全國卷文科數(shù)學(xué)試題匯編6立體幾何

1、全國卷文科數(shù)學(xué)試題集（6） 立體幾何2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖1（2007全國卷）8已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（）2.（2007全國卷）已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，球心在上，底面，則球的體積與三棱錐體積之比是（）3.（2008新課標(biāo)）已知平面平面，= l，點(diǎn)a，al，直線abl，直線acl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ）a. abmb. acmc. abd. ac4.（2009全國卷）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為(a) (b

2、) (c) (d) 5.（2009全國卷1）已知二面角為600 ，動點(diǎn)p、q分別在面內(nèi)，p到的距離為，q到的距離為，則p、q兩點(diǎn)之間距離的最小值為 （a） （b）2 （c） （d）46.（2009全國卷2）已知正四棱柱中，=，為中點(diǎn)，則異面直線與所形成角的余弦值為上東（a） (b) (c) (d) 7.（2009全國卷2）紙質(zhì)的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北?，F(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是（a）南 （b）北 （c）西 （d）下 8.（2009新課標(biāo)）如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個(gè)動點(diǎn)e，f，且，則下列

3、結(jié)論中錯(cuò)誤的是a bef平面abcdc三棱錐的體積為定值 daef的面積與bef的面積相等 9.（2009新課標(biāo)）一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為a b c d10.（2010新課標(biāo)1）(6)直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于 (a)30° (b)45° (c)60° (d)90°11.（2010新課標(biāo)1）正方體-中，與平面所成角的余弦值為 （a） （b） （c） （d）12.（2010新課標(biāo)1）已知在半徑為2的球面上有a、b、c、d四點(diǎn)，若ab=cd=2,則四面體abcd的體積的最大值為 (a) (b) (c) (d) 13.（

4、2010新課標(biāo)2）已知三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為（a） (b) (c) (d) 14.（10新課標(biāo)2）與正方體abcda1b1c1d1的三條棱ab、cc1、a1d1所在直線的距離相等的點(diǎn)（a）有且只有1個(gè) （b）有且只有2個(gè) （c）有且只有3個(gè) （d）有無數(shù)個(gè)15.（2010全國.寧夏）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 （a）3a2 （b）6a2 （c）12a2 （d） 24a216.（2011全國卷1）已知直二面角,點(diǎn)，,為垂足,，,為垂足,若，則（a） 2 （b） （c） （d）11

5、7.（2011全國卷1）已知平面截一球面得圓，過圓心且與成二面角的平面截該球面得圓.若該球面的半徑為4，圓的面積為4，則圓的面積為 (a)7 (b)9 (c)11 (d)1318.（2011全國卷2）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為19.（2012全國卷）已知正四棱柱中 ，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為（a） （b） （c） （d）20.（2013全國卷）已知正四棱錐的正弦值等于（a） （b） （c） （d）21.（2014全國卷1）已知正四面體abcd中，e是ab的中點(diǎn)，則異面直線ce與bd所成角的余弦值為( )a. b. c. d. 22.（2014全

6、國卷1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積是( )a. b. 16 c. 9 d. 23.（2014新課標(biāo)1）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的事一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（ ）a.三棱錐 b.三棱柱 c.四棱錐 d.四棱柱24.（2014新課標(biāo)2）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削的部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ） a b. c. d. 25.（2014新課標(biāo)2）正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，為中點(diǎn)，則三棱錐的

7、體積為 a b c d26.（2015新課標(biāo)1）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（ ）（a）斛 （b）斛 （c）斛 （d）斛27.（2015新課標(biāo)1）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( ) （a） （b） （c） （d）

8、28.（2015新課標(biāo)2）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ） 29.（2015新課標(biāo)2）已知是球的球面上兩點(diǎn),為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（ ）a. b. c. d. 二、填空題：1.（2008全國卷）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為 _2.（2009全國卷1）已知為球的半徑，過的中點(diǎn)且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_.3.（2009全國卷2)設(shè)oa是球o的半徑，m是oa的中

