統(tǒng)計線性代數(shù)課件：第五章 矩陣的特征值與特征向量

1、12.A113A113,30210000的特征向量的屬于特征值是的特征值，是所以使得及非零向量存在數(shù)AA設設A A是是n n階階方陣方陣，如果存在一個數(shù)，如果存在一個數(shù) 及及非零向量非零向量則稱則稱 為為A A的一個的一個特征值特征值, ,為為A A的對應于（或屬于）的對應于（或屬于）, ,使得使得0A 特征值特征值 的的特征向量特征向量。第一節(jié)特征值與特征向量第一節(jié)特征值與特征向量比如，給定比如，給定000定義定義13如何求方陣如何求方陣A的特征值的特征值 與特征向量與特征向量 ?分析分析:若若 是是A的特征值，的特征值， 是是A的屬于特征值的屬于特征值 的的特征向量，則由定義有特征向量，則

2、由定義有 A=, 即 (E-A)=0 (0),可見:是齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解. 由于 是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，故有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|E-A|為零，即|E-A|=0. (稱此方程為A的特征方程).(E-A)X=0 . 由此可知: 是特征方程 的根。 |E-A|=04求矩陣求矩陣A的特征值與對應的特征向量的步驟可以歸納為：的特征值與對應的特征向量的步驟可以歸納為：(2) 將每個特征值將每個特征值= 代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組,得得 ( E-A)X=0，n,21i特征向量. 解方程組，求出基礎解系，基礎解系的線性組合解方程組，求出基礎解系，基礎

3、解系的線性組合(1)求出求出A的特征方程的特征方程|E-A|=0的全部根，即得的全部根，即得矩陣矩陣A的全部特征值的全部特征值 .ii求矩陣求矩陣A的特征值與對應的特征向量的步驟可以歸納為：的特征值與對應的特征向量的步驟可以歸納為：（零向量除外）就是（零向量除外）就是A的的對應于特征值對應于特征值 的全部的全部 5314020112例例1求矩陣求矩陣A 解解A的特征方程為的特征方程為故得A的特征值為11,232.的特征值與特征向量的特征值與特征向量.|E-A|=0=(+1)(-2) =0,即23140201126414030111321xxx000114000114321xxx000當當11時

4、，解線性方程組時，解線性方程組( E A)X 0,得基礎解系得基礎解系1 (1,0,1)T，于是對應于，于是對應于11的全體特的全體特征向量為征向量為 k11 , k1為任意非零常數(shù)為任意非零常數(shù). 當當2 3 2時，解線性方程組時，解線性方程組(2E A)X 0,即即得基礎解系2(1,0,4)T, (1,4,0)T,于是對應于232的全部特征向量為k22+k33 (k2,k3是不同時為零的任意常數(shù)). 即即37201034011例例2求矩陣求矩陣A 解解A的特征方程為的特征方程為故得故得A的特征值為的特征值為1 2,2 3 1.的特征值與特征向量的特征值與特征向量.|E-A|=(-1) (-

5、2)=0,22010340118321xxx000得基礎解系得基礎解系1 (0,0,1)T.于是對應于特征值于是對應于特征值1 2的的全部特征向量為全部特征向量為k11 (k1為任意非零常數(shù)為任意非零常數(shù)). 101024012321xxx000當當2 3 1時，解齊次線性方程組時，解齊次線性方程組(E A)X 0，即，即得基礎解系2(1,2,1)T.于是對應于特征值21的全部特征向量為k22 (k2為任意非零常數(shù)). 001014013當當1 2時，解齊次線性方程組時，解齊次線性方程組(2E A)X 0，即，即9注意注意: 例例1中對于二重特征值中對于二重特征值 = =2，2312對角化問題

6、的討論具有重要意義對角化問題的討論具有重要意義.線性無關的特征向量的個數(shù)只有一個線性無關的特征向量的個數(shù)只有一個,這對后面方陣這對后面方陣對應于二重特征值對應于二重特征值 = =1的的存在兩個線性無關的特征向量存在兩個線性無關的特征向量;而例而例2中中101例例3設設是方陣是方陣A的特征值，證明的特征值，證明(1) 2是是A2的特征值；的特征值；(2) 當當A可逆時，可逆時， 是是A 的特征值的特征值.證明證明設0是A的對應于的特征向量，則 A , 于是 (1)A =A(A)=A()=A=, 11(2) 當當A可逆時，由可逆時，由A 有有 A 1.因因0，,即 是A1 的特征值. 知知0，故，

