初等函數(shù)微分PPT課件

1、一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu第1頁/共35頁證(1)、(2)略.證(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()

2、()()()()(lim0 第2頁/共35頁hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf第3頁/共35頁注（1）即是和、差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和、差（2）即是乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù) 乘以第二個因子再加上第一個因子乘以 第二個因子的導(dǎo)數(shù)（3）即是商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母 減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母 的平方 （1）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形; )( )(11 niiniixfx

3、f （2）也可推廣到任意有限個函數(shù)的情形第4頁/共35頁wuvwvuvwuuvw )(; )()()()()()()()( )(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf 作為（2）的特殊情況uccucv )(，則，則若若);( )(xfCxCf 或或即常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號的外面)( )(11xfkxfkniiiinii 第5頁/共35頁即線性組合的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的線性組合說明求導(dǎo)是一線性運算作為（3）的一種特殊情況，2)1(, 1vvvu 則則若若二、例題分析例1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解23xy x4 .cos x 第6頁/共35頁例2

4、.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cossin()(tan xxxy第7頁/共35頁xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得.csc)(cot2xx 例4yxy 求求sec解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得xxxcotcsc)(csc 第8頁/共

5、35頁例5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解,0時時當(dāng)當(dāng) x, 1)( xf,0時時當(dāng)當(dāng) xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 第9頁/共35頁,0時時當(dāng)當(dāng) xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf第10頁/共35頁三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間

6、在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).第11頁/共35頁例6.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc第12頁/共35頁例7.log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xya 解,),(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yyIax, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在 xI)(

7、1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特別地.1)(lnxx 第13頁/共35頁四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，但是像12sin,tanln22 xxexx等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求它們的導(dǎo)數(shù)先看一個例子例8 yxy ，求，求22)1(第14頁/共35頁22)1(xy 4221xx 344xxy )1(42xx 這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像10002)1(xy 求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像521xy 求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？ 仔細(xì)分析一下，這三個函數(shù)具有同樣的復(fù)合結(jié)構(gòu)我們從復(fù)合函數(shù)的角度來分析一

8、下上例的結(jié)果。22)1(xy 復(fù)復(fù)合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 第15頁/共35頁再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到xy2sin xuuy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上兩例可見：由)(),(xuufy 復(fù)合而成的函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)xy 恰好等于y對中間變量u的導(dǎo)數(shù)uy 與中間變量u對自變量x的導(dǎo)數(shù)xu 的乘積xuxuyy 這就是鏈?zhǔn)椒▌t第16頁/共35頁定理).()

9、(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即 因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上可導(dǎo)，且有上可導(dǎo)，且有在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，在在若若)(,)(,)()(11 第17頁/共35頁證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx

10、 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 第18頁/共35頁注1.鏈?zhǔn)椒▌t“由外向里，逐層求導(dǎo)”2.注意中間變量推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例9.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第19頁/共35頁例10.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 x

11、x例5.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy )0( a解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 第20頁/共35頁例11.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例12.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第21頁/共35頁例13.sinh的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解 )(21)(sinh xxeexy)(

12、21xxee .cosh x 同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例14 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù))( xy xeln )ln(ln xex xx1 1 x第22頁/共35頁例15.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 第23頁/共35頁注1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和上述求導(dǎo)法則是初等函數(shù)求導(dǎo)運算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)和

13、精神支柱，要深刻理解 ，熟練應(yīng)用注意不要漏層3.對于分段函數(shù)求導(dǎo)問題：在定義域的各個部分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)法則處理，在分界點處須用導(dǎo)數(shù)的定義仔細(xì)分析，即分別求出在各分界點處的左、右導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)是否存在。第24頁/共35頁例16 0001)(1xxexxfx)(xf 求求解時時0 x xexxf11)(2111)1(11xxxeexe 時時0 x0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 1 第25頁/共35頁0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 0 )0()0( ff處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在0)( xxf 00)1(11)(2111xxee

14、xexfxxx不存在不存在第26頁/共35頁五、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 第27頁/共35頁2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu可導(dǎo)，則（ 1 ） vuvu )(, （ 2 ）uccu)(（ 3 ）vuvuuv)

15、(, （ 4 ）)0()(2vvvuvuvu.( 是常數(shù))C 第28頁/共35頁3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).4.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第29頁/共35頁xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxxcoshsinhtanh xxxx222coshsinhcosh)(tanh 即xx2cosh1)(tanh )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar第30頁/共35頁)11(1122xxxx 211x 同理112 xar)cosh( x211x ar)tanh( x第31頁/共35頁五、小結(jié)注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)求導(dǎo)時, 分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).第32頁/共35頁思考題 若若)(uf在在0u不