9、點(diǎn)，過m且與oa成45°角的平面截球o的表面得到圓c。若圓c的面積等于，則球o的表面積等于 4.（2010全國.寧夏）一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號)三棱錐 四棱錐 三棱柱 四棱柱 圓錐 圓柱5.（2011全國卷1）已知正方體中，e為的中點(diǎn)，則異面直線ae與bc所成角的余弦值為 .6.（2011新課標(biāo)2）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_7. （2012新課標(biāo)1）已知正方體中，、分別為的中點(diǎn)，那么異面

10、直線與所成角的余弦值為_.8.（2013新課標(biāo)）已知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長等于球的半徑，則球的表面積等于 .三解答題：1.(2007全國1)如圖，為空間四點(diǎn)在中，等邊三角形以為軸運(yùn)動（）當(dāng)平面平面時(shí)，求；（）當(dāng)轉(zhuǎn)動時(shí)，是否總有？證明你的結(jié)論2.（2008全國1）如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）。（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連結(jié)，證明：面efg。3.（2009全國1）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，。 證明

11、：是側(cè)棱的中點(diǎn)；求二面角的大小。 4.（2009全國卷2）如圖，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分別為aa1、b1c的中點(diǎn)，de平面bcc1acba1b1c1de（）證明：ab=ac （）設(shè)二面角a-bd-c為60°,求b1c與平面bcd所成的角的大小 5.（09新課標(biāo)）如圖，在三棱錐中，pab是等邊三角形，pac=pbc=90 º（）證明：abpc；（）若，且平面平面，求三棱錐體積 6.（2010全國卷1）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為如圖，四棱錐s-abcd中，sd底面abcd，ab/dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e為棱sb上的一點(diǎn)，平面edc

12、平面sbc .（）證明：se=2eb；（）求二面角a-de-c的大小 .7.（2010全國卷2）如圖，直三棱柱abc-abc 中，ac=bc， aa=ab，d為bb的中點(diǎn)，e為ab上的一點(diǎn)，ae=3 eb（）證明：de為異面直線ab與cd的公垂線；（）設(shè)異面直線ab與cd的夾角為45°,求二面角a-ac-b的大小8.（2010全國卷.寧夏）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，,垂足為，是四棱錐的高。（）證明：平面 平面;（）若,60°,求四棱錐的體積。9（2011全國卷1）如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形. (i) 證明：(ii) 求ab與平面sbc所成角的大小。10.

13、（2011全國卷2）如圖，四棱錐中，底面abcd為平行四邊形，底面abcd（i）證明：；（ii）設(shè)pd=ad=1，求棱錐d-pbc的高11.（2012新課標(biāo)1）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小。12.（13年）如圖，四棱錐都是邊長為的等邊三角形.（i）證明：（ii）求點(diǎn) 13.(2014全國卷）如圖，三棱柱abc-a1b1c1中，點(diǎn)a1在平面abc內(nèi)的射影d在ac上，acb=90，bc=1，ac=cc1=2.(1)證明：ac1a1b;(2)設(shè)直線aa1與平面bcc1b1的距離為，求二面角a1-ab-c的大小.14.(2014新

14、課標(biāo)1）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.（i）證明：（ii）若,求三棱柱的高.15.(2014新課標(biāo)2）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，是的重點(diǎn).（1） 證明：/平面；（2） 設(shè)，三棱錐的體積，求到平面的距離.16.(2015新課標(biāo)1）如圖四邊形abcd為菱形，g為ac與bd交點(diǎn)，（i）證明：平面平面；（ii）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.17.(2015新課標(biāo)2）如圖,長方體中ab=16,bc=10,點(diǎn)e,f分別在 上,過點(diǎn)e,f的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.（i）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）；（ii）求平面把該長方體分成的兩部分體積

