，由已知: ，。 所以 ；。 于是。 聯(lián)立，消去y，的：。 因為直線與橢圓相切，所以 。 所以 為定值。 （2）易知：，。 所以 。當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。 所以 。【例17】已知橢圓，過點作直線與橢圓順次交于兩點（在之間）。（1）求的取值范圍； （2）是否存在這樣的直線，使得以弦為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求的方程，若不存在，說明理由?！窘狻浚?）方法一：（聯(lián)立方程法）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為且設(shè)。聯(lián)立， 消去，并整理得：則有， 求得：又有 設(shè) ，則有，即 從，中消去可得：而 ， 所以 。 而 ，故求得：）當(dāng)直線的斜率不存在時，綜上所述， 的取

8、值范圍是方法二：（點差法） 設(shè)， 則有：， 所以，即于是有 (1)(2) 得：，即 由已知， ，所以 而， 所以 （2）假設(shè)滿足條件的直線存在，設(shè)，則由（1）可知： 從而求得：于是有： 滿足 故滿足條件的直線存在，且直線方程為：或【例19】（2010江蘇）已知橢圓的左，右焦點為，左，右頂點為，過點的直線分別交橢圓于點（1）設(shè)動點，滿足，求點的軌跡方程（2）當(dāng)，時，求點的坐標（3）設(shè)，求證：直線過軸上的定點【解】（1）由題意知:，設(shè)，則 ， 化簡整理得: （2）把代人橢圓方程,分別求出: ， 直線 ; 直線 、聯(lián)立,得： （3）由已知: ，直線與橢圓聯(lián)立，得：直線與橢圓聯(lián)立，得：直線的方程為：化簡得令，解得，即直線MN過X軸上定點。三 解題小結(jié)1. 離心率是圓錐曲線的重要性質(zhì)，求離心率及其取值范圍，就是尋找與或之間的關(guān)系2. 求與橢圓有關(guān)的最值問題,有三種方法：（1）幾何法;（2）三角代換法;（3）轉(zhuǎn)化函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值3. 直線與橢圓的位置問題兩種基本方法：（1）聯(lián)立方程法;（2）點差法，前者涉及弦長與中點，后者涉及斜率，中點等.4. 關(guān)于橢圓的補充性質(zhì)（常在解題中遇到）： 橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積為. 過焦點 的直線交橢圓于P, Q兩點，則當(dāng)軸時，的面積最大，且最大面積為. 設(shè)右準線與軸交于點E，過E點的直線與橢圓交于P, Q兩