7、故A =-12222故 是A 的特征值.-111(1 ) (A)= 有特征值.有特征值.(A)= .() = 注注進一步容易證明：若A有有特征值 ，則()= nnaaaa2210nnmmaaaaa1011nnmmAaAaEaAaAa1011(2) 當A可逆時, nnAaAaAaEa221012二、特征值與特征向量的性質二、特征值與特征向量的性質設設A A是是n n階矩陣，則階矩陣，則 A A 與有相同的特征值與有相同的特征值. . 性質性質1 1A證明因為證明因為|E-A |=|(E-A) |=|E-A|,所以所以A 與與A有相同的特征多項式，有相同的特征多項式，故它們的特征值相同故它們的特征

8、值相同. TTTT13設設A (aij)是是n階方陣，則階方陣，則nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211n(a11+a22+ann)n1+(1)n|A|.|E-A|由由n次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關系有性質次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關系有性質:14性質性質2設設n階方陣階方陣A=( )的的n個特征值為個特征值為則則(1) 由此定理很容易有推論由此定理很容易有推論:稱為矩陣稱為矩陣A的跡的跡，記作，記作trA.其中其中A的全體特征值之和的全體特征值之和 =|A|.ijan,21n21;|221121nnnaaa(2)|2211nnaaa15推論推論 n n階方陣階方陣可逆可逆的充分必要

9、條件是它的的充分必要條件是它的全部特征全部特征值都不為零值都不為零. .例例4設三階矩陣設三階矩陣A的特征值為的特征值為 1,1,2，求，求|A*+3A 2E|.解解依題設，依題設，A沒有零特征值，所以沒有零特征值，所以A可逆，可逆，故故A* |A|A 1.又又|A| 1232,2故故(A)的特征值為的特征值為( 1)3,(1)1,(2) 3,于是于是|A*+3A-2E|=(-3)(-1)3=9.將上式右端記作將上式右端記作(A),有有所以所以A*+3A-2 E=-2A +3A-2E.-1()=- +3-2,16性質性質3設設A為為n階方陣，階方陣， 是是A的的m個個不同的不同的特征值，特征值

10、， 分別是分別是A的對應于的對應于 的特征向量，則的特征向量，則 線性無關線性無關. 即即 屬于不同特征值的特征向量線性無關屬于不同特征值的特征向量線性無關.11sa22sammsa性質性質4設設n階方陣階方陣A的的相異相異特征值為特征值為1,2,m，(i 1,2,m),則向量組則向量組11,12,21,22,m1,m2,線性無關線性無關.對應于對應于i的線性無關的特征向量為的線性無關的特征向量為m,21m,21m,21m,21isiii,2117例例5設設 和和 是矩陣是矩陣A的兩個不同的特征值，的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為對應的特征向量分別為 和和 ，證明，證明不是不是A的特征

11、向量的特征向量. 證明用反證法證明用反證法. 假設假設 是是A的對應于某特的對應于某特征值征值 的特征向量，即的特征向量，即121即即( - ) +( - ) =0于是于是 = + 故故A( )=A +A = + ,依題設有依題設有A = ,A = , A( )= ( )= + .2212102102101021112222112112211220102101202+18即即 = ，與題設矛盾，與題設矛盾. 因此因此 + 不是不是A的特征向量的特征向量. 因因 ,由性質由性質3知，知， , 線性無關，線性無關，1212故由上式得故由上式得 - = - =0,1020121219第二節(jié)相似矩陣與

12、矩陣的對角化第二節(jié)相似矩陣與矩陣的對角化設A,B為n階方陣，若有可逆矩陣P,使定義定義2 21PAPB 則稱則稱B B是是A A的的相似矩陣相似矩陣，或稱矩陣，或稱矩陣 A A與與B B相似相似，AB. 記作記作簡單地講，若簡單地講，若 ，則稱，則稱A與與B相似相似.1PAPB 一、相似矩陣及其性質一、相似矩陣及其性質203113211111112034211131132111120041111311311111例如，給定矩陣例如，給定矩陣A P 以及以及 Q 使得使得 P 1AP Q 1AQ .由此可知，由此可知，與與A相似的矩陣并不唯一相似的矩陣并不唯一則存在矩陣則存在矩陣也不一定是對角矩