15、的比值.全國卷文科數(shù)學(xué)試題集（6） 立體幾何答案一、選擇題1.b.【解析】如圖，答案：b （1題圖） （2題圖）2.d【解析】：如圖， 答案：d3.【試題解析】：容易判斷、三個(gè)答案都是正確的，對于，雖然，但不一定在平面內(nèi)，故它可與平面相交、平行，不一定垂直.4.d; 5.c; 6.c; 7.b; 8.d【解析】可證故a正確，由平面abcd，可知，b也正確；連結(jié)bd交ac于o，則ao為三棱錐的高，三棱錐的體積為為定值，c正確；d錯(cuò)誤。選d.9.a【解析】棱錐的直觀圖如右，則有po4，od3，由勾股定理，得pd5，ab6，全面積為：×6×62××6×

16、;5×6×44812，故選.a。10.c【解析】延長ca到d，使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，abcda1b1c1d1o11.d 【解析1】因?yàn)閎b1/dd1,所以b與平面ac所成角和dd1與平面ac所成角相等,設(shè)do平面ac，由等體積法得,即.設(shè)dd1=a,則,.所以,記dd1與平面ac所成角為,則,所以.【解析2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面ac所成角就是b與平面ac所成角，abcsef12.b【解析】過cd作平面pcd，使ab平面pcd,交ab與p,設(shè)點(diǎn)p到cd的距離為,則有,當(dāng)直徑通過ab與cd的中點(diǎn)時(shí),故.13.【解析】d：過

17、a作ae垂直于bc交bc于e，連結(jié)se，過a作af垂直于se交se于f，連bf，正三角形abc， e為bc中點(diǎn)， bcae，sabc， bc面sae， bcaf，afse， af面sbc，abf為直線ab與面sbc所成角，由正三角形邊長3， ，as=3， se=，af=， 14.【解析】d：到三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上，三個(gè)圓柱面有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，15.b； 16.【答案】c【解析】因?yàn)槭侵倍娼? ,平面,又,17.【答案】d【解析】如圖所示,由圓的面積為4知球心到圓的距離,在中, ,故圓的半徑,圓的面積為. 18.d; 19.【解析】連結(jié)交于點(diǎn)，

18、連結(jié)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,且，所以，即直線 與平面bed的距離等于點(diǎn)c到平面bed的距離，過c做于,則即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L為2，高為，所以,所以利用等積法得，選d. 20.答案：a； 21.【答案】b； 22.【答案】a23.b【解析】：根據(jù)所給三視圖易知，對應(yīng)的幾何體是一個(gè)橫放著的三棱柱. 選b24.c; 25.c; 26.b【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.6222，故選b.27.b試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為=16 + 20，解得r=2，故選b.

19、28.d試題分析：截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為 ,故選d.29.【答案】c二、填空題1.【解析】 【試題解析】正六邊形周長為，得邊長為，故其主對角線為，從而球的直徑 球的體積2. ; 3.； 4. ；5. 【解析】取a1b1的中點(diǎn)m連接em，am，ae，則就是異面直線ae與bc所成的角。在中，.6. 7.【解析】如圖連接，則,所以與所成的角即為異面直線所成的角，設(shè)邊長為2，則，在三角形中.【答案】8. 答案：3、 解答題：1.解：（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以?dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，可知由已知可得，在中，（）?dāng)

20、以為軸轉(zhuǎn)動時(shí)，總有證明：（）當(dāng)在平面內(nèi)時(shí)，因?yàn)?，所以都在線段的垂直平分線上，即（）當(dāng)不在平面內(nèi)時(shí)，由（）知又因，所以又為相交直線，所以平面，由平面，得綜上所述，總有2.【試題解析】(1)如圖（）所求多面體的體積（）證明：如圖，在長方體中，連接，則因?yàn)?，分別為中點(diǎn)，所以，從而，又, 所以平面；3.解：（1）作交于點(diǎn)e，則連接,則四邊形為直角梯形 作垂足為f，則為矩形由解得：即 所以m為側(cè)棱sc的中點(diǎn)（ii）為等邊三角形又由（i）知m為sc中點(diǎn)取am中點(diǎn)g，連接bg，取sa中點(diǎn)h，連接gh，則由此知為二面角s-am-b的平面角連接bh，在中，所以二面角s-am-b的大小為4.（）取bc中點(diǎn)f，連接

