小學(xué)奧數(shù)理論知識速查手冊

1、(用于家長輔導(dǎo) 反對死記硬背)小學(xué)奧數(shù)理論知識速查手冊1和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式(和差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)差=較大數(shù) 和較小數(shù)=較大數(shù) (和差)÷2=較大數(shù) 較大數(shù)差=較小數(shù) 和較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 和小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2年齡問題的三個(gè)基本特征兩個(gè)人的年齡差是不變的。兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的。兩

2、個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。3歸一問題基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量。4植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹。在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹。在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹。封閉曲線上植樹?；竟娇脭?shù)=段數(shù)1棵數(shù)=段數(shù)1棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長棵距×段數(shù)=總長棵距×段數(shù)=總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系。5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來

3、。基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)(兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)雞腳數(shù))把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)

4、或?qū)ο蟮目偭??；舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足。 基本公式：總份數(shù)(余數(shù)不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)。         基本公式：總份數(shù)(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足。           基本公式：總份數(shù)(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))

5、47;兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的。關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量=(較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù))÷(長時(shí)間-短時(shí)間)總草量=較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間×生長量8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)

6、所經(jīng)過的時(shí)間叫周期關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期閏    年：一年有366天年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除。平   年：一年有365天年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除。9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算?；鶞?zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)

7、；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。10抽屜原理抽屜原則一：如果把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0   4=3+1+0   4=2+2+0   4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

8、抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)；k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識點(diǎn)：x表示不超過x的最大整數(shù)。例：4.351=4；0.321=0；2.9999=2。關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號，這個(gè)新的運(yùn)算符號包含有多種基本(混合)運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一

9、定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；          項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；          公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；    

10、60;     通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；          數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用sn表示?；舅悸罚旱炔顢?shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+(n1)d通項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù)一1) ×公差數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n&#

11、247;2數(shù)列和(首項(xiàng)末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d1項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差1公差公式：d =(ana1)÷(n1)公差=(末項(xiàng)首項(xiàng))÷(項(xiàng)數(shù)1)關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式。13二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。 =an×10n-1+an-1×10n-2+an-2×10n-3+an-3×

12、;10n-4+an-4×10n-5+an-6×10n-7+a3×102+a2×101+a1×100注意：n0=；n=n(其中n是任意自然數(shù))。二進(jìn)制：用01兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。(2)= an×2n-1+an-1×2n-2+an-2×2n-3+an-3×2n-4+an-4×2n-5+an-6×2n-7+a3×22+a2×21+a1×20注意：an不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，

13、直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用

14、哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2. ×mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+(點(diǎn)數(shù)一1)；數(shù)角規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+(射線數(shù)一1)；數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)；數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+

15、3×3+行數(shù)×列數(shù)。15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：n=a1r1a2 r2a3 r3an rn，其中a1、a2、a3an都是合數(shù)n的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：p=(r1+1)×(r2

16、+1)×(r3+1)××(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6

17、、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作(12，18)=6。求最大公約數(shù)基本方法：分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來；短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘；輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48；18的倍數(shù)有：18、36、54、72；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作12，18=36。最小公倍數(shù)的性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)的任意公

18、倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)；兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法： 短除法求最小公倍數(shù)；分解質(zhì)因數(shù)的方法。17數(shù)的整除(一)基本概念和符號：整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因?yàn)榉枴啊保缘姆枴啊保?二)整除判斷方法：能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9

19、整除。能被7整除： <a>末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。 <b>逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。能被11整除： <a>末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。 <b>奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。 <c>逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。能被13整除： <a>末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。 <b>逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。(

20、三)整除的性質(zhì)：如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=qr，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余

21、數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19余數(shù)、同余與周期(一)同余的定義：若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作ab(mod m)，讀作a同余于b模m。(二)同余的性質(zhì)：自身性：aa(mod m)；對稱性：若ab(mod m)，則ba(mod m)；傳遞性：若ab(mod m)，bc(mod m)，則a c(mod m)；和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，則a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，則a×c b