13、陣也不一定是對角矩陣. 21 相似是矩陣間的一種特殊的等價關系，即兩個相相似是矩陣間的一種特殊的等價關系，即兩個相似矩陣是等價矩陣；即似矩陣是等價矩陣；即若若 ，則則(1) 反身性反身性AA;(2) 對稱性若對稱性若AB,則則BA;(3) 傳遞性若傳遞性若AB,BC,則則AC.相似的兩個矩陣之間，還存在著許多共同的性質相似的兩個矩陣之間，還存在著許多共同的性質. AB.反之不然，但相似關系仍具有以下性質反之不然，但相似關系仍具有以下性質AB22若若A AB B, ,則則A A與與B B有相同的特征多項式和特征值有相同的特征多項式和特征值. . 性質性質1 1因此，因此，A與與B有相同的特征值有

14、相同的特征值. 證明證明只需證明只需證明A與與B具有相同的特征多項式具有相同的特征多項式. 實際上，由實際上，由AB，必有可逆矩陣，必有可逆矩陣P,使使P AP=B.于是于是-1|E-B|=|E-P AP|=|P (E-A)P|-1-1-1=|P |E-A|P|=|E-A|,23性質性質2若若AB，則，則 ，其中，其中m為正整數(shù)為正整數(shù) mmBA BAPP1PAPAPPAPpAPPAPPBmmm11111)()()(證明證明由AB,必有可逆矩陣P,使 .于是于是所以所以mmBA 24TATB1A(1) 若AB,則|A|=|B|;(2) 若AB,則trA=trB;(3) 若AB，則R(A)=R(

15、B);(5) 若若AB,則則A與與B有相同的可逆性，有相同的可逆性，且當且當A與與B都可逆時，都可逆時， .1B兩個矩陣的相似關系還具有下述性質兩個矩陣的相似關系還具有下述性質(4) 若若AB,則則 ;25二、矩陣可對角化的條件二、矩陣可對角化的條件我們將我們將討論矩陣可對角化的充分必要條件討論矩陣可對角化的充分必要條件. 如果如果n階方陣階方陣A可以相似于一個可以相似于一個n階對角矩陣階對角矩陣,則稱則稱A可對角化可對角化，稱，稱為為A的相似標準形的相似標準形. 由性質由性質1可知，可知，的對角線元素就是的對角線元素就是A的的n個特征值個特征值.然而，然而，并非所有的并非所有的n階矩陣可對角

16、化階矩陣可對角化. 下面，我下面，我26證明必要性證明必要性 設設A,其中其中 diag(1,2,n),則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣P,使使P 1AP 或或 AP P.（*）將矩陣將矩陣P按列分塊，記按列分塊，記P (1,2,n),n21.A( )=( )定理定理1n階方陣階方陣A相似于相似于n階階對角矩陣對角矩陣的的充分必充分必要條件要條件是是A有有n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. 其中其中 是矩陣是矩陣P的第的第i列列(i=1,2,n),則則(*)可寫成可寫成in,21n,2127因因P可逆，所以可逆，所以 0(i=1,2,n),且且 充分性充分性 設設 是是A的的n個線性無關

17、的特征個線性無關的特征向量，它們對應的特征值依次為向量，它們對應的特征值依次為 是是A的的n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. 是是A的對應的對應線性無關線性無關. 因此因此由此可得由此可得 A = (i=1,2,n).iiiin,21ii于特征值于特征值 的特征向量，且的特征向量，且n,21n,21,21,n記矩陣記矩陣P=( )，則，則P可逆，且可逆，且n,2128AP A(1,2,n) (A1, A2, An) (1,22,nn)n21.注注(1) 定理的證明過程實際上已給出了把方陣定理的證明過程實際上已給出了把方陣對角化的方法；對角化的方法； =( )=P,于是有于是有 P A

18、P =,即即 A(2)P中列向量的次序與矩陣中列向量的次序與矩陣對角線上的特征值對角線上的特征值的次序相對應的次序相對應. 推論若A的特征方程的根都是單根，則A與對角矩陣相似. -1n,2129 . 注意注意 當當A的特征方程有重根時，就不一定有的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關的特征向量，從而不一定能對角化個線性無關的特征向量，從而不一定能對角化.例如，在上節(jié)例例如，在上節(jié)例1中中A有二重特征值有二重特征值 = =2，232但因能找到三個線性無關的特征向量，故此但因能找到三個線性無關的特征向量，故此A可可對角化；對角化；而在例而在例2中中A也有二重特征值也有二重特征值 = =1，3但