21、ef，則ef，從而efda。連接af，則adef為平行四邊形，從而af/de。又de平面，故af平面，從而afbc，即af為bc的垂直平分線，所以ab=ac。（）作agbd，垂足為g，連接cg。由三垂線定理知cgbd，故agc為二面角a-bd-c的平面角。由題設(shè)知，agc=600. 設(shè)ac=2，則ag=。又ab=2，bc=，故af=。由得2ad=，解得ad=。故ad=af。又adaf，所以四邊形adef為正方形。因?yàn)閎caf，bcad，afad=a，故bc平面def，因此平面bcd平面def。連接ae、df，設(shè)aedf=h，則ehdf，eh平面bcd。連接ch，則ech為與平面bcd所成的角。

22、 因adef為正方形，ad=，故eh=1，又ec=2，所以ech=300，即與平面bcd所成的角為300.5.解：（）因?yàn)閜ab是等邊三角形，所以，可得ac=bc如圖，取ab中點(diǎn)d，連結(jié)pd，cd，則pdab，cdab，所以ab平面pdc，所以abpc（）作bepc，垂足為e，連結(jié)ae因?yàn)?，所以aepc，ae=be由已知，平面pac平面pbc，故因?yàn)?，所以都是等腰直角三角形由已知pc=4，得ae=be=2，的面積因?yàn)閜c平面aeb，所以三角錐的體積6.()連接bd,取dc的中點(diǎn)g，連接bg, 由此知 即為直角三角形，故. 又,所以，.作，故內(nèi)的兩條相交直線都垂直. , ,所以，.7.【解析】本

23、題考查了立體幾何中直線與平面、平面與平面及異面直線所成角與二面角的基礎(chǔ)知識。（1）要證明de為ab1與cd的公垂線，即證明de與它們都垂直，由ae=3eb1，有de與ba1平行，由a1abb1為正方形，可證得，證明cd與de垂直，取ab中點(diǎn)f。連結(jié)df、fc，證明de與平面cfd垂直即可證明de與cd垂直。（2）由條件將異面直線ab1，cd所成角找出即為fdc，設(shè)出ab連長，求出所有能求出的邊長，再作出二面角的平面角，根據(jù)所求的邊長可通過解三角形求得。8. 解：(1)因?yàn)閜h是四棱錐p-abcd的高。 所以acph,又acbd,ph,bd都在平phd內(nèi),且phbd=h. 所以ac平面pbd.

24、故平面pac平面pbd. .6分 (2)因?yàn)閍bcd為等腰梯形，abcd,acbd,ab=. 所以ha=hb=. 因?yàn)閍pb=adr=600 所以pa=pb=,hd=hc=1. 可得ph=. 等腰梯形abcd的面積為s=ac x bd = 2+. .9分 所以四棱錐的體積為v=x（2+）x= .12分9.解法一：()取中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為矩形，連結(jié)，則，.又,故,所以為直角. 3分由,得平面,所以.與兩條相交直線、都垂直.所以平面. 6分另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. 6分()由平面知，平面平面.作,垂足為,則平面abcd,.作,垂足為,則.連結(jié).則.又,故平面,平

25、面平面.9分作,為垂足,則平面.,即到平面的距離為.由于,所以平面,到平面的距離也為.設(shè)與平面所成的角為,則,.12分10.（）因?yàn)椋?由余弦定理得 從而bd2+ad2= ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad. 故 pabd（）如圖，作depb，垂足為e。已知pd底面abcd，則pdbc。由（）知bdad，又bc/ad，所以bcbd。故bc平面pbd，bcde。則de平面pbc。由題設(shè)知，pd=1，則bd=，pb=2，根據(jù)be·pb=pd·bd，得de=，即棱錐dpbc的高為11.【答案】12.13.（1）a1d平面abc, a1d平面aa1c1c,故平面aa1c1c平面abc,又bcac，所以bc平面aa1c1c，連結(jié)a1c，因?yàn)閭?cè)面aa1c1c是棱形，所以ac1a1c,由三垂線定理的ac1a1b.(2) bc平面aa1c1c，bc平面bcc1b