22、15;d(mod m)；乘方性：若ab(mod m)，則anbn(mod m)；同倍性:若a b(mod m)，整數(shù)c，則a×c b×c(mod m×c)。(三)關(guān)于乘方的預(yù)備知識：若a=a×b，則ma=ma×b=(ma)b；若b=c+d，則mb=mc+d=mc×md。(四)被3、9、11除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù)m，n表示m的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則mn(mod 9)或(mod 3)；一個(gè)自然數(shù)m，x表示m的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，y表示m的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則my-x或m11-(x-y)(mod 11)。(五)費(fèi)爾馬小定理：如果

23、p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-11(mod p)。20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)(在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍

24、量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：a、分量發(fā)生變化，總量不變。b、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。c、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分

25、量都發(fā)生變化的狀況。21分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較?；鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。(具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律)轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分?jǐn)?shù)的值)后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另

26、一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22分?jǐn)?shù)拆分將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：(d為自然數(shù))23完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。除以3余0或余1；反之不成立。除以4余0或余1；反之不成立。約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：x2-y2=(x-y)(x+y)完全平方和公式：(x+y)2=x2+2xy+y2完全平方差公式：

27、(x-y)2=x2-2xy+y224比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若a擴(kuò)大或縮小幾倍，b也擴(kuò)大或縮小幾倍(ab的商不變時(shí))，則a與b成正比。反比例：若a擴(kuò)大或縮小幾倍，b也縮小或擴(kuò)大幾倍(ab的積不變時(shí))，則a與b成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配

28、。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系?；竟剑郝烦?速度×時(shí)間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間。關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程(請寫出其他公式)追及問題：追及時(shí)間路程差÷速度差(寫出其他公式)流水問題：順?biāo)谐?(船速+水速)×順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=(船速-水速)×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=(順?biāo)俣?逆水速度)÷2水    速=(順?biāo)俣?

29、逆水速度)÷2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法。行程問題六大解題方法：公式法圖解法比例法分段法方程法列表法基本題型：已知路程(相遇路程、追及路程)、時(shí)間(相遇時(shí)間、追及時(shí)間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。行程問題十三大類型：簡單相遇追及問題多人相遇追及問題(一般為三人，把三人行程轉(zhuǎn)化為二人行程來解決。)多次相遇追及問題(往返行程問題)變速變道問題火車過橋問題(過橋問題，錯(cuò)車問題)流水行船問題(自動扶梯問題)間隔發(fā)車問題接送問題時(shí)鐘問題調(diào)頭爬行問題環(huán)形跑道問題跑跑停停問題獵狗

30、追兔問題26工程問題基本公式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間工作效率=工作總量÷工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量÷工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”(和總工作量無關(guān))。假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù))，利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)間。關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a

31、是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個(gè)對象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如a和b兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選

32、條件。簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28幾何面積(等積變形，學(xué)而思計(jì)算面積五種模型，仁華學(xué)校計(jì)算面積的十種方法)基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：連輔助線方法利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。大膽假設(shè)(有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上)。利用特殊規(guī)律 <a>等腰直角三角形，已知

33、任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三 角形的面積) <b>梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。 <c>圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29立體圖形名稱特征表面積體積長方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對的面相等；12條棱；相對的棱相等。s=2(ab+ah+bh)v=abh正方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12條棱；所有棱相等。s=6a2v=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長方形。s=s側(cè)+2s底s側(cè)=chv=sh圓錐體下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；l:母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離。s=s側(cè)+s底s側(cè)=rlv=(1/3)sh球體圓心到圓周

34、上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。s=4r2v=(4/3)r330時(shí)鐘問題快慢表問題基本思路：按照行程問題中的思維方法解題；不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動物體；路程的單位是分格(表一周為60分格)；時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；合理利用行程問題中的比例關(guān)系。31時(shí)鐘問題鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時(shí)針的初始位置確定分針與時(shí)針的路程差基本方法：分格方法時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走112分格。度數(shù)方法從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60

