任意角和弧度制PPT課件

1、問題：在實際問題中還會遇到其他角角的定義角的定義 角是由平面內一條射線繞其端點從一個位角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形置旋轉到另一個位置所組成的圖形. .始邊終邊A AO OB B頂點 角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的以度量其大小的. .在平面幾何中，角的取值范在平面幾何中，角的取值范圍如何？圍如何？ 003600回顧：回顧：第1頁/共35頁第2頁/共35頁1.1.體操是力與美的結合，也充滿了角的概體操是力與美的結合，也充滿了角的概念念20022002年年1111月月2222日，在匈牙利德布勒森舉日，在匈牙

2、利德布勒森舉行的第行的第3636屆世界體操錦標賽中，屆世界體操錦標賽中，“李小鵬李小鵬跳跳”“踺子后手翻轉體踺子后手翻轉體180180度接直體前度接直體前空翻轉體空翻轉體900900度度”，震驚四座，這里的轉體，震驚四座，這里的轉體180180度、度、 轉體轉體900900度就是一個角的概念度就是一個角的概念. . 角的形成結果角的形成結果第3頁/共35頁2 2. . 在實際問題中還會遇到其他角在實際問題中還會遇到其他角 體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到到“轉體轉體108010800 0”、“轉體轉體126012600 0”這樣的解說這樣的解說

3、鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉所成的角它們按照不同方向旋轉所成的角不全是不全是0o360o范圍內的角范圍內的角.因此，僅有因此，僅有0360范圍內的角是不夠的范圍內的角是不夠的.我們必須將角的概念進行推廣我們必須將角的概念進行推廣. 第4頁/共35頁第5頁/共35頁在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的. .一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉. .思考思考1 1：你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉：你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉6060度所形成的角，與

4、按順時針方向旋轉度所形成的角，與按順時針方向旋轉6060度所形成的度所形成的角是否相等？角是否相等？知識探究（一）：角的概念的推廣知識探究（一）：角的概念的推廣 第6頁/共35頁思考思考2 2：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？形成一個角嗎？ 規(guī)定：規(guī)定：按按逆時針逆時針方向旋轉形成的角叫做方向旋轉形成的角叫做正角正角，按，按順時針順時針方向旋轉形成的角叫做方向旋轉形成的角叫做負角負角如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一如果一條射線沒有

5、作任何旋轉，則稱它形成了一個個零角零角. .度量一個角的大小，既要考慮度量一個角的大小，既要考慮旋轉旋轉方向方向，又要考慮，又要考慮旋轉量旋轉量，通過上述，通過上述規(guī)定，規(guī)定，角的范圍就擴展到角的范圍就擴展到任意大小任意大小. .第7頁/共35頁B B2 2A AB B1 1O O思考思考3 3：對于：對于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？ 000660,150,210畫圖表示一個大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負確定角的旋轉方向，(3)再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭

6、頭的螺旋線加以標注.第8頁/共35頁思考思考4 4：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加、相減，如：任意兩個角的數(shù)量大小可以相加、相減，如 50508080=130=130， 50508080= =3030，你能解，你能解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？ 第9頁/共35頁練習1 1： 鐘表經過4小時，時針與分針各轉 (填度). 2：如果你的手表慢了：如果你的手表慢了20分鐘，或快了分鐘，或快了1.25小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？將時間校準？ 120120，450450. . 120120，-1440-1440. .第1

7、0頁/共35頁知識探究（二）：知識探究（二）：象限角象限角 思考思考1 1：為了進一步研究角的需要，我們常在直：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非負半軸重合，那么對一個任軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？意角，角的終邊可能落在哪些位置？ xoy第11頁/共35頁如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如何象限，或稱這

8、個角為軸認為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為軸線角線角. .50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo 那么下列各角：那么下列各角：-50-50，405405，210210,-200,-200，450450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？第12頁/共35頁思考思考3 ：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限象限角只能反映角的終邊所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能反映角的大小. 思考思考2 ：銳角是第幾象限的角？第一象限的角銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于是否都是銳角？小

9、于90的角是銳角嗎？的角是銳角嗎？ 第13頁/共35頁思考思考4 4：在直角坐標系中，在直角坐標系中，135135角的角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是一定是135135嗎？嗎？xyo第14頁/共35頁探究三：探究三：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第幾象限的是第幾象限的角？這些角有什么內在聯(lián)系？角？這些角有什么內在聯(lián)系？32392xyo o3280003603232800036032392第15頁/共35頁思考思考2 2：與與3232角終邊相同的角有多少個？這角終邊相同的角有多少個？這些角與些角與3232