19、卻只能找到兩個線性無關的特征向量，故此但卻只能找到兩個線性無關的特征向量，故此A不不能對角化能對角化.30 x1010000210000002yx101000210000002y例例1已知已知A 與與B (1) 求求x和和y;(2) 求一個可逆矩陣求一個可逆矩陣P,使使P 1AP B.解解(1) 方法一由于方法一由于AB,故故|E A| |E B|,即即,從而從而( 2)(2 x 1) ( 2)( y)(+1),將將1代入得代入得 x 0. 于是有于是有 2 1 ( y)(+1). 因此，因此，y 1.相似相似.31001110110110110001可分別求得可分別求得A的對應于特征值的對應

20、于特征值2,1, 1的特征向量的特征向量 , 2, 3.于是，可逆矩陣于是，可逆矩陣 P (1,2,3) ,可使P1APB.方法二由于方法二由于AB, 故故|A|=|B|,trA=trB，即有，即有 -2=-2y, 2+x=1+y,解得解得 x=0,y=1.=1(2) 由于由于AB,故故A與與B有相同的特征值有相同的特征值2,1,-1.解齊次線性方程組解齊次線性方程組(E-A)X=0,323241223kk3241223kk32110221k10010221k例例2已知已知A 解解A的特征多項式(1)(+1)2,可對角化，求可對角化，求k.|E-A|=332240224kk0000224kk0

21、0000222kEA故故k 0時，時，A可對角化可對角化. A的特征值為的特征值為 =1, = =-1.由定理由定理1可知，可知，數(shù)矩陣的秩數(shù)矩陣的秩R( E-A)=1,而而關的特征向量，故線性方程組關的特征向量，故線性方程組( E-A)X=0的系的系對應二重特征值對應二重特征值 = =-1,A應有兩個線性無應有兩個線性無12323223411k2111211122. 已知已知是是A 的逆矩陣的逆矩陣A 1的特征向量，的特征向量，求求 .k1A111,AA()0,EA12k 1k 解解 設設 是是 的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量，則的特征向量，則 即即 解此方程組得解此方程組得或或353

22、. 設設A是是n階方陣，證明：若階方陣，證明：若 ，則，則A的特征值的特征值只能是只能是-1或或1.EA 2AA222,AEA 21,11 證證 設設 是是A A的特征值的特征值 是是A A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量，則的特征向量，則即即 故故即即或或0) 1(2364. 已知三階矩陣已知三階矩陣A的特征值為的特征值為1，2，3，試求，試求21A*+3E的特征值的特征值.B=111( )3332BAA AEAE解解19(1)336, (2)33,221(3)334.3 132BAE96,42故故 的特征值為的特征值為.376. 設A與B都是n階方陣，且|A|0，11()BAA ABAA

23、AB A證證證明：證明：AB與與BA相似相似.BAAB 388. 設三階方陣設三階方陣A的特征值為的特征值為1，0，-1，對應的特征向量，對應的特征向量TTT)2 , 1, 2(,) 1 , 1, 2(,)2 , 2 , 1 (321求求50A與A依次為依次為解解 因為因為1231(,),01P 1P AP 依題設有依題設有110210123220AP P50111()()()AP PP PP P50154214529228PP399. 設矩陣設矩陣A 0011100yx特征向量，求特征向量，求x和和y應滿足的條件應滿足的條件.有有3個線性無關的個線性無關的0EA111()()1REAR EA

24、10110000101100EAxyxxy 0 xy ，得（二重），（二重）， 可見方程可見方程的基礎解系含的基礎解系含2 2個解向量，個解向量， 又又21. 0)(1XAE從而從而解解 由由40第三節(jié)第三節(jié)實對稱實對稱矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量一、向量的內積一、向量的內積在空間解析幾何中，兩個向量在空間解析幾何中，兩個向量的內積定義為的內積定義為 321aaa 321bbb 1 12 23 3a ba ba b ，41而向量而向量的長度定義為的長度定義為222123 , aaaa a 并且并且, ,的夾角的夾角滿足滿足 ,cos,0 我們可以把三維向量的內積推廣到我們可以把