35、度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/(12x60)度，即0.5度。32濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)(例如糖、鹽、酒精等)叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)(例如水、汽油等)叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體(例如鹽水、糖水等)叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；濃度=×100%=×100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量

36、和他們濃度的變化成反比。33經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù)=(賣價(jià)-成本)÷成本×100%賣價(jià)=成本×(1+利潤的百分?jǐn)?shù))成本=賣價(jià)÷(1+利潤的百分?jǐn)?shù))商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定定價(jià)=成本×(1+期望利潤的百分?jǐn)?shù))本金：儲蓄的金額利率：利息和本金的比利息=本金×利率×期數(shù)含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×(1+增值稅稅率)34簡單方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號(加減乘除)連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊

37、同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)(除0)，等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。加去括號規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運(yùn)算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運(yùn)算符號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“+”或“”的，都按有“+”處理。移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號規(guī)則。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；求解。方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程

38、。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。35不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程。常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法。多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一。多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可。涉及知識點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較。解不定方程的步驟：列方程；消元；寫出表達(dá)式；確定范圍；確定特征；確定答案。技巧總結(jié)：寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特

39、征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)。36循環(huán)小數(shù)(一)把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分?；煅h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。(二)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的

40、小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。一、【行程中的基本關(guān)系】：速度×時(shí)間=路程 v×t=s                                                

41、;                                                   路程÷時(shí)間=速度 s÷t=v路程÷速度=時(shí)間 s÷v=t平均速度=總路程÷總時(shí)間設(shè)甲乙兩人所走路程為s甲、

42、s乙; 速度為v甲、v乙; 時(shí)間為t甲、t乙當(dāng)時(shí)間相同t甲:t乙時(shí)，則s甲:s乙=v甲:v乙當(dāng)速度相同v甲:v乙時(shí)，則s甲:s乙=t甲:t乙當(dāng)路程相同s甲:s乙時(shí)，則v甲:v乙=t乙:t甲-這兩大關(guān)系是行程問題的基礎(chǔ)，所有行程問題都是在分析的基礎(chǔ)上用這兩個(gè)基本關(guān)系求解的二、平均速度計(jì)算：平均速度，只能用總路程除以總時(shí)間若題目中沒有給出路程，但強(qiáng)調(diào)路程相等，則可以利用設(shè)數(shù)法【例】:胡老師騎自行車過一座橋，上橋速度為每小時(shí)12千米，下橋速度為每小時(shí)24千米，而且上橋與下橋所經(jīng)過的路程相等，中間也沒有停頓，問這個(gè)人騎車過這座橋的平均速度是多少？方法一：設(shè)橋的長度為24千米，平均速度=(24+24)&

43、#247;(24÷12+24÷24)=48÷3=16km/h方法二：設(shè)上橋時(shí)間為2t，下橋時(shí)間為t：平均速度=(12×2t+24×t)÷(2t+t)=16km/h三、【直線問題中的“相遇”】：(1)兩個(gè)運(yùn)動物體一般同時(shí)不同地（或不同時(shí)不同地）出發(fā)作相向運(yùn)動(2)在一定時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)運(yùn)動物體相遇(3)相遇問題的解題要點(diǎn)：相遇所需時(shí)間=總路程÷速度和(4)“相遇”，默認(rèn)為“面對面”的遇上(5)多次相遇中的行程變化：【情況1】：甲乙兩人從兩地同時(shí)相對出發(fā)，直到第二次相遇：       

44、0;                           2011-11-28 21:41 上傳下載附件 (2.7 kb) 除第一次相遇總路程為1個(gè)全程，以后每再遇上一次，增加2個(gè)全程【情況2】：甲乙兩人從同一地點(diǎn)、同時(shí)、同向而行，到達(dá)目的地后立即返回到再相遇：