10、角在數(shù)量上相差多少？角在數(shù)量上相差多少？ Zkk,3603200思考思考3 3：所有與：所有與3232角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同3232角角在內，可構成一個集合在內，可構成一個集合S S，你能用描述法表示集合，你能用描述法表示集合S S嗎？嗎？ 第16頁/共35頁S=|=S=|=k k360360，kZkZ，一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角在內所在內所構成的集合構成的集合S S可以表示為：可以表示為： 3.終邊相同的角即任一與終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.第17頁/共35頁 例例1 1 在在0 0360360范圍內，找出與范

11、圍內，找出與950950角終邊角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角相同的角，并判定它是第幾象限角. . 130130，第二象限角，第二象限角. .第18頁/共35頁例例1 1 判別下列各角是第幾象限的角。判別下列各角是第幾象限的角。(1)405(1)4050 0 (2)488 (2)4880 0 (3)840 (3)8400 0 (4)-120 (4)-1200 0 (1) 4050=3600+450 而450是第一象限角，所以4050是第一象限角解：(2) 4880=3600+1280 而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角(3) 8400=23600+1200 而1200是第二象

12、限角，所以8400是第二象限角(4) -1200=-3600+2400 而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角第19頁/共35頁例例2 2 在在0 0360360內找出與下列各角終邊相同內找出與下列各角終邊相同的角的角(1)900(1)9000 0 (2)-50 (2)-500 0 (3)425 (3)4250 0 (4)-670 (4)-6700 0 (1) 9000=23600+1800 所以9000的角與1800角終邊相同解：(2) -500=-3600+3100 所以-500的角與3100角終邊相同(3) 4250=3600+650 所以4250的角與650角終邊相同(4)

13、 -6700=-23600+500 所以-6700的角與500角終邊相同第20頁/共35頁思考思考3 3：終邊在終邊在x x軸正半軸、負半軸，軸正半軸、負半軸，y y軸正半軸、軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？負半軸上的角分別如何表示？ x軸正半軸：= k360，kZ ； x軸負半軸：= 180k360，kZ ；y軸正半軸：= 90k360，kZ ； y軸負半軸：= 270k360，kZ .第21頁/共35頁思考思考1 1：終邊在：終邊在x x軸非正半軸、非負半軸上的角分別如軸非正半軸、非負半軸上的角分別如何表示？何表示？ x軸非負半軸:=k360,kZ ； x軸非正半軸:=k360+180

14、,kZ ；2 2：終邊在：終邊在x x軸上的角的集合表示軸上的角的集合表示終邊在x軸上：S=|=k180，kZ；4.終邊在坐標軸上角的表示第22頁/共35頁思考思考3 3：終邊在：終邊在y y軸非正半軸、非負半軸上的角分別軸非正半軸、非負半軸上的角分別如何表示如何表示？ y軸非負半軸:= 90k360，kZ ；y軸非正半軸:= 270k360，kZ .4 4：終邊在：終邊在y y軸上的角的集合表示軸上的角的集合表示終邊在y軸上:S=|=90+k180 ,kZ. 第23頁/共35頁思考：終邊在第一象限的角的集合如何表示？思考：終邊在第一象限的角的集合如何表示？ 5.終邊在各個象限角的表示S=|k

15、S=|k360360o o9090o ok k360360，kZkZ；第24頁/共35頁第二象限：第二象限：S=|90S=|90o ok k360360180180o ok k360360o o,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|180o ok k360360270270o ok k360360o o,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|90ok360k360o,kZ；思考：終邊在其它象限的角的集合如何表示？思考：終邊在其它象限的角的集合如何表示？ 第25頁/共35頁典例典例如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分別是第分別是第幾象限的角？幾象限的角？

16、9090k k360360180180k k360360180180k k72072023602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180第26頁/共35頁S=|=45S=|=45k k180180，kZkZ.315315，-135-135，4545，225225，405405，585585. . 例例2 2 寫出終邊在直線寫出終邊在直線y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中適中適合不等式合不等式-360-360 720720的元素寫出來的元素寫出來. . 第27頁/共35頁例例3.223 已已知知角角是是第第一一象象限限的的角

17、角，試試問問、 、 各各是是第第幾幾象象限限的的角角？第28頁/共35頁.2 綜綜上上可可知知： 是是第第一一或或第第三三象象限限的的角角kkkZ18018045.2 又又，2 ()kn nZ當當時時，360360452nnnZ ，21()knnZ當當時時，3601803602252nnnZ ，.2 故故是是第第一一象象限限的的角角.2 故故是是第第三三象象限限的的角角解解： 由由角角是是第第一一象象限限的的角角可可知知：36036090kkkZ ，第29頁/共35頁例例3.223 已已知知角角是是第第一一象象限限的的角角，試試問問、 、 各各是是第第幾幾象象限限的的角角？第30頁/共35頁kkkZ1