25、三維向量的內積推廣到n n維向量，定維向量，定義義n n維向量的內積、長度和夾角維向量的內積、長度和夾角. .42定義定義4 4 設設 12( ,),Tna aa 12(,)Tnb bb 為為R Rn中的兩個向量，稱中的兩個向量，稱 為向量為向量與與的的內積內積，記作，記作,，nnbababa2211,nnbababa2211或或T,即即注意注意: 若若),(),(2121nnbbbaaa則則T,43容易證明內積滿足下列性質：容易證明內積滿足下列性質：(1) , (2) , , kk (3) , , , (4) , 0,0 當當且且僅僅當當時時等等號號成成立立nRkR 其其中中 ， ， 為為中

26、中的的任任意意向向量量，44定義定義5 5向量的長度具有下述性質：向量的長度具有下述性質：設設 12( ,)Tna aa n為為R R 中中的的向向量量，稱稱22212 , na aaaa 為向量為向量的的長度長度（也稱（也稱范數(shù)范數(shù)），記作），記作,即即2212nnaaaa 45這一過程叫做向量的這一過程叫做向量的單位化單位化或或標準化標準化. (1) 非負性非負性0;(2) 齊次性齊次性k=|k|;(3) 三角不等式三角不等式+.當當=1時，稱時，稱為為單位向量單位向量或或標準向量標準向量. 任一非零向量除以它的長度后就成了單位向量任一非零向量除以它的長度后就成了單位向量. 46設設, ,

27、為為R Rn n中的兩個非零向量中的兩個非零向量, ,則稱則稱為向量為向量與與的的夾角夾角. .定義定義6 6定義定義7 7 設設, ,為為R Rn n中的向量，若中的向量，若 , ,=0=0，則稱向，則稱向 ,arccos 與與正交正交（或（或垂直垂直），記作），記作. .顯然，零向量與任何向量都正交顯然，零向量與任何向量都正交. . 47若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量定義定義8 8都不是零向量）中任意兩個向量都正交，則稱此都不是零向量）中任意兩個向量都正交，則稱此向量向量組為組為正交正交向量組向量組。則稱此向量組為則稱此向量組為單位正交向量

28、組單位正交向量組或或標準正交向量組標準正交向量組.若一個若一個正交向量組正交向量組中每一個向量都是中每一個向量都是單位向量單位向量，48因此因此 是一個線性無關的向量組是一個線性無關的向量組. 定理定理3正交向量組必是線性無關的向量組正交向量組必是線性無關的向量組. 證明證明設設n維向量維向量 是正交向量組，是正交向量組，則有則有 =0 (ij).(*)設設 =0,以以 與上式兩端同時做內積運算，并利用與上式兩端同時做內積運算，并利用(*)式可得式可得 =0.由由 0知，知， 0,于是必有于是必有 =0(i=1,2,r),r,21ji,rrkkk2211iji,ji,iikr,2149111

29、211321xxx例例1已知向量已知向量1 , 2解解設設3 ,則則1,300求一個非零向量求一個非零向量 ,使使 為正交向量組為正交向量組. 正交， = 0即00211111321xxx1230 xxx 011由得從從而有基礎解系而有基礎解系 .0100001102110111A3321,32,50取取 =,即可使即可使 為正交向量組為正交向量組.注注: 1. 我們常常采用正交向量組作為向量空間的基，我們常常采用正交向量組作為向量空間的基，稱此基為向量空間的稱此基為向量空間的正交基正交基.2.基向量都是單位向量的正交基又稱為基向量都是單位向量的正交基又稱為標準正交基標準正交基.3321,n,

30、21如如 是是 的正交基，的正交基，只是只是 的基，而不是正交基的基，而不是正交基.,1), 1 , 1 ,(1.,0), 0 , 1 ,(1,0), 0 , 0 ,(1TT2T1nnRnR如如 是是 中的標準正交基中的標準正交基.n,21nR3 . 中的標準正交基也不是唯一的中的標準正交基也不是唯一的.nR.R)21,21(),21,21(21中的標準正交基是n如如51取取 1=1;221121,1;111,r222,r111,rrrrrr12r1. 構造方法如下構造方法如下： 構造出一組與之等價的向量組構造出一組與之等價的向量組給定給定n維向量空間維向量空間 中的一組線性無關的向量，中的一

31、組線性無關的向量，(Schmidt)正交化方法正交化方法. 它是用線性無關向量組它是用線性無關向量組個正交向量組，這個變換的方法稱為個正交向量組，這個變換的方法稱為施密特施密特我們可以通過適當?shù)淖儞Q方法由它們構造出一我們可以通過適當?shù)淖儞Q方法由它們構造出一nRr,21.21,r52如果對彼此正交的向量組如果對彼此正交的向量組 再分別單位化，再分別單位化，即即1122rr1 ,2 ,r ,顯然顯然 為單位正交向量組為單位正交向量組.當當r=n時，時， 即為向量即為向量標準正交基標準正交基.可以驗證可以驗證 兩兩正交，兩兩正交，.21,r.21,rr,21且且 與與 等價等價. .21,rr,21

32、nR空間空間 的一組的一組n,2153121131014例例2設1, 2, 3試用施密特正交化方法將這組向量化為R3的一組標準正交基. 解解先將 正交化，取1211121,131121641113511221,321,541131,2232,01412131111351013312+2.=再將它們單位化，取再將它們單位化，取121611111131221012133 2, 3,即為所求. 321,1=55對例對例2給出的標準正交基給出的標準正交基1,2,3,21316103162213161可以驗證它滿足可以驗證它滿足=以它們?yōu)榱袠嫵删仃囈运鼈優(yōu)榱袠嫵删仃嘠Q Q=E.T56定義定義9若若n階

33、方陣階方陣Q滿足滿足Q Q=E，則稱，則稱Q為為正交矩陣正交矩陣. (3) 兩個正交矩陣的乘積仍為正交矩陣兩個正交矩陣的乘積仍為正交矩陣. (2) |Q|=-1或或1;(1) Q =Q ，且，且Q（或（或 Q )也是正交矩陣；也是正交矩陣；由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質:T-1T-1T57定理定理4Q為正交矩陣的為正交矩陣的充分必要條件充分必要條件是是Q的列（的列（行行）向量組是單位正交向量組向量組是單位正交向量組. 證明將證明將Q按列分塊成按列分塊成Q=( )，),(21TT2T1nnE,即nnnnnnT2T1TT22T21T2T12T11T1E,則則Q

34、 Q=E 等價于等價于Tn,2158Ti1 (),0 ()ijijj (i,j1,2,n).由于Q Q=E與QQ =E等價，故上述結論對Q的行向量組的情形也成立. 由此有由此有注注由此可知，只要我們求出了由此可知，只要我們求出了 的一組標準的一組標準正交基正交基 ,則以這則以這n個向量為列（或行）個向量為列（或行）構造出的構造出的n階矩陣階矩陣Q就是一個就是一個n階正交矩陣階正交矩陣.反之亦然反之亦然.nRn,21TT59二、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質二、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質實對稱矩陣的特征值為實數(shù)實對稱矩陣的特征值為實數(shù). . 實對稱矩陣的對應于不同特征值的特征向量實對

35、稱矩陣的對應于不同特征值的特征向量若若是實對稱矩陣是實對稱矩陣A A的特征方程的的特征方程的r r重根，則重根，則性質性質1 1性質性質2 2相互正交相互正交. . 性質性質3 3對應于對應于 的特征方程也有的特征方程也有 個線性無關的特征向量。個線性無關的特征向量。 r 由此可見，由此可見，實對稱矩陣一定能夠對角化實對稱矩陣一定能夠對角化。60定理定理5 5其中其中是以是以A A 的的n n個特征值為對角元素的對角矩陣個特征值為對角元素的對角矩陣. . 證明證明設設A的互不相同的特征值為的互不相同的特征值為 ,A有有n個兩兩正交的單位特征向量個兩兩正交的單位特征向量. 把它們依次把它們依次按

36、列排列構成正交矩陣按列排列構成正交矩陣Q，有，有正交化，即得正交化，即得 個兩兩正交的單位特征向量，從而個兩兩正交的單位特征向量，從而恰有恰有 個線性無關的特征向量，把它們進行施密特個線性無關的特征向量，把它們進行施密特根據(jù)性質根據(jù)性質1和性質和性質3知，對應特征值知，對應特征值 (i=1,2,s)它們的重數(shù)分別為它們的重數(shù)分別為 AQQAQQT1S,21)(,2121nrrrrrrss設設A為為n階實對稱矩陣，則必有正交矩陣階實對稱矩陣，則必有正交矩陣Q,使使三、實對稱矩陣的對角化三、實對稱矩陣的對角化iirir61,恰是A的n個特征值 AQQAQQT1ss,2211其中對角矩陣其中對角矩陣的對角元素含的對角元素含S2211個，個，個srrr=diag